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1、2第十二章第十二章 无穷级数无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数3第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一一. 常数项级数的概念常数项级数的概念引例引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 时, 这个和逼近于圆的面积 A.它们的面积可表示为即41.定义定义：给定一个数列将各项依次相加，简记为即称上式为无穷级数无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项一般项,2.级数的前 n 项和称为级数的部分和部分和 .如果存在 ,记作否则称为发散发散 .收敛收敛 ,并称 S 为级数的和和,则称无穷级数56例例1. 讨论
2、等比级数 (又称几何级数又称几何级数)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若当时,从而因此级数收敛 ,当时,从而因此则部分和级数发散 .由于其和为由于72). 若当因此级数发散 ;当时,因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则时级数成为不存在 , 因此级数发散.8例例2. 判别下列级数的敛散性.解解: (1) 所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和9例例2. 判别下列级数的敛散性.(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和10解解1112131415
3、二二. 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质性质性质1. 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 , 其和为 c S .证证：令则这说明收敛，其和为 c S . 说明说明：级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变 .即16性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为证证: 令则这说明级数也收敛, 其和为17性质性质2. 设有两个收敛级数说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散,则必发散. 但若二级数都发散 , 则不一定发散.例如 则级数也收敛, 其和为(1) 性质 2 表明收敛级数可逐项相加或减 .用反证法可证18性质性质3. 在级数前面加上或去掉有限项有限项,
4、不会影响级数的敛散性.证证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为由于时敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .与 极限状况相同, 故新旧两级数所得新级数19性质性质4. 收敛级数加括弧加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和 .证证: 设收敛级数若它按某一规律加括弧 , 例如设为 显然, 新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列.推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意:原级数发散,则加括号后不一定发散级数却发散 .因此必有例如用反证法可证用反证法可证20三三. 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证证: 由此可知:
5、 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0, 则级数必发散则级数必发散 .例如,级数其一般项为 当不趋于0,因此这个级数发散.时21注意：注意：并非级数收敛的充分条件 .例如，调和级数虽然但此级数发散 .22例例3. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:解解: (1) 令则故从而这说明级数发散 .23因进行拆项相消进行拆项相消这说明原级数收敛 , 其和为24级数的部分和为则这说明原级数收敛 , 其和为 3 .故25四、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法26 P254 1（1），）， （3） ； 2（2），（），（3），（），（4）；）； 3（2）；）； 4（1），（），（3），（），（5）作业12-127练习题练习题2829练习题答案练习题答案
