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1、第五节直线与圆、圆与圆的位置关系考纲点击考纲点击1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想初步了解用代数方法处理几何问题的思想.热点提示热点提示1.直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题，主要考查：热点问题，主要考查：(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；方程中含有
2、参数的直线与圆的位置关系的判断；(2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；(3)利用相切或相交求圆的切线或弦长利用相切或相交求圆的切线或弦长.2.本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题中考查直线与圆位置关系的综合问题.1 1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系位置关系位置关系相离相离 相交相交公共点个数公共点个数 个个1 1个个2 2个个几何特征几何特征( (圆心到直线的圆心到直线的距离距离d d，半径，半径r)r) 代数特征代数特征( (直线与圆的方程
3、直线与圆的方程组成的方程组组成的方程组) )无实数解无实数解有两组相同有两组相同实数解实数解有两组不有两组不同实数解同实数解相切相切0 0d dr rd dr rd dr r求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解2 2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系位置关系位置关系外离外离 相交相交内切内切内含内含公共点个公共点个数数 几何特征几何特征(圆心距圆心距d，两圆半径两圆半径R，r，Rr) dRr 代数特征代数特征(两个圆的两个圆的方程组成方程组成的
4、的方程组方程组)无实数无实数解解一组实数一组实数解解两组实数解两组实数解一组实一组实数解数解无实数解无实数解外切外切dRrdRrRrdRrdRr12100【答案答案】D2圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条 B2条C3条 D4条【解析解析】C1：(x1)2(y1)24，圆心C1(1，1)，半径r12.C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，半径r22.|C1C2| ，0|C1C2|r1r24，两圆相交，有两条公切线【答案答案】B3设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2y22相切，则a的值为()A B2C2 D4【答案答案】B4设直
5、线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A，B两点，且弦AB的长为2 ，则a_.【答案答案】05若圆x2y24上仅有一个点到直线xyb0的距离为1，则实数b_.【解析解析】由已知可得，圆心到直线xyb0的距离为3， 3，b3 .【答案】3已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR R)(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等【思路点拨思路点拨】用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆
6、相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长【自主探究自主探究】(1)配方得：(x3m)2y(m1)225，【方法点评方法点评】直线和圆的位置关系的判定有两种方法：(1)第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式来讨论位置关系，即0直线与圆相交；0直线与圆相切；0直线与圆相离(2)第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即dr直线与圆相交；dr直线与圆相切；dr直线与圆相离1已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当b为何值时，(1)圆与直线有两个公共点；(2)只
7、有一个公共点；(3)没有公共点【解析解析】方法一：圆心O(0,0)到直线yxb的距离为(2)当dr时，即b2时，直线与圆相切，有一个公共点；(3)当dr，即b2或b2时，直线与圆相离，无公共点方法二方法二：联立两个方程得方程组消去y得，2x22bxb220，164b2.(1)当0，即2b2时，有两个公共点；(2)当0，即b2时，有一个公共点；(3)当0，即b2或b2时无公共点已知圆M：x2y22mx2nym210与圆N：x2y22x2y20交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程【思路点拨思路点拨】先由两圆方程求出直线AB的方程，则由题意知A
8、B过N的圆心，半径最小可转化为圆心到AB的距离最小【自主探究自主探究】由圆M的方程知圆心M(m，n)又由方程组两式相减得直线AB的方程为2(m1)x2(n1)ym210.又AB平分圆N的圆周，所以圆N的圆心N(1，1)在直线AB上，2(m1)(1)2(n1)(1)m210.m22m2n50即(m1)22(n2)(*)(x1)22(y2)即为点M的轨迹方程又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，此时|MN|也最小即最小值为1，此时m1，n2.故此时圆M的方程为(x1)2(y2)25.【方法点评方法点评】1.判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般
9、不采用代数法2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到3两圆公切线的条数(1)两圆内含时，公切线条数为0；(2)两圆内切时，公切线条数为1；(3)两圆相交时，公切线条数为2；(4)两圆外切时，公切线条数为3；(5)两圆相离时，公切线条数为4.因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系2本例的条件不变，在圆半径最小的情况下，求过A，B两点，且被A，B两点截得的两段弧长之比为12的圆的方程【解析解析】由例2可知，当圆的半径最小时，m1，n2, 直线AB方程为y1.又圆M的圆心M(1，2)，圆N的圆心
10、N(1，1)，直线MN的方程为x1，可设所求圆的圆心P(1，y)，P到AB的距离d|y1|.又由题意知APB120，而|AB|4，已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值【自主探究自主探究】(1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r，知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.【方法点评方法点评】1.求圆的切线方程一般有两
11、种方法：(1)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选【特别提醒特别提醒】在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况2若点M(x0，y0)在圆x2y2r2上，则过M点的圆的切线方程为x0xy0yr2.3圆的弦长的求法：3已知点A(1，a)，圆x2y24.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程(2)若过点A且在两坐标轴上截
12、距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值【解析解析】(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12a24，a1(2009年浙江高考)已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A3 B4C5 D6【解析解析】边长为3,4,5的三角形内切圆半径为r 1.而半径为1的圆的圆心在圆心与三角形任一顶点连线上移动时，都会产生4个交点故选B.【答案答案】B2(2009年陕西高考)过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()A. B2C. D2【解析解析】圆x2y24y0的圆心C(0,2)，半径r2，由图可知C到直线AO的距离为1，AO2 ，故
13、选D.【答案答案】D【答案答案】A4(2009年上海高考)过圆C：(x1)2(y1)21的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分(如图)若这四部分图形面积满足SSSS，则这样的直线AB有()A0条 B1条C2条 D3条【解析解析】由图形可知：S、S为定值，S增大时，S减小，又S=S+S-S，显然，S是关于S的一次函数且单调递增，S既是(0，+)上关于S的增函数，也是(0，+)上关于S的减函数且S(0，+)由一次函数性质可知，同时满足两种情况的解唯一存在故选B.【答案答案】B1直线与圆的位置关系问题讨论直线与圆的位置关系问题时，要养成作图的习惯，运用数形结合的思想，综合代
14、数的、几何的知识进行求解一般说来，运用几何法解题运算较简便，但代数法更具一般性2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系重点依据圆心距d和两圆半径r1，r2的关系判断，要注意两圆的位置关系与两圆公切线条数的依附关系3过交点的圆系问题对涉及过直线与圆、圆与圆的交点圆问题，可考虑利用过交点的圆系解决问题，在运算上往往比较简便4直线与圆相切时切线的求法(1)求过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为 ，由点斜式方程可求得切线方程如果k0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为yy0或xx0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程几何方法：当k存在时，设切线方程为yy0k(xx0)，即kxykx0y00.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出代数方法：设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出以上两种方法只能求斜率存在的切线，斜率不存在的切线，可结合图形求得课时作业课时作业点击进入链接点击进入链接
