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1、线线 性性 代代 数数主讲：匡锐匡锐Email: 第一章第一章 矩阵矩阵第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算第三节第三节 逆矩阵逆矩阵第四节第四节 分块矩阵分块矩阵关于矩阵_1矩阵这个词是由西尔维斯特(Sylvester,1814-1897)于1850年首先提出。他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了美国数学杂志。在长达5
2、0多年的时间内，他是矩阵论和行列式始终不渝的作者之一。关于矩阵_21850年，由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念。应用：自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，都有广泛的应用。1858年，卡莱(A. Cayley)建立了矩阵运算规则。例子：例子： 解线性方程组解线性方程组1行行2行行3行行1行行2行行3行行代替为：代替为：r1r2r3r1r2r3矩阵就是这样引入的！矩阵就是这样引入的！第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念1.1 矩阵的概念定义1.1 矩阵矩阵（1.1）n
3、mijax) 1 . 1 (（式也可写作 A1.1 矩阵的概念1.1 矩阵的概念矩阵 称为这个图的关联矩阵。关联矩阵。上图的关联矩阵为：1.1 矩阵的概念实矩阵实矩阵 矩阵的元素全为实数，即aijR， i = 1,2, m; j = 1, 2, n， 是本书讨论的主要对象。 复矩阵复矩阵 矩阵元素全为复数，即aijC， i = 1,2, m; j = 1, 2, n。n阶矩阵阶矩阵 一个n n矩阵简称为n阶矩阵阶矩阵， 即行数和列数相等且都等于n的矩阵,也称为n阶方阵阶方阵。1.1 矩阵的概念温馨提示：温馨提示：v 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 A1n = (a1 a2 an)v只有一列的矩阵
4、只有一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵，v两两个个矩矩阵阵 A、B，若若行行数数、列列数数都都相等，则称相等，则称 A、B 是同型的；是同型的；称为行矩阵称为行矩阵,也称为也称为n维行向量维行向量；也称为也称为m维列向量维列向量；v若若 A = (aij)mn, B = (bij)mn 是是同同型型的的，且且 aij = bij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) ，则称则称 A 与与 B 相等，记作相等，记作 A B；v元素全为元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，记作的矩阵称为零矩阵，记作O；v不同型的零矩阵是不相等的。不同型的零矩阵是不相等的。定义1.2 主对角线，主对
5、角元主对角线，主对角元1.1 矩阵的概念1.1 矩阵的概念 对角矩阵对角矩阵主对角线元全是1的对角矩阵称为单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵，记为或 1.1 矩阵的概念提问 (1): 单位矩阵是不是对角矩阵？ (2): 零矩阵是不是对角矩阵？定义1.3 上三角矩阵，下三角矩阵上三角矩阵，下三角矩阵1.1 矩阵的概念第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算定义1.4 矩阵的和矩阵的和1.2 矩阵的运算定义1.5 矩阵的差矩阵的差1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算定义1.6 矩阵的数乘矩阵的数乘1.2 矩阵的运算矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算。负矩阵：练习练习1设求 A2B解：练习练习2: 设 满
6、足定义1.7 矩阵的乘法矩阵的乘法1.2 矩阵的运算例1.8解：解：课堂练习：课堂练习： 设矩阵设矩阵求乘积求乘积 AB 和和 BA.解：注：注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律即矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法与数的乘法的不同之处：矩阵乘法与数的乘法的不同之处：第一，矩阵乘法不满足交换律. AB有意义，而BA 可能无意义；一般地，ABBA.1.2 矩阵的运算矩阵乘法与数的乘法的相同之处：矩阵乘法与数的乘法的相同之处：1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算例1.12 设A, B是n阶上三角矩阵,试证明AB仍是上三 角矩阵.1.2 矩阵的运算例1.14 某生态公园现有某种鸟类5000只，其中患病的有
7、20%，设每年健康的鸟有20%患病，而患病的鸟有60%治愈。求两年后健康的鸟合患病的鸟各有多少？解：设转移矩阵A为：1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算定义1.8 矩阵的转置矩阵的转置1.2 矩阵的运算课堂练习课堂练习设求 ( A B ) T。解一：解一：解二解二( A B ) T = B T A T1.2 矩阵的运算1.2 矩阵的运算定义1.9 对称矩阵，反对称矩阵对称矩阵，反对称矩阵练练习习 设设A为为任任一一方方阵阵，证证明明 : A+AT为为对对称称阵阵，而而AAT 为反对称阵为反对称阵证：由于故故A+AT为对称阵，为对称阵，AAT 为反对称阵为反对称阵。1.2 矩阵的运算1.2 1.2 矩阵的运算矩阵的运算证：证：第一章作业（习题一） 1(5)，2(3)，7，9(3)，10，15，20，23，28。作业统一用 纸做好，便于携带，请配合！作业每章交一次,于该章讲完后的下一次课交，请将每节的作业整理好并装订在一起并成一章，然后交与各班的学习委员，请各学习委员对该班作业登记，将作业及缺交名单一并交上来，每次必须统计一次。平时成绩占20分，包括作业与签到，期末考试占80分，请大家认真对待。
