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1、第九章 单因素方差分析One-factor analysis of variance 用6种培养液培养红苜蓿，每一种培养液做5次重复，测定5盆苜蓿的含氮量，结果如下表（单位:mg）。问用6种不同培养液培养的红苜蓿含氮量差异是否显著？盆号培养方法1234519.432.627.032.133.017.724.827.925.224.317.019.49.111.915.820.721.020.518.818.614.314.411.811.614.217.319.419.116.920.8方差分析方差分析 analysis of varianceANOVA 由英国统计学家R.A.Fisher于1
2、923年提出。 方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断多组数据之间平均数差异显著性的。它不同于t检验之处在于：它把所有数据放在一起，一次比较就对所有各组间是否有差异做出判断，如果没有显著性差异，则认为各组平均数相同；如果发现有差异，再进一步比较是哪组数据与其它数据不同。方差分析中常用基本概念方差分析中常用基本概念（一）试验指标（一）试验指标 experimental index 为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状测定的性状或观测的项目观测的项目。（二）试验因素（二）试验因素 experimental factor 试验中所研究的影响试验指标影响试验指标的因素叫试验因
3、素，常用大写字母A、B、C、等表示。 单因素试验与两因素或多因素试验单因素试验与两因素或多因素试验。 固定因素与随机因素：固定因素与随机因素：是否可控制。（三）因素水平（三）因素水平 level of factor试验因素所处的某些特定状态或数量等级等级称为因素水平因素水平，简称水平水平。比如：不同的温度；溶液不同浓度等。（四）重复（四）重复 repeat 在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；某一处理实施的试验单位数称为该处理的重复数。本章主要内容第一节第一节 单因素方差分析的基本原理单因素方差分析的基本原理第二节单因素方差分析的基本步骤第二节单因素方差分析的
4、基本步骤 教学重点：教学重点：单因素方差分析的方法教学要求：教学要求：1. 掌握方差分析的概念、作用、基本原理与步骤2. 掌握单因素试验资料的方差分析方法第一节单因素方差分析的基本原理第一节单因素方差分析的基本原理第一节单因素方差分析的基本原理第一节单因素方差分析的基本原理一、线性模型二、固定线性模型三、随机线性模型四、多重比较五、基本假定 （一）线性模型（一）线性模型 linear statistical model 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有n次重复，共有na个观测值。这类试验资料的数据模式如表9-1所示。一、线性模型一、线性模型一、线性模型一、线性模型表9-1 单因素方差分析
5、的典型数据模式合计X1 X2 X3 Xi Xa 1 11 21 31 i1 a12 12 22 32 i2 a23 13 23 33 i3 a3 j 1j 2j 3j ij ajn 1n 2n 3n in an合计平均数总体均数处理效应符号文字表述 a n 因素水平数每一水平的重复数第i水平的第j次观察值第i水平所有观察值的和第i水平均值全部观察值的和总平均值第i水平上的子样方差各处理总和、平均数、大总和、总平均数是计算的一级一级数据数据，在本章我们采用了黑黑点符号体系法点符号体系法表示，要注意熟悉和掌握。 可以分解为 表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的影响大小，将 再进行分解
6、， 其中表示全试验观测值的总体平均数总体平均数(overall mean)， 是第i个处理的效应处理的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产生的影响。是试验误差试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，2）。该式称为单因素试验的线性统计模型或数学模型。（二）方差分析的基本思路（二）方差分析的基本思路将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；通过计算这些估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体均值是否相等。 方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。二固定模型二
7、固定模型fixed modelfixed model因素固定、效应也固定，反应到线性模型中即 为常数可要求 。1. 1. 假设假设固定模型的零假设为：的零假设为： 备择假设为：备择假设为： 故an个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。 全部观察值的总变异可以用总均方来度量，处理间变异和处理内变异分别用处理间均方和处理内均方来度量。 2. 2. 平方和与自由度的剖分平方和与自由度的剖分总平方和的拆分总平方和的拆分总平方和的拆分总平方和的拆分三种平方和的简便计算公式三种平方和的简便计算公式如下：等重复时：不等重复时：在计算总平方和时，资料中的各个观察值要受 这一条件约束，总自由
8、度等于资料中观察值的总个数减一，即an-1。 总自由度记为dfT，则 dfT = an-1 。 在计算处理间平方和时，各处理均数要受 这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减1，即a-1。 处理间自由度记为dft ，则dft= a-1。 总自由度的拆分总自由度的拆分总自由度的拆分总自由度的拆分在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束，即 ，i=1,2,.a。故处理内自由度为资料中观察值的总个数减a ，即an- a 。 处理内自由度记为dfe，则dfe= an-a= a(n-1)。 因为 na -1=(a-1)+(na-a)=(a -1)+ a(n-1) 所以 dfT= dfA+ dfe 综合以
9、上各式得： 总均方的拆分是通过将总均方的分子称为总离均差平方和，简称为总平方和(SST) ，剖分成处理间平方和(SSA)与处理内平方和(SSe)两部分；将总均方的分母称为总自由度 ，剖分成处理间自由度 与处理内自由度 两部分来实现的。 处理间均方（处理均方，MSA ）处理内均方（误差均方，MSe ） 各部分平方和除以各自的自由度便得到总均总均方、处理间均方和处理内均方方、处理间均方和处理内均方,分别记为： MST(或ST2 )、 MSA(或SA2 )和MSe(或Se2 ),即 MST= ST2 =SST/dfT; MSt= St2 =SSt /dft; MSe= Se2 =Sse /dfe 注
10、意： 在方差分析中不涉及总均方的数值，所以一般不必计算； 总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。3. 3. 期望均方期望均方 expected mean squares EMS若A A是B B的无偏估计，则称B B是A A的数学期望数学期望。处理内均方MSMSe e是误差方差 2 2的无偏估计值，即 2 2称为称为MSMSe e 的数学期望的数学期望。4 4. . 统计量统计量 当零假设成立时，处理效应的方差为零为零，亦即各处理观察值总体均数i (i=1，2，a) 相等时，处理间均方MSA与处理内均方一样，也是误差方差 2 2的估计值。 方差分析就是通过方差分析就是通过MSMSA A 与与M
11、SMSe e的比较来推断各处的比较来推断各处理平均数理平均数 间差异的大小间差异的大小 F= MSA2/ MSe2F具有两个自由度：df1=dfA=a-1; df2=dfe=a(n-1)。查附表7: 若F ，即P0.05，不能否定H0，可认为各处理间差异不显著； 若 F ，即0.01P0.05,否定H0，接受HA，认为各处理间差异显著，标记“*” ; 若F ，即P0.01，否定H0，接受HA， 认为各处理间差异极显著，标记“*”。【例例9.1】 某试验研究不同药物对腹水癌的治疗效果，将患腹水癌的25只小白鼠随机分为5组，每组5只。其中A1组不用药作为对照，A2、A3为两个不同的用中药组，A4、
12、A5为两个不同的西药组。各组小白鼠的存活天数如表72所示。表92 用不同药物治疗腹水癌小白鼠的结果药物药物各小鼠存活天数（各小鼠存活天数（xij）合计合计xi.平均平均A115 16 15 17 18816561 =1319A245 42 50 38 3921445796 =9254A330 35 29 31 3516025600 =5152A431 28 20 25 3013417956 =3670A540 35 31 32 3016828224 =5710合计合计x.=75712413725105这是一个单因素试验，处理数a =5,重复数n=5。第一步：计算一级数据（见表）；第二步：计算S
13、S e、SSA、 dfe 、 dfA 矫正项 C=x2./an/（55）=22921.96 总平方和 处理间平方和 =248274-2291.96=1905.44 处理内平方和 SS e=SST -SSA=2183.041905.44 =277.60=20总自由度 dfT =an-1=25-1=24=5 5-1=24 处理间自由度 dfA=a-1=5-1=4=4处理内自由度 dfe =dfT- dfA=24-4=20 =处理间均方 MSA=SSt /dfA = 1905.44 /4=476.36 处理内均方 MSe=SSe /dfe = 277.60 /20=13.88 第三步：提出假设第三步
14、：提出假设= 24零假设为：零假设为： H0:各处理组小鼠存活天数差异不显著 备择假设为：备择假设为： HA:各处理组小鼠存活天数差异显著第四步：计算统计量第四步：计算统计量 F=MSA/MSe=476.36/13.88=34.32*第五步：查表根据df1=dft=4，df2=dfe=20 查附表7，得F0.01(4,20)=4.43第六步：做出推断及生物学解释：FF0.01(4,20)=4.43，P0.01。说明五个处理小白鼠存活天数差异极显著，用不同药物治疗小白鼠腹水癌的疗效是不同的。在方差分析中，通常将变异来源、平方和、自由度、均方和F值归纳成一张方差分析表方差分析表，见表93。表93
15、表92资料的方差分析表变异来源变异来源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值处理间处理间SSA 1905.44dfA 4MSA 476.3634.22*处理内处理内SSe 277.60dfe 20MSe 13.88总变异总变异SST 2183.04 dfT 24F值应与相应的被检验因素齐行;在表的左下方注出显著水平。三、随机模型三、随机模型Random model 因素随机、效应不固定是试验误差，相互独立且服从正态分布不再为常数，且服从正态分布1. 1. 假设假设随机模型的零假设为： 备择假设为：2. 总平方和与总自由度的剖分：同固定模型3. 数学期望：4. 统计量F:注意：在做生物学解释
16、时，固定模型中的结论只适用于检查的那几个因素水平；随机模型中的结论可推广到这一因素的各个水平。四、多重比较四、多重比较 (multiple comparisons) 统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多多重比较重比较。 （一）为什么要进行多重比较？（一）为什么要进行多重比较？ F值显著或极显著值显著或极显著，否定了无效假Ho，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异。但并不意味着但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些没有显著差异。 因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两
17、两处理平均数间的差异显著性。（二）（二）常用的多重比较方法常用的多重比较方法 多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法最小显著差数法和最小显著极差法和最小显著极差法。1 1、最小显著差数法、最小显著差数法( (LSD法，法，Least significant difference)1.1 LSD法的基本原理法的基本原理 在处理间F检验显著的前提下, 先计算出显著水平为的最小显著差数LSD ,然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值 与其比较，作出结论。最小显著差数由下式计算：式中 为在F检验中误差自由度下，显著水平为的临界t 值,均数差异标准误 则下式算得。 其中MSe为F检验中的误差均方，n
18、为各处理内的重复数。显著水平取0.05和0.01时，从t 值表查出 代入 ，即可求得LSD0.05和LSD0.011.2 LSD法多重比较步骤法多重比较步骤 列出平数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列； 计算最小显著差数LSD0.05和LSD0.01; 将平均数多重比较表中两两平均数的差数与计算出的LSD0.05 、LSD0.01 比较，作出统计推断。【例例9.19.1】 dfe=20, n=5, MSe=13.88 查t值表得： t0.05(dfe)=t0.05(20)=2.086，t0.01(dfe)=t 0.01(20) =2.845 所以显著水平为0.05与0.
19、01的最小的显著差数为：表表9-4 9-4 五个处理小鼠平均存活天数多重比较表五个处理小鼠平均存活天数多重比较表(LSD(LSD法法) )处处 理理 平均数 -16.2 -26.8 -32.0 -33.6A542.826.6*16.0*10.8*9.2*A433.617.4*6.8*1.6A332.015.8*5.2*A226.810.6*A116.2 将表9-4中的10个差数与LSDLSD0.050.05 、LSDLSD0.010.01比较：小于LSDLSD0.050.05者不显著；介于LSDLSD0.050.05与LSDLSD0.010.01之间者显著，标记“*”；大于LSDLSD0.01
20、0.01者极显著，标记“*”。 检验结果除差数1.6不显著、5.2显著外，其余各差数极显著。 表明所用的药物不论中西药对小白鼠腹水癌都有一定疗效，除中药A3与西药A4的疗效差异不显著外，其余药物间的疗效都有显著或极显著差异。说明：实质上就是t检验法：LSD法法是将t检验中把所求得的t的绝对值 与临界值 的比较转化为将各对均数差值的绝对值 与最小显著差数的比较，从而做出统计推断的2. Duncan法法2.1 Duncan法的基本原理法的基本原理 把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数(称为秩次距秩次距) k的不同而采用不同的检验尺度（最小显著极差最小显著极差R(,k），如
21、果两平均数的极差大于或等于R(,k），则两平均数间差异显著；如果小于R(,k）差异不显著，这种方法就称为Duncan法。 若xixj，ki-j1，因此，若有a个平均数相互比较，就有a-1种秩次距种秩次距(a,a-1,a-2,2)，因而需求得a-1 个R(,k），以作为判断各秩次距(k)平均数的极差是否显著的标准。2.2 2.2 检验步骤：检验步骤： 列出平均数多重比较表； 由自由度dfe、秩次距k查“多重比较中的Duncan表”（附表9），计算最小显著极差R0.05,k和 R0.01,k ； 将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差R0.05,k和 R0.01,k比较，作出统计推断。对
22、于【例9.1】，已算出 =1.67，依dfe=20, k=2,3,4,5，由附表9查临界r0.05(20,k) 和 r0.01(20,k)值，乘以 ，求得各最小显著极差。所得结果列于表9-5。 dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012022.954.024.96.733.104.225.27.043.184.335.37.253.254.405.47.3表表9 9-5 5 r值与值与R值值处处 理理平均数 -16.2 -26.8 -32.0 -33.6A542.826.0* 16.0* 10.8*9.2*A433.617.4*6.8*1.6nsA332.015.8*5.2*A2
23、26.810.6*A116.2 表表9-6 9-6 五个处理小鼠平均存活天数多重比较五个处理小鼠平均存活天数多重比较表表( (Duncan 法法) )五、基本假定五、基本假定效应的可加性效应的可加性（additivity）分布的正态性（分布的正态性（normality）方差的同质性（方差的同质性（homogeneity）方差分析的基本步骤1. 计算各项平方和与自由度。2. 列出方差分析表，进行F检验。3. 若F 检验显著，则进行多重比较。 多重比较的方法有最小显著差数法(LSD法)和Duncan 法法。第二节单因素方差分析的基本步骤第二节单因素方差分析的基本步骤第二节单因素方差分析的基本步骤第
24、二节单因素方差分析的基本步骤一、各处理重复数相等的方差分析【例例9.29.2】 为了研究小白鼠患白血病后脾组织中 DNA含量的变化，测定四组，每组各8只（即a=4,n=8）小白鼠脾组织中DNA的含量；第1组为正常脾，第2组为患自发性白血病的脾；第3组为患移植性白血病 AK4的脾；第4组为患移植性白血病9421的脾。测定结果见表97。试检验各组DNA含量差异是否显著。表表97 四组小白鼠脾组织中四组小白鼠脾组织中DNA含量含量1. 计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度 C=x2./an=398.12/(48)=4952.61组别DNA含量（mg/g）xi.xi.2112.3 13.2 1
25、3.7 15.2 15.8 16.9 17.3 15.4119.814.981815.9614352.04210.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 13.6102.812.851332.2810567.843 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.490.811.351038.628244.644 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.584.710.59899.157174.09合计x.=398.1 5086.0140338.61 SSe=SST SSA=133.40-89.72=43.68
26、 dfT=an-1=48-1=31 dfA=a-1=4-1=3 dfe=dfT-dfA=31-3=28 2. 列出方差分析表，进行F检验，见表98。 表表98 四组小白鼠脾中四组小白鼠脾中DNA含量方差分析表含量方差分析表变异来源变异来源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值组组 间间89.72329.9119.17*组组 内内43.68281.56总变异总变异133.4031 根据df1=dfA=3,df2=dfe=28查临界F值得： F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57 因为FF0.01(3,28),即P0.01，表明处理间DNA含量的差异达到1显著水平。
27、3. 多重比较 采用Duncan法。各处理平均数多重比较表，见表99。 因为MSe=1.56,n=8,所以 根据dfe=28，秩次距k=2,3,4由附表9 查出=0.05和=0.01的各临界r值, 各r值乘以 ,即得各最小显著极差。所得结果列于表9-10。 表表99 r值及值及LSR值值dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012822.903.911.2821.72833.044.081.34421.80343.134.181.38331.848组别组别 平均数平均数 -10.59 -11.35 -12.85114.984.39 *3.63 *2.13 *212.852.26*1
28、.50 *311.350.76410.59表表910 各组各组DNA含量平均数多重比较表含量平均数多重比较表检验结果表明：检验结果表明： 正常脾中DNA含量极显著高于患有各类白血病脾中DNA含量；患自发性白血病脾中DNA含量极显著高于患移植性白血病9421，显著高于患移植性白血病AK4；第三组第四组之间差异不显著。四组中以正常脾DNA含量最高，第二组次之，第三、四组最低。 也就是说各各类白血病都将导致小白鼠脾中类白血病都将导致小白鼠脾中DNA含量明显降低。含量明显降低。组别组别平均数平均数 4 3 2114.984.39 *3.63 *2.13 *212.852.26*1.50 *311.35
29、0.76410.59二、各处理重复数不相等的方差分析 这种情况下方差分析步骤与各处理重复数相等的情况相同，只是在有关计算公式上略有差异。 设处理数为a；各处理重复数为n1 ,n2 ,na ；试验观察值总数为N=ni。则【例例9.3】五个不同品种猪的育肥试验，后期30天增重(kg)如表711所示。试比较品种间增重有无差异。表表911 五个品种猪五个品种猪30天增重天增重品种增重（kg）nixi.xi.2 /niB121.519.520.022.018.020.06121.02440.1720.22450.5B216.018.517.015.520.016.06103.01768.1717.217
30、83.5B319.017.520.018.017.0591.51674.4518.31680.25B421.018.519.020.0478.51540.5619.61544.25B515.518.017.016.0466.51105.5616.61109.25合计25460.58528.91=8567.85 此例处理数a=5，各处理重复数不等。现对此试验结果进行方差分析： 1. 计算各项平方和及其自由度计算各项平方和及其自由度2、列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验表表912 五品种育肥猪增重方差分析表五品种育肥猪增重方差分析表 临界F值为F 0.05（4，20）=2.87，F
31、 0.01（4，20）=4.43,因为5.994.43，故P0.01，表明品种间差异极显著。3.多重比较多重比较 采用Duncan法，各处理平均数多重比较表见表912。变异来源变异来源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值品种间品种间46.50411.635.99*品种内（误差）品种内（误差）38.84201.94总变异总变异85.3424因 各处理重复数不等各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数平均重复次数no,此例中： 于是，标准误标准误为：根据dfe=20,秩次距k=2,3,4,5从附表6中查出=0.05及=0.01的临界r值，并计算出最小显极差，所得结果列于表913。表表913
32、r值及值及R值表值表表表914 五品种育肥猪平均增重多重比较表五品种育肥猪平均增重多重比较表(Duncan法法)dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012022.954.021.862.5333.104.221.952.6643.184.332.002.7353.254.402.052.77秩次处处 理理平均数 5 4 3 21B120.23.6*3.0*1.90.62B419.63.0*2.4*1.33B318.31.71.14B217.20.65B516.6 多重比较结果表明:B1、B4品种的平均增重极显著或显著地高于B2、B5品种的平均增重，其余不同品种之间差异不显著。可以
33、认为B1、B4品种增重最快，B2、B5品种增重较差，B3品种居中。秩次处处 理理平均数 5 4 3 21B120.23.6*3.0*1.90.62B419.63.0*2.4*1.33B318.31.71.14B217.20.65B516.6一、 等重复时第一步：把每一水平视为一个子样本，先求出该子样本的平均值及方差 ；第二步：再把求得的样本平均值视为一个样本，计算其样本方差；第三步：利用下列公式计算处理间均方MSA和处理内均方MSe 组别12a利用计算器进行计算：二、 不等重复时第一步：把每一水平视为一个子样本，先求出该子样本的方差；第二步：把所有数据视为一个样本，计算其样本方差；第三步：利用下列公式计算处理间均方MSA和处理内均方 MSe方差分析与两样本平均数方差分析与两样本平均数t-testt-test有何异同？有何异同？t-test方差分析相同点平均数差异显著性检验平均数差异显著性检验不同点两个平均数的差异检验；利用平均数的差；利用统计量t多个平均数的差异检验；利用平均数的方差；利用统计量F
