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1、第一章 计数原理 1.2 排列复习两个基本原理分类加法计数原理类类独立，不重不漏分步乘法计数原理步步相依，步骤完整 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法都能独立完成每类办法都能独立完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个步
2、骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、并列的、独立的并列的、独立的各步之间是相关联的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系：问：问：用用1 1，2 2，.8.8，9 9可组成多少个无重可组成多少个无重复数字的六位数？复数字的六位数？步骤繁多，如何简化？步骤繁多，如何简化？排列问题公式化排列问题公式化 3 3名同学排成一排照
3、相，有多少种排法？名同学排成一排照相，有多少种排法？方法1 （枚举法）把三名同学用A、B、C作为代号，于是有以下6种排法：ABC ACB BCA BAC CAB CBA方法2 （分步计数）（分步计数）A A，B B，C C三人排成一行，可以看作讲字母三人排成一行，可以看作讲字母A,B,CA,B,C顺次排入相邻的三个方格中顺次排入相邻的三个方格中. .首先排第一个位置：从首先排第一个位置：从A A，B B，C C中任选一人，有中任选一人，有3 3种方法种方法. .其次排第二个位置：从剩下的其次排第二个位置：从剩下的2 2人中任选人中任选1 1人，有人，有2 2种方法种方法. .最后排第三个位置：
4、只有最后排第三个位置：只有1 1种方法种方法. .根据乘法原理，根据乘法原理，3 3名同学排成一排照相，名同学排成一排照相，共有共有3 32 21=61=6种排法种排法. .问题1问题2 北京、广州、南京、天津北京、广州、南京、天津4 4个城市相互通个城市相互通航，应该有多少种机票？航，应该有多少种机票？起点起点终点终点方法一：枚举法方法一：枚举法北京北京广州广州南京南京天津天津广州广州南京南京天津天津北京北京南京南京天津天津北京北京广州广州北京北京广州广州南京南京天津天津起点起点终点终点方法二：分步计数方法二：分步计数从起点到终点从起点到终点按顺序排列按顺序排列第一步：确定起点，有第一步：确
5、定起点，有 4 4种方法种方法第二步：确定终点，有第二步：确定终点，有 3 3种方法种方法由乘法原理知，由乘法原理知， 共有共有4 433种机票种机票. .问题3 从从4 4面不同颜色的旗子中，选出面不同颜色的旗子中，选出3 3面排成面排成一排作为一种信号，能组成多少种信号？一排作为一种信号，能组成多少种信号？分三步完成分三步完成第1步,先选第1面旗子，有4种选择方法.第2步,在剩下的3种颜色中，再选第2面旗子，有3种选法.第3步,在剩下的2种颜色中，再选最后一面旗子，有2种选法.432=24种方法从从4 4个不同的元素个不同的元素a,b,c,da,b,c,d中任取中任取3 3个个, ,然后按
6、照然后按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列, ,共有多少种不同的排列方共有多少种不同的排列方法法? ?abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共有 432=24 种问题转化 一般地，从一般地，从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素个元素,按照一定的顺序按照一定的顺序排成一列排成一列,叫做从叫做从n个不个不同元素中取出同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列(arrangement).注意注意4 4、当两个排列的元素当两个
7、排列的元素完全相同完全相同, ,且元素的且元素的排列顺排列顺序相同序相同称两个称两个排列相同排列相同基本概念基本概念注意注意1 1、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。一个问题是否是排列问题的关键。注意注意2 2、m mn n时的排列叫时的排列叫选排列选排列，m mn n时的排列叫时的排列叫 全排列全排列。注意注意3 3、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用漏，可以采用“树形图树形图”。1、排列：、排列：例例1 1、下列问题中哪些是排列问题？、下列问题中哪些是排列问题？（1 1
8、）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5 5）2020位同学互通一次电话位同学互通一次电话（6 6）2020位同学互通一封信位同学互通一封信（7 7）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦（8 8）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另一个点的个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线射线（9 9）有
9、）有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？（1010）安排）安排5 5个学生为班里的个学生为班里的5 5个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位？哪些是全排列？2、排列数：、排列数： 从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和联系？系？不同的排列种数，而不表示具体的排列。不同的排列种数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是
10、一个数；所有排列的个数，是一个数；“排列数排列数”是指从是指从个不同元素中，任取个不同元素中，任取个元素的个元素的所以符号所以符号只表示只表示“一个排列一个排列”是指：从是指：从个不同元素中，任取个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素个元素问题问题3中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？呢呢？呢呢？ 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2
11、)种种(n-m+1)种种问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的排列个元素的排列数，记为数，记为 ,已经算出已经算出 排列数公式（排列数公式（1 1）：）：当当m mn n时，时，正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：排列数公式（排列数公式（2 2）：）：为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，规定：时上面的公式也成立，规定：练习练习1 1：利用（计算器）计算：利用（计算器）计算: :几个常见阶乘数值：几个常见阶乘数值：求证：求证：例例2例例3
12、某年全国足球甲级某年全国足球甲级(A(A组组) )联赛共有联赛共有1414队参加队参加, ,每队都要与其余各队在主客场分别比赛每队都要与其余各队在主客场分别比赛1 1次次, ,共共进行多少场比赛进行多少场比赛? ?有有5 5本不同的书本不同的书, ,从中选出从中选出3 3本给本给3 3名同学名同学, ,每人每人一本一本, ,共有多少种不同的选法共有多少种不同的选法? ?有有5 5种不同的书种不同的书, ,从中选出从中选出3 3本给本给3 3名同学名同学, ,每人每人一本一本, ,共有多少种不同的选法共有多少种不同的选法? ?排列数分步乘法计数原理例例4 4 某信号兵用红某信号兵用红, ,绿绿,
13、 ,蓝蓝3 3面旗从上到下挂在面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号竖直的旗杆上表示信号, ,每次可挂一面每次可挂一面, ,二面二面, ,三面三面, ,并且不同的顺序表示不同的信号并且不同的顺序表示不同的信号, ,一共可一共可表示多少种不同的信号表示多少种不同的信号? ?信号分三类，第一类为3面旗组成的信号，共A33种，第二类为2面旗组成的信号，共A32种，第三类为1面旗组成的信号，共A31种，由加法原理得解N=6+6+3=15练习练习2 2 用用0909这十个数字，可以组成多少个没这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？注：0不能排在百位上分析:每一个三位数都可看成
14、是这十个数字中每一个三位数都可看成是这十个数字中任取三个数字的一个排列任取三个数字的一个排列 解法一解法一: :百位用非零元元素先占，由乘法原理得百位用非零元元素先占，由乘法原理得 A A9 91 1 A A9 92 2=9=99 98=648(8=648(个个) )解法二解法二: :把特殊元素把特殊元素“0 0”先放在满足要求的位置先放在满足要求的位置上上: :三个数字都不为三个数字都不为0 0个位数字是个位数字是0 0十十位数字是位数字是0 0；由加法原理；由加法原理 A A9 93 3+ +A A9 92 2+ +A A9 92 2=9=98 87+97+98+98+98=648(8=6
15、48(个个) )用用0909这十个数字，可以组成多少个没有重复这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？数字的三位数？解法三解法三: :先计算出先计算出1010个数字任取个数字任取3 3个数字的排列个数字的排列数，然后再去掉不符合要求的排列数数，然后再去掉不符合要求的排列数, ,有有 A A10103 3-A-A9 92 2=10=109 98-98-98=648(8=648(个个) )1 1.直接计算法直接计算法：即把符合限制条件的排列数直即把符合限制条件的排列数直接计算出来，此种算法又可分为先考虑特殊元接计算出来，此种算法又可分为先考虑特殊元素还是先考虑特殊位置两种方法。素还是先考虑
16、特殊位置两种方法。2 2.间接计算法间接计算法：即先不考虑限制条件，把所有即先不考虑限制条件，把所有排列种数算出。再从中减去全部不符合条件的排列种数算出。再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合条件的排列种数。排列种数，间接得出符合条件的排列种数。小结1.1.排列排列, ,全排列全排列, ,阶乘的意义阶乘的意义, ,排列数的排列数的阶乘形式阶乘形式. .2.2.解决排列问题的一般思路解决排列问题的一般思路: :(1)(1)把问题分步来完成把问题分步来完成, ,用用分步计数分步计数原理求解原理求解; ;(2)(2)转化为求转化为求排列数排列数问题来解决问题来解决. .作业：作业：1、P1
17、1 B组组 1、22、步步高、新课程练习、步步高、新课程练习例例3 3、计划展出、计划展出1010幅不同的画，其中幅不同的画，其中1 1幅水彩幅水彩画、画、4 4幅油画、幅油画、5 5幅国画，排成一行陈列，要幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有多少种？陈列方式有多少种？例例4 4、（、（1 1）将）将1818个人排成一排，不同的排法个人排成一排，不同的排法有多少种？有多少种？ （2 2）将）将1818个人排成两排，每排个人排成两排，每排9 9人，不人，不同的排法有多少种？同的排法有多少种？ （3 3）将）将1818个人排
18、成三排，每排个人排成三排，每排6 6人，不人，不同的排法有多少种？同的排法有多少种？例例5 5、5 5人站成一排，（人站成一排，（1 1）其中甲、乙两人必）其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？须相邻，有多少种不同的排法？（2 2）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种不）其中甲、乙两人不能相邻，有多少种不同的排法？同的排法？ 例例6 6、5 5名学生和名学生和1 1名老师照相，老师不能站排名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有多少种不同的站法？头，也不能站排尾，共有多少种不同的站法？（3 3）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多少）其中甲不站排头、乙不站排尾，有多少种不同的排法？种不同的
19、排法？练练3 3 、7 7个人站成一排，其中甲、乙、丙三人个人站成一排，其中甲、乙、丙三人顺序一定，共有多少种不同的排法？顺序一定，共有多少种不同的排法？练练1 1、4 4名学生和名学生和3 3名老师排成一排照相，老师名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有多少种？排法有多少种？练练4 4 、在、在7 7名运动员中选出名运动员中选出4 4名组成接力队参名组成接力队参加加4 4100100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有多少种？棒的安排方法有多少种？练练2 2 、停车场有、停车场有7 7个停车位，现在有个停车位，现在有4 4辆车要停辆车要停放，若要使放，若要使3 3个空位连在一起，则停放的方法个空位连在一起，则停放的方法有多少种？有多少种？
