《单调性与最大(小)值（第2课时函数的最大(小)值）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《单调性与最大(小)值（第2课时函数的最大(小)值）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教人教A A版版 数学数学 必修第一册必修第一册基础落实必备知识一遍过重难探究能力素养速提升目录索引学以致用随堂检测促达标学习目标1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象)2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).(直观想象)3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学运算)基础落实必备知识一遍过知识点:函数的最大(小)值的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)xI,都有f(x)M;(2)x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.存在f(x0)=M名师点睛若y=f(x)在区间a,b上单调递
2、增,则函数y=f(x)的值域是f(a),f(b);若y=f(x)在区间a,b上单调递减,则函数y=f(x)的值域是f(b),f(a).微思考设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:xI,都有f(x)M;是否可称M是函数y=f(x)的最大值?提示不可以.必须要x0I,使得f(x0)=M.重难探究能力素养速提升问题问题1函数单调性通过代数方式来刻画函数单调性通过代数方式来刻画,体现了代数对于未知函数的研究体现了代数对于未知函数的研究.类比于此类比于此,函数最值的几何表达函数最值的几何表达,可否通过代数方式来刻画可否通过代数方式来刻画?探究点一探究点一 利用函数的图象求函数的最值利用函数
3、的图象求函数的最值问题问题2根据函数图象根据函数图象,如何求函数最值如何求函数最值?关键要把握什么关键要把握什么?【例1】已知函数 求f(x)的最大值、最小值及函数的值域.解作出函数f(x)的大致图象(图略).由图象可知,当x=1时,f(x)取最大值为1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0.因此函数的值域是0,1.规律方法规律方法图象法求最值的基本步骤 探究点二探究点二 利用函数的单调性求最值利用函数的单调性求最值问题问题3未知函数图象未知函数图象,根据单调性如何求函数最值根据单调性如何求函数最值?【例2】已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区
4、间1,2上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间1,2上的最值.分析(1)证明单调性的流程:取值作差变形判断符号结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.解(1)f(x)在区间1,2上单调递减.x1x2,x1-x20.当1x10,1x1x24,即x1x2-4f(x2),即f(x)在区间1,2上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1).f(1)=1+4=5,f(x)的最小值为4,最大值为5.延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间1,3上的单调性,并求f(x)在区间1,3上的最值.规律方法规律方法1.利用单调性求
5、函数最值的一般步骤(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性画出草图,写出最值.2.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(减),则f(x)在区间a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(减),在区间(b,c上单调递减(增),则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.问题问题4已知确定性函数求函数最值是一个确定问题已知确定性函数求函数最值是一个确定问题,若函数不确定若函数不确定,又该如又该如何处理何处理?【例3】求函数y=x2-2ax-1在区间0,2
6、上的最值.解y=(x-a)2-1-a2.当a0时,函数在0,2上单调递增,如图1.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0a1时,结合函数图象(如图2)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.图1 图2 当12时,函数在0,2上单调递减,如图4.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a0时,函数在区间0,2上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0a1时,函数在区间0,2上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当12时,函数在区间0,2上的最小值为3-4a,最大值为-1.图3 图4 规律方法规律方法1.探求二
7、次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间m,n上的最值,可作如下讨论:对称轴x=h与m,n的位置关系f(x)的单调性最大值最小值hn在m,n上单调递减f(m)f(n)mhn mh 在m,h上单调递减,在(h,n上单调递增f(n)f(h)h=f(m)或f(
8、n)20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y与x的函数关系式.(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?解(1)当020时,y=260-100-x=160-x.(2)当020时,160-x140.故当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润为156万元.规律方法规律方法解函数应用题的一般程序(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的结论还原
9、为实际问题的意义.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.学以致用随堂检测促达标123456789 10 11 12A 级 必备知识基础练1.函数y=-|x|在R上()A.有最大值0,无最小值B.无最大值,有最小值0C.既无最大值,又无最小值D.以上都不对A 解析因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.123456789 10 11 122.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x0,1,若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为()A.-1B.0C.1D.2C解析f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4
10、+a,f(x)在0,1上单调递增,则f(x)min=f(0)=a=-2,f(x)max=f(1)=3+a=1.123456789 10 11 123.已知函数 (k0)在3,8上的最大值为1,则k的值为()A.1B.-6C.1或-6D.6A123456789 10 11 124.(多选题)已知函数f(x)=x2的值域是0,4,则它的定义域可能是()A.-1,2B.-3,2C.-1,1D.-2,1AD解析f(x)的值域是0,4,0 x24,-2x2.f(x)的定义域可能是-1,2,-2,1.f(-3)=9,f(x)在-1,1上的最大值为1,-3,2和-1,1不可能是f(x)的定义域.故选AD.1
11、23456789 10 11 125.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.120万元C.120.25万元D.60万元B解析设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0 x15,xN),整理得y=-x2+19x+30.因为该函数图象的对称轴为x=,开口向下,又xN,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.123456789 10 11 126.若函数 则f(x)的最大
12、值为.11解析f(x)在区间1,2上单调递增,其最大值为f(2)=10;f(x)在区间-4,1)上单调递减,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.123456789 10 11 127.当0 x2时,a-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是.(-,0)解析令f(x)=-x2+2x,则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.又x0,2,f(x)min=f(0)=f(2)=0,a0.123456789 10 11 12单调递增 123456789 10 11 12B 级 关键能力提升练9.已知函数y=x2-4x+3在区间a,b上的值域为-1,3,则b-a的取值范围是()A
13、.0,2B.0,4C.(-,4D.2,4D解析y=x2-4x+3=(x-2)2-1,画出图象如图所示,当x=0或x=4时,x2-4x+3=3,当x=2时,x2-4x+3=-1,结合二次函数的性质可得,b-a的最小值为4-2=2,b-a的最大值为4-0=4.故选D.123456789 10 11 12123456789 10 11 1210.(多选题)已知函数 ,则该函数的()A.最大值为-3B.最小值为1C.没有最小值D.最小值为-3AC123456789 10 11 1211.用mina,b表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=minx+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为.6解析在
14、同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据minx+2,10-x(x0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).123456789 10 11 12123456789 10 11 1212.在x-2,2,x1,3这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题.已知函数f(x)=x2+ax+4.(1)当a=-2时,求f(x)在-2,2上的值域;(2)若,f(x)0,求实数a的取值范围.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)123456789 10 11 12解(1)当
15、a=-2时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,则f(x)在-2,1)上单调递减,在(1,2上单调递增,f(x)min=f(1)=3,f(-2)=12,f(2)=4,故f(x)的值域为3,12.(2)选择条件:若a4,则f(x)在-2,2上单调递增,f(x)min=f(-2)=8-2a0,解得a4.123456789 10 11 12若a-4,则f(x)在-2,2上单调递减,f(x)min=f(2)=8+2a0,解得a-4.又a-4,a=-4.综上所述,a的取值范围是-4,4.选择条件:x1,3,f(x)0,f(x)max0,即f(1)0或f(3)0,解得a-5或a-.a-5,即a的取值范围为-5,+).
