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1、1高考数学文科考点专题复习基础知识一、棱柱的概念与性质(1)棱柱的概念如果一个多面体有两个面 ，而其余各面都是 形，并且每相邻两个 的公共边都 ，由此面围成的 叫做棱柱侧棱 底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱 底面的棱 柱叫做直棱柱；底面是的直棱柱叫做正棱柱互相平行四边四边形互相几何体垂直于不垂直于正多边形平行2高考数学文科考点专题复习(2)棱柱的性质所有的侧棱都相等，各个侧面都是；两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的；过不相邻的两条侧棱的截面都是 (3)棱柱的侧面积和体积公式直棱柱的侧面积和体积公式如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧 .如果直棱柱的底面面积是S，高是
2、h，那么它的体积是V直棱柱 .平行四边形全等多边形平行四边形chSh3高考数学文科考点专题复习斜棱柱的侧面积和体积公式如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为c，侧棱长为l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧 .如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长为l，那么它的体积是V斜棱柱 .clSl4高考数学文科考点专题复习二、长方体(1)几个概念：底面是叫做平行六面体叫做直平行六面体，叫做长方体 叫做正方体(2)长方体的对角线的性质：长方体的一条对角线长的平方等于平行四边形的四棱柱侧棱与底面垂直的平行六面体底面是矩形的直平行六面体棱长都相等的长方体一个顶点上三条棱长的平方和5高考数学
3、文科考点专题复习温馨提示：(1)正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，因此正四棱柱一定是长方体，长方体不一定是正四棱柱6高考数学文科考点专题复习三、棱锥的概念和性质(1)棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是的三角形，那么这个多面体叫做棱锥(2)性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，并且它们面积的比等于 有一个公共顶点截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比7高考数学文科考点专题复习归纳拓展：(1)如果棱锥的各侧棱相等或各侧棱与底面成等角，那么顶点在底面上的射影是底面多边形的外心；(2)如果棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，那么顶点在底面上的射影是底面多边形的
4、内心；(3)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心8高考数学文科考点专题复习四、正棱锥的概念与性质(1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是，并且顶点在底面的射影是 ，这样的棱锥叫做正棱锥(2)正棱锥的性质：正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 ，各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个 正多边形底面的中心相等全等的等腰三角形直角三角形直角三角形9高考数学文科考点专题复习五、棱锥的面积与体积(1)棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和侧面积(S侧)之和，即S全若c为正棱锥
5、的底面周长，h为斜高，则S侧 ch.(2)棱锥的体积等于它的底面积(S)与高(h)的乘积的三分之一，即V棱锥 Sh.S底S侧10高考数学文科考点专题复习易错知识一、概念理解错误1下面是关于正三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)11高考数学文科考点专题复习解题思路：顶点在底面内的射影是内心，又底面是正三角形，故为中心，正确
6、；如图(1)中，ACBCCDBDADAB，每个侧面都是等腰三角形，但此棱锥不是正三棱锥，错误；如图(2)，以正六边形ABDEFG的一边AB为边，作正ABC，正六边形的中心O为三棱锥SABC的顶点S的射影满足条件：三棱锥的侧面积全相等，但不是正三棱锥，错误；由已知，顶点在底面内的射影是底面三角形的内心，也是外心，故底面三角形为正三角形，又可推导出各侧棱、斜高彼此相等，故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形，故棱锥为正三棱锥，正确综上所述正确12高考数学文科考点专题复习失分警示：失分警示：误区1：判断是错误的，原因是把多面体的底面理解为其底面所在的平面，如图(2)，二面角SACO、SBCO、SABO都
7、相等，但不是正棱锥注意，侧面SAB与底面ABC所成的二面角是SABC，不是SABO.13高考数学文科考点专题复习误区2：判断或是正确的，直观认为正三棱锥满足、的条件，而又举不出反例，就认为正确误区3：判断错误，原因是由三角形的内心、外心重合而推导不出三角形为正三角形，或者对正三棱锥的概念理解不透，底面是正三角形，顶点在底面内的射影是底面正三角形的中心两个条件吃不准，而妄加判断启示：对棱柱、棱锥、正棱柱、正棱锥的有关概念，相应性质要深刻理解，把握准确，特别是正棱柱、正棱锥条件要求很高，不可缺少答案：14高考数学文科考点专题复习二、公式应用错误3如图，设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分
8、别是侧棱AA1、CC1上的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为()15高考数学文科考点专题复习解题思路：设侧面AA1C1C的面积为S，B到侧面AA1C1C的距离为h，则V Sh.由于PAC1Q.则PQ平分侧面AA1C1C的面积，即四边形APQC的面积为 S，由棱锥的体积公式得VBAPQC 16高考数学文科考点专题复习失分警示：三棱柱的体积由一个侧面面积S与这个侧面和它相对棱的距离h表示为V Sh(可以用补形法推导公式)这个公式可能有的同学记不住或不会灵活应用，而使本题思维受阻答案：C17高考数学文科考点专题复习回归教材1下列说法正确的是()A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B有两个相邻侧
9、面是矩形的棱柱是直棱柱C底面是正多边形的棱柱是正棱柱D侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱18高考数学文科考点专题复习解析：考查4个命题：A不正确，两个相对的侧面是矩形，但另一对相对侧面不是矩形，这样的棱柱不是直棱柱；B正确，根据两相交平面垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面，可得到侧棱必垂直于底面；C不正确，当侧棱不与底面垂直时，不是正棱柱；D不正确，如底面是菱形的直棱柱符合条件，但这样的棱柱不是正棱柱故选B.答案：B19高考数学文科考点专题复习2(教材改编题)有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对
10、角线相等的平行六面体是直平行六面体其中正确的个数是()A1B2C3D420高考数学文科考点专题复习解析：对于，不正确，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体；对于，不正确，若底面是菱形，底面边长与棱长相等，但该直四棱柱不是正方体；对于，不正确，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两条侧棱所在的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直；对于，正确，由对角线相等可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体答案：A21高考数学文科考点专题复习3正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为()答案：C22高考数学文科考点专
11、题复习4(教材改编题)已知长方体的高是2cm，长与宽的比为43，一条对角线长为 则它的长与宽分别为()A4,3 B3,4 C8,6 D6,8答案：C23高考数学文科考点专题复习5(2009江苏，8)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_答案：1824高考数学文科考点专题复习【例1】如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D等
12、腰四棱锥的各顶点必在同一球面上25高考数学文科考点专题复习思路点拨过顶点作底面的垂线，找到线面角；利用四点共圆的条件判断A、C；找到球心判断D.26高考数学文科考点专题复习解析如图所示，27高考数学文科考点专题复习等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成的角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成的角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题28高考数学文科考点专题复习答案B拓展提升解决这类问题需在理解棱柱、棱锥几何特征与性
13、质的基础上，准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，高考中往往综合考查线面位置关系，需要有较强的空间想象能力当需要否定一个命题时，举一个反例即可作为选择题，利用四选一的特点，排除三个，可确定第四个为答案29高考数学文科考点专题复习探究等腰四棱锥的底面形状确定吗？解析不确定根据定义，底面四边形只要是一个圆内接四边形即可30高考数学文科考点专题复习下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是_(写
14、出所有真命题的编号)答案：31高考数学文科考点专题复习解析：若有两个侧面垂直于底面，如果是两个相邻的侧面垂直于底面，则其交线必垂直于底面，就可以判定为直棱柱如果是两个相对的侧面垂直于底面，则不能判定但题目没有强调是相邻，所以不能判定若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则其交线垂直于底面，而侧棱与该交线平行，所以侧棱垂直于底面，满足条件的四棱柱为直棱柱由各边长相等且全等的菱形为侧面，可组成一个四棱柱，则其可能为平行六面体，而非一定是直四棱柱四棱柱的过相对侧棱的截面为平行四边形，若其对角线相等则其为矩形，即侧棱垂直于底面，所以满足条件的四棱柱为直四棱柱.32高考数学文科考点专题复习【例2】如图，在
15、多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()33高考数学文科考点专题复习解析如下图所示，过BC做EF的直截面BCG，做面ADM面BCG，34高考数学文科考点专题复习答案A35高考数学文科考点专题复习(2009辽宁，11)正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为 ()A1：1 B1：2 C2：1 D3：2答案：C36高考数学文科考点专题复习解析：G为PB中点，VPGACVPABCVGABC2VGABCVGABCVGABC.又多边形ABCDEF是正六边形，SABC SACD，V
16、DGACVGACD2VGABC，VDGACVPGAC2：1.37高考数学文科考点专题复习【例3】(2009山东，18)如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1分别是棱AD，AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，求证：直线EE1平面FCC1；(2)求证：平面D1AC平面BB1C1C.38高考数学文科考点专题复习证明(1)证法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1，由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A
17、1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C，而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.39高考数学文科考点专题复习证法二：因为F为AB的中点，CD2，AB2，ABCD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC.又CC1DD1，FCCC1C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.40高考数学文科考点专题复习(2)证明：连结AC，在FBC中，FCBCFB，又F为AB的中点，所以AFFCFB，因此ACB90，即ACBC.又ACCC1，且CC1BC
18、C，所以AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，故平面D1AC平面BB1C1C.41高考数学文科考点专题复习如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PCAD.底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC.PAABBC，点E在棱PB上，且PE2EB. 42高考数学文科考点专题复习(1)求证：平面PAB平面PCB；(2)求证：PD平面EAC；(3)求二面角AECP的大小解析：(1)证明：PA底面ABCD，PABC.又ABBC，PAABA，BC平面PAB.又BC平面PCB，平面PAB平面PCB.43高考数学文科考点专题复习(2)PA底面ABCD，AC为PC在平面ABCD内的射影又PCAD，ACAD.
19、在梯形ABCD中，由ABBC，ABBC，44高考数学文科考点专题复习45高考数学文科考点专题复习(3)在等腰直角PAB中，取PB的中点N，连结AN，则ANPB.平面PAB平面PCB，且平面PAB平面PCBPB，AN平面PBC.在平面PBC内，过N作NH直线CE于H，连结AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AHCE.AHN就是二面角ACEP的平面角在RtPBC中，设CBa，46高考数学文科考点专题复习由NHCE，EBCB可知：NEHCEB，代入解得NH 在RtAHN中， 47高考数学文科考点专题复习【例4】(2009石家庄一模)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD1
20、20，PA2，PBPCPD，E是PB的中点(1)求证：PA平面ABCD；(2)求二面角EACP的大小；(3)设F是直线DC上的动点，求点E到平面PAF的最大距离48高考数学文科考点专题复习解析(1)如图，取BC的中点M，连结PM，AM.四边形ABCD为菱形，BAD120，则BCAM，BCPM.BC平面APM，从而BCPA.同理DCPA，故PA平面ABCD.(或用同一法可证)49高考数学文科考点专题复习(2)先求二面角EACB的大小取AB的中点H，过H作HNAC于点N，连结EN.则EH平面ABCD，ENH是二面角EACB的平面角可求得ENHarctan，又平面PAC平面ABCD，所以二面角EAC
21、P的大小为50高考数学文科考点专题复习(3)先求点B到平面PAF的最大距离PA平面ABCD，平面PAF平面ABCD，平面PAF平面ABCDAF，点B到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离过点B作直线AF的垂线段，在所有的垂线段中长度最大为AB2故点E到平面PAF的最大距离为1.51高考数学文科考点专题复习(2009衡中模拟，13分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，AB1，ABC90；点D、E分别在BB1、A1D上，且B1EA1D，四棱锥CABDA1与直三棱柱的体积之比为3：5.52高考数学文科考点专题复习(1)求异面直线DE与B1C1的距离；(2)若BC ，求二面角A1DC
22、1B1的平面角的正切值解析：(1)因B1C1A1B1，B1C1BB1，故B1C1A1ABB1，从而B1C1B1E，又B1EDE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线设BD的长度为x，则四棱锥CABDA1的体积V1为而直三棱柱ABCA1B1C1的体积V2为V2SABCAA1 ABBCAA1BC.53高考数学文科考点专题复习54高考数学文科考点专题复习(2)如图，过B1作B1FC1D，垂足为F，连结A1F.因A1B1B1C1，A1B1B1D，故A1B1面B1DC1.由三垂线定理知C1DA1F，故A1FB1为所求二面角的平面角在RtC1B1D中，C1D55高考数学文科考点专题复习56高考数学文科
23、考点专题复习1准确把握棱柱的概念和性质，弄清几种棱柱的关系是解决概念和性质问题的关键2在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，如图所示，O为底面正多边形的中心，E为AB的中点，四个直角三角形为RtVOA、RtAEO、RtVEA和RtVOE，它们包含了棱锥的高、斜高、侧棱、底面边长的一半、底面正多边形的外接圆半径、内切圆的半径、侧棱与底面所成的角、侧面与底面所成的角57高考数学文科考点专题复习正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故两相邻侧面所成的二面角可以用定义法边长为a的正三角形、正方形、正六边形的外接圆半径依次为： a；内切圆半径依次为 58高考数学文科考点专题复习3三棱锥体积的求解注意换底法(等积法)，换底的目的是有利于求高三棱锥的任何一个面都可以充当底面，相对的点即为顶点59高考数学文科考点专题复习 请同学们认真完成课后强化作业60高考数学文科考点专题复习
