《高三数学第一轮复习教案084540》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第一轮复习教案084540（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 高考数学总复习教案及知识点 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包 含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 （2）理解逻辑联结词“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 的含义理解四种命题及其相互
2、关系；掌握充 分条件、必要条件及充要条件的意义 01. 集合与简易逻辑知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集，记为 A A； 空集是任何集合的子集，记为A； 空集是任何非空集合的真子集； 如果 A B，同时 B A，那么A=B. 如果 A B ，B C ，那么A C. 注：Z=整数（ ） Z=全体整数（ ） 已知集
3、合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（ ）（例：S=N；A= N ， 则Cs A=0） 空集的补集是全集. 第 1 页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 若集合A=集合B，则CA= ，CBA= CS（CB）=D（注：CBA= ）. B A 3.（x，y）|xy
4、=0，xR ，yR 坐标轴上的点集. （x，y）|xy0，xR ，yR 二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR ，yR 一、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. x y 3 例： 解的集合(2，1). 2x 3y 1 点集与数集的交集是 .（例：A=(x，y)|y=x+1B=y|y=x 2 +1则AB= ） 4.n个元素的子集有2个.n个元素的真子集有21个. n n 集有22个. n个元素的非空真子 n 5.一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例：若a b 5 ，则a 2 或b 3应是真命题. 解：
5、逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真. x 1 且y 2 ， x y 3. 解：逆否：x+y=3 x=1或y=2. x 1 且y 2 x y 3,故 x y 3是 x 1 且y 2的既不是充分，又不是必要条件. 小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若 x5 ，x 5 或x2. 4.集合运算：交、并、补. 交：AB x | x A , 且x B 并：AB x | x A 或x B 补：CUA xU,且xA 5.主要性质和运算律 （1）包含关系： A A ,A , A U , CU A U, A B ,B C A C; AB A , A B B ; AB A , A
6、 B B . （2）等价关系： A B A B A A B B CUA B U （3）集合的运算律： 交换律： AB BA; A B B A. 结合律 :(AB) C A (BC); (AB)C A(BC) 分配律:. A (BC) ( AB) (AC); A (BC) (A B) (AC) 0-1律：A ,A A ,UA A ,U A U 等幂律： AA A , A A A . 第 2 页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将
7、竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 求补律：ACUA=ACUA=UCUU=CU=U 反演律：CU(AB)=(CUA)(CUB) 6.有限集的元素个数 CU(AB)=(CUA)(CUB) 定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card()=0. 基本公式： (1)card(AB) card(A) card(B) card(AB) (2)card(AB C) card(A) card(B) card(C) c ard(A B) card(BC) ca
8、rd(CA) c ard(AB C) (3)card(UA)=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 第二讲.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“ 线” 在x轴上方的区间；若不等 式是“b解的讨论； 一元二次不等式ax+box0(a0)解的讨论. 2 0 0 0 二次函数 y ax 2 bx c （a 0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax 2 b x c 0 x1 x2 b x1, x2(x1 x2) 无实根 a 0的根 2a 第 3 页共 73页 衡水中学内
9、部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， ax 2 b x c 0 x x b 2a x x x1或x x2 (a 0 ) 的解集 R ax bx c 0 2 (a 0 ) 的解集 x x1 x x2 2.分式不等式的解法 f (x)0(或 f (x)0)； f ( x) 0( 或 f (x)0)
10、的形式， g(x) （1）标准化：移项通分化为 g(x) g(x) g(x) f (x) 0 f ( x )g(x) 0; g(x) f (x) 0 f ( x )g(x) 0 g ( x ) 0 g(x) （2）转化为整式不等式（组） 3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法： ax b c,与 ax b c (c 0 )型的不等式的解法. （2）定义法：用“ 零点分区间法” 分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax+bx+c=0(a0) 2 （1）根的“ 零分布” ：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“ 非
11、零分布” ：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. 第三讲，简易逻辑及命题 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “ 或” 、“ 且” 、“ 非” 这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单 命题；由简单命题和逻辑联结词“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p或q(记作“pq”)；p且q(记作“pq”)；非p(记 作“q”)。 3、“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 的真值判断 原 命 题 若 p 则 q 互 逆 逆 命 题 若 q 则 p （1）“ 非p” 形式复合命题的真假与F的真假相 互 反
12、； 否 为 逆 逆 互 否 互 否 （2）“p 且q” 形式复合命题当P与q同为真时 为 为真，其他情况时为假； 否 互 逆 否 命 题 若 q则 p （3）“p 或q” 形式复合命题当p与q同为假时 否 命 题 若 p则 q 互 逆 为假，其他情况时为真 4、四种命题的形式： 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若P 则q ；逆否命题：若q 则p 。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； 第 4 页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联
13、网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题) 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 、原命题为真，它的否命题不一定为真。 、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若pq
14、且qp,则称p是q的充要条件，记为pq. 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从 而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 第四、五讲函数 考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性 反函数互为反函数的函数图像间的关系 指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数 对数对数的运算性质对数函数 函数的应用 考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念 （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法 （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数 （4）理解分数指数幂的概念，掌握有
15、理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质 （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质 （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 函数知识要点 一、本章知识网络结构： 二、知识回顾： （一）映射与函数 1.映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因 第 5 页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将
16、竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数 y f ( x ) (x A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表 示出，得到x= (y).若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一 的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数 x= (y)(yC)叫做函数 y f ( x ) (x A
17、)的反函数，记作 x f 1(y),习惯上改 写成 y f 1(x) （二）函数的性质 函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 若当x1x2时，都有f(x1)f(x2 ),则说f(x)在这个区间上是增函数； 若当x1f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严 格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函 数. 2.函数的奇偶性 偶函数的定义：如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有 f ( -x)=f(
18、 x), 那么函数f (x)就叫做偶函数. 奇函数的定义：如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有 f ( -x)=-f (x), 那么函数f (x)就叫做奇函数. 第 6 页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 7.奇函数，偶函数： 偶函数： f (x ) f (
19、 x ) 设（ a ,b）为偶函数上一点，则（ a ,b）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于 y轴对称，例如： y x2 1在 1, 1 )上不是偶函数. 满足 f (x ) f ( x )，或 f (x ) f ( x ) 0，若 f (x) 0时， f (x) 1. f (x ) 奇函数： f (x ) f ( x ) 设（ a ,b）为奇函数上一点，则（ a ,b）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于原点对称，例如： y x3在1,1 )上不是奇函数. 满足 f (x ) f ( x )，或 f (x ) f ( x ) 0，
20、若 f (x) 0时， f (x) 1. f (x ) 8.对称变换：y=f （x） y 轴对称y f （x ） y=f （x） x 轴对称y f （x ） y=f （x） 原点对称y f （x ） 9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： （x1 x2）(x1 x2 ) f ( x1) f ( x 2) x b 2 x b 2 2 1 2 2 x b 2 x12 b 2 2 x 在进行讨论. 10.外层函数的定义域是内层函数的值域. x 例如：已知函数f（x）=1+ 的定义域为A，函数ff（x）的定义域是B，则集合A 1 x 与集合BB之间的关系是 A . 解：f
21、 (x)的值域是 f ( f (x) )的定义域 B，f (x)的值域R，故 B R，而A x | x 1，故 B A. 11.常用变换： f (x y ) f ( x ) f (y) f ( x y ) f ( x ) f ( y ) . 第 7 页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901
22、323239， f ( y ) f (x) f (x y ) y f ( x y ) f (y) 证： f (x y ) f ( x ) f ( x) f ( x ) f ( y ) f ( xy ) f ( x ) f ( y ) y 证： f (x) f ( x y ) f ( x ) f ( y ) y y 12.熟悉常用函数图象： 1 | x2 | y 2 1 y y 2 2 | x | 1 | x2 | 例： y 2| x | x |关于 y轴对称. y y y (-2,1) (0,1) x x x y y | 2x2 2x 1 | y |关于 x轴对称. x 熟悉分式图象： 2x
23、1 2 x 3 7 例：y 定义域x | x 3 , x R， x 3 值域y | y 2 , y R 值域 x前的系数之比. y （三）指数函数与对数函数 2 x 3 第六讲，指数函数、对数函数 指数函数 y a x(a 0 且a 1 )的图象和性质 a1 0a0时，y1;x0时，0y0时，0y1;x1. （5）在R上是减函数 （5）在R上是增函数 第 8 页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料
24、下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， a1 0a1 图 象 O x x=1 a1 （1）定义域：（0，+） （2）值域：R 性 质 （3）过点（1，0），即当x=1时，y=0 0a1 对数函数y=logax的图象和性质: 对数运算： loga(M N ) loga M loga N (1) loga M N loga M l oga N loga M n n logaM12) loga n M 1 loga M n aloga N N 换底公式：log N l ogb N a log a b 推论：log
25、a b l ogb c l ogc a 1 loga a2 l oga a3 .l ogan1 an loga an 1 2 1 （以上 M0 , N0,a0 ,a 1 ,b0,b 1 , c0,c 1 , a1, a 2. . . a n 0 且 1） 第 9 页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记
26、共享群：901323239， 注：当 a ,b 0时，log(ab ) l og(a )l og(b ). ：当 M 0时，取“+”，当n是偶数时且M 0时， M n 0，而 M 0，故取“”. 例如： loga x22 logax ( 2logax中x0而logax2中xR ）. y a x（ a0,a 1）与 y loga x互为反函数. 当 a1时， y loga x的 a值越大，越靠近 x轴；当 0a 1时，则相反. （四）方法总结 .相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. 对数运算： loga(M N ) loga M loga N (1) loga M N loga M l
27、oga N loga M n n loga M 12) a n M 1 loga M n aloga N N 换底公式：log N logb N a log a b 推论：loga b l ogb c l ogc a 1 loga a2 l oga a3 . .l ogan1 an loga an 1 2 1 （以上 M0 ,N0,a 0,a 1 ,b0,b 1 , c0,c 1 , a1,a2. . . a n0 且 1 注：当 a ,b 0时， log(ab ) log(a ) log(b ). ：当 M 0时，取“+”，当n是偶数时且M 0时， M 0，而 M 0，故取“”. n 例如：
28、 loga x22 logax (2logax中x0而logax2中xR ）. y a x（ a0,a 1）与 y loga x互为反函数. 当 a1时， y loga x的 a值越大，越靠近 x轴；当 0a 1时，则相反. .函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法. .反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域). .函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数 大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义 等. .函数值
29、域的求法：配方法(二次或四次)；“ 判别式法” ；反函数法；换元法； 不等式法；函数的单调性法. .单调性的判定法：设x1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且x1x 2；判定f(x1) 第 10页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 与f(x 2)的大小；作差比较或作商比
30、较. .奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关 系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)f( -x)=-1为奇函数. .图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的 图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. 第七、八讲等差、等比数列通项 考试内容： 数列 等差数列及其通项公式等差数列前n项和公式 等比数列及其通项公式等比数列前n项和公式 考试要求： （1）理解数列的概念，了解
31、数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并 能根据递推公式写出数列的前几项 （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实 际问题 （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实 际问题 数列知识要点 数列的定义 项 数列的有关概念 数列的通项 项数 通项 数列 数列与函数的关系 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n 项和 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n 项和 等比数列 等差数列 等差数列 等比数列 定义 an1 an d an1 q (q 0 ) an 第
32、 11页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 递推公 an an1 d ； an amn md an an1q； an amq nm an a1q n1（ a1,q 0） 式 通项公 an a1 (n 1 )d 式 中项 A a nk ank G ankank (ankan
33、k 0) （ n ,k N *,n k0） 2 （ n ,k N *,n k0） 前 n项 Sn n (a1 an ) na1(q 1 ) 和 2 a 1 q n a1anq (q 2 ) 1 q S n 1 Sn na1 n (n 1 ) d 1 q 2 重要性 质 am an a p aq(m,n, p,q N *, m n p q ) am an a p aq(m,n, p,q N *,m n p q ) 1.等差、等比数列： 等差数列 定义 等比数列 a an 为A P an1 an d ( 常数） an 为G P n1 q ( 常数） an 通项公 式 an= a1+（n-1）d=
34、ak+（n-k） an a1q n1 akq nk d=dn+a1-d 求和公 sn n (a1 an) na n(n 1 ) d n a1 (q 1 ) (q 1 ) 式 1 2 2 sn a1(1q n) 1 a anq 1 q d n2 (a1 d )n 1 q 2 2 A= a b 中项公 推广： 2an=an m an m G 2 ab。推广：an2 anm an m 式 2 性 质 1 若m+n=p+q则 am an a p aq 若m+n=p+q，则aman a paq。 2 若kn成A.P（其中kn N）则ak 若kn成等比数列（其中kn N）， n 也为A.P。 则ak 成等
35、比数列。 n 3 sn, s2n sn, s3n s2n成等差数列。 sn, s2n sn, s3n s2n成等比数列。 第 12页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 4 n1 a n m an d an a1 am an q n ， q (m n ) m n a 1 a
36、m n 1 (m n ) 5 看数列是不是等差数列有以下三种方法： an an1 d (n 2 ,d为常数) 2 an an1 an1( n 2) an kn b( n ,k为常数). 看数列是不是等比数列有以下四种方法： an an1q(n 2 ,q为常数, 且 0 ) a an1 an1( n 2， anan1an1 0) 2 n 注：i. b ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b ac ii. b ac（ac0） 为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b ac 为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b ac且 ac 0 为a、b、c等比数列的充要. a、b、c等比数列.
37、 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个. an cqn(c ,q为非零常数). 正数列 an成等比的充要条件是数列log x an（ x1）成等比数列. s1 a1(n 1 ) 数列 an的前 n项和 Sn与通项 an的关系： an s sn1(n 2 ) n 注： a na1n 1d nd a1d（ d可为零也可不为零 为等差数列充要条件（即常 数列也是等差数列） 若 d 不为0，则是等差数列充分条件）. d 等差 a n前n项和 S nAn2Bn n2a1n d 可以为零也可不为零 为等差 2 d 2 2 的充要条件 若 d为零，则是等差数列的充分条件；
38、若 d不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2.等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k倍 2 Sk ,S2k Sk ,S3k S2k. . .； S an an1； S偶S奇nd，奇 偶 若等差数列的项数为2 n nN ，则 S 第 13页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643
39、741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 若等差数列的项数为 2n 1nN ，则 S 2n 12n 1 an，且 S奇S偶a n， S n 奇 偶 S n 1 代入n 到2n 1 得到所求项数. 3.常用公式：1+2+3+n= nn 1 2 12 2232 n2nn 1 2 n 1 6 2 nn 1 13 2333n3 2 5 注：熟悉常用通项：9，99，999，an 10n 1；5，55，555，an 10n 1. 9 第九讲，数列的应用 等比数列的前 n项和公式的常见应用题： 生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为 a，年增长率
40、为 r，则每年的产 量成等比数列，公比为1 r.其中第 n年产量为 a(1 r )n1，且过 n年后总产量为： a a (1r ) a (1r )2 . . . a ( 1 r )n1 a a (1r )n . 1(1r ) 银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存 a元，利息为 r，每月利息按 复利计算，则每月的 a元过 n个月后便成为 a(1 r )n 元.因此，第二年年初可存款： a(1 r )12 a (1r )11 a (1r )10 . . . a (1r )= a(1 r ) 1 ( 1 r )12 1(1r ) . 分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m
41、个月将款全部付清；r为年利率. m x1 rm 1 x ar 1 r m a1 rm x1rm1 x1rm2 . . . . . . x1 r x a1 r r 1rm 1 3.数列常见的几种形式： a n2pa n1qa n（p、q为二阶常数） 用特证根方法求解. 具体步骤：写出特征方程 x2Pxq（ x 2对应 an2，x对应 a n1），并设二根 x1, x2若 x1x 2 可设 a n .c1x c2xn2，若 x1x 2可设 an( c1c2n)xn1；由初始值 a1,a 2确定 c1,c2. n 1 a nPan1r（P、r为常数） 用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数n 转化
42、为 a n2Pa n1qa n的形式，再用特征根方法求 a n； anc1c2Pn1（公式法），c1,c2 由 a1,a 2确定. r 转化等差，等比： a n1x P(a nx ) a n1Pa nPx x x . P 1 第 14页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239，
43、r r 选代法： a nPa n1r P(Pa n2r ) r a n(a1 P n1a1P n2r P r r. )P n1 (a1x )P n1x P 1 P 1 用特征方程求解： a n1Pa nr相减， a n1 a nPa nPa n1a n1（P 1 ）a nPa n1. a nPa r n1 r r r r 由选代法推导结果： c1 ，c2a1 ，a nc2P n1c1（a1 ）P n1 . 1 P P 1 P 1 1 P 46.几种常见的数列的思想方法： 等差数列的前 n项和为 Sn，在 d 0时，有最大值.如何确定使 Sn取最大值时的 n值，有 两种方法： 一是求使 an 0
44、 ,an10，成立的 n值；二是由 Sn d n2 (a1 d )n利用二次函数的性质求 n 2 2 的值. 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 n项和可依 照等比数列前 n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1 1 ,3 1 , . . . (2n 1 ) 1 , . . . 2n 2 4 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项，公差是两个数列公差 d1，d 2的最小公倍数. 第十讲，判断数列并求和 1.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n2 的任意自然数, 验证 an an
45、1( a 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 n ) an1 2an1 an an2 (a 2 n1 anan2)n N都成立。 am 0 2.在等差数列an中,有关Sn的最值问题：(1)当a10,d0时，满足 的项数 m 1 0 a am 0 m使得 sm取最大值 .(2)当a10时，满足 m 1 0的项数m使得 sm取最小值。在解 a 含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （一）、数列求和的常用方法 1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 c 2.裂项相消法:适用于a a 其中 an是各项不为0的等差数列，c为常数；部 n1 n 分无理
46、数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于anbn其中 an是等差数列，bn是各项不为0的等比数列。 第 15页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 二.常用结论 n(n 1) 1）:1+2+3+.+n= 2 2）
47、1+3+5+.+(2n-1)=n 2 2 1 n(n 1) 3）1 3 2 3 n 3 2 1 n(n 1)(2n 1) 4） 12 22 32 n 2 6 1 1 1 1 1 (1 1 5） 6） ) n(n 1) n n 1 n(n 2) 2 n n 2 1 1 (1 1) (p q) pq q p p q 第十一讲，三角函数 考试内容： 角的概念的推广弧度制 任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+)的图像正切函数的 图像和性质已
48、知三角函数值求角 正弦定理余弦定理斜三角形解法 考试要求： （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三 角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“ 五点法” 画正弦函数、余 弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A. 、 的物理意义 （6）会由已
49、知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 （8）“ 同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1” 1.与 （0 360 ）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）： | k 360,k Z y 2 3 第 16页共 73页 sinx sinx 4 1 cosx cosx x cosx cosx 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 4 1 sinx sinx 3 2 SIN
50、COS三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 终边在x轴上的角的集合： | k 180 ,k Z 终边在y轴上的角的集合：| k 18090 ,k Z 终边在坐标轴上的角的集合：| k 90 ,k Z 终边在y=x轴上的角的集合：| k 18045 ,k Z 终边在 y x轴上的角的集合：| k 18045 ,k Z 若角与角 的
51、终边关于x轴对称，则角与角 的关系：360k 若角与角 的终边关于y轴对称，则角与角 的关系：360k 180 若角与角 的终边在一条直线上，则角与角 的关系：180k 角与角 的终边互相垂直，则角与角 的关系：360k 90 2.角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.017451=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad 18057.30=5718 1 0.01745 180 （rad） 扇形面积公式： s扇形 1 lr 1|r 3、弧长公式：l |r. 2 2 2 4、三角函数：设是一个任意角，在
52、的终边上任取（异于 y a的终边 原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 cosx； tany； cotx； r；. y； r sin P（x,y) r. y r sec csc o x x x r y 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） y y y y + o - + T + - - + - P -o + x o + x x - O M A x 余弦、正割 正切、余切 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT. 7.三角函数的定义域： 三角函数 定义域 x | xR f (x) sinx 第 17页共 73页 衡水中学内部资料群：5
53、91993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， f (x) cosx f (x) tanx x | xR x | xR且x k 1 2 x | xR且x k,k Z x | xR且x k 1 ,k Z f (x) cotx f (x) secx ,k Z 2 f (x) cscx x | xR且x k,k Z 8、同
54、角三角函数的基本关系式： sintan cos coscot sin cscsin1 seccos1 1 csc cot tancot1 sin cos 1 sec 2 2 2 tan 2 2 2 1 9、诱导公式： 把k的三角函数化为的三角函数，概括为： 2 “ 奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 sin(2kx) sin x sin(x) sin x cos(2kx) cos x cos(x) cos x tan(2kx) tan x cot(2kx) cot x tan(x) tan x cot(x) cot x 公式组四 公式组五 公式组六 s
55、in(x) sin x sin(2x) sin x sin(x) sin x cos(x) cos x cos(2x) cos x cos(x) cos x tan(x) tan x cot(x) cot x tan(x) tan x cot(x) cot x tan(2x) tan x cot(2x) cot x （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos() coscos sinsin sin 22sincos cos() coscos sinsin sin() sincos cossin cos 2cos2 sin 2 2cos2 112sin 2 2 tan tan 2 1ta
56、n 2 sin 2 1cos sin() sincos cossin 2 tan() tantan 1tantan cos 2 1cos 2 tan() tantan 1tantan tan 1cos sin1cos 2 1cos1cossin 第 18页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：9
57、01323239， 公式组三 公式组四 sincos sinsin 公式组五 1 cos(1) sin 2 tan 2 2 2 cossin 1 sin sin sin 1tan 2 2 sin(1) cos 2 coscos 1 coscos 2 2 tan(1) cot 1tan 2 cos1tan 2 sinsin 1 coscos 2 2 2 sinsin 2sin cos cos(1) sin 2 2 2 2 sinsin 2cos sin 2tan 2 tan(1) cot 2 2 coscos 2coscos 2 tan 1tan 2 2 2 sin(1) cos coscos
58、2sin sin 2 2 2 2 6 2,sin75cos15 4 6 2,tan15cot7523 tan75cot152 3 4 , . sin15 cos75 第十二讲，三角函数图象及性质 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： y Asinx （A、0） R y cosx y sin x y tan x y cot x x | xR且x k1,k Zx | xR且x k,k Z 定义域 值域 R R 2 1, 1 1, 1 R R A, A 周期性 奇偶性 2 2 2 当0,非奇非偶 当0,奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 2k 1, 2k k,k 1上为减函 数（ k Z）
59、2k, ； 2k 2 2 2 2 (A ), 上为增函上为增函数 2k 2 2k 1 2 数 （ k Z） (A) 2k, 2k 1 上为增函 数 ； 单调性 上为减函 数 上为增函数； 2k, 2 2k 32k 2 （ k Z） (A), 2 (A) 2k 3 2 上为减函 数（ k Z） 上为减函数 （ k Z） 注意： y sin x与 y sin x的单调性正好相反； y cos x与 y cos x的单调性也同样相 反.一般地，若 y f (x)在a,b上递增（减），则 y f (x)在a,b上递减（增）. y 第 19页共 73页 x O 衡水中学内部资料群：591993305，北
60、京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， y sin x与 y cos x的周期是. y sin(x )或 y cos(x )（0）的周期T 2 . y tan x 2 的周期为2（T T 2，如图，翻折无效）. y sin(x )的对称轴方程是 x k（ k Z），对称中心（k,0）； y cos(x ) 2 的对称轴方程是 x
61、 k（ k Z），对称中心（ k 1 2 ,0）； y tan(x )的对称中心 （ k,0）. 2 原点对称 y cos2x y cos(2x) cos2x 当 tan tan 1, k(k Z)； tan tan 1, k(k Z). 2 2 y cos x与 y sinx 2k是同一函数,而 y (x )是偶函数，则 2 y (x ) sin(x k 1 ) cos(x). 2 函数 y tan x在 R上为增函数.（ ）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域， y tan x为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是 f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：
62、一是 定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数： f (x) f (x) ，奇函数： f (x) f (x)） 1 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如： y tan x是奇函数， y tan(x )是非奇非偶.（定 3 义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若0x的定义域，则 f (x)一定有 f (0) 0.（0x的定义域，则无此性 质） y y y sin x不是周期函数； y sin x为周期函数（T ）； y cos x是周期函数（如图）； y cos x为周期函数（T ）； x 1/2 x y=cos|x|图象 y=|cos2x+1/2|图象 y cos2x 1的周期为
63、（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 2 y f (x) 5 f (x k),k R. y a cosbsin a 2 b 2 sin() cosb有 a 2 b 2 y. a 第十三讲，三角函数图象的作法 ）、几何法： 第 20页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：9013232
64、39， ）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切 曲线）. ）、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数yAsin（x ）的振幅|A|，周期T 2，频率 f 1 |，相位x;初相 | | T 2 （即当x0时的相位）（当A0， 0时以上公式可去绝对值符号）， 由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0 |A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换（用 y/A替换y） 由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0| 1）或缩短（| 1）
65、到原来的| 1 |倍，得到ysinx 的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用 x 替换x) 由ysinx的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单 位，得到ysin（x ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x 替换 x) 由ysinx的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位， 得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移（用y+(-b)替换y） 由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin（x ）（A0， 0）（xR ） 的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的 区别。 4、反三角函数： 函数y
66、sinx， 的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx，它的定义域是 x ， 2 2 1，1，值域是 ， 2 2 函数ycosx，（x 0， ）的反应函数叫做反余弦函数，记作yarccosx，它的 定义域是1，1，值域是0， 函数ytanx， 的反函数叫做反正切函数，记作yarctanx，它的定义域是 x， 2 2 （ ， ），值域是 ， 2 2 函数yctgx，x （0， ）的反函数叫做反余切函数，记作yarcctgx，它的定 义域是（ ， ），值域是（0， ） 第十四讲，反三角函数 一、反三角函数. 1.反三角函数：反正弦函数 y arcsin x是奇函数，故arcsin(x) arcs
67、in x， x1,1 第 21页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， （一定要注明定义域，若 x,，没有 x与 y一一对应，故 y sin x无反函数） 注：sin(arcsinx) x， x1,1，arcsin x . , 2 2 反余弦函数 y arccos x非奇非偶
68、，但有arccos(x) arccos(x) 2k， x1,1. 注：cos(arccosx) x， x1,1，arccos x 0,. y cos x是偶函数， y arccos x非奇非偶，而 y sin x和 y arcsin x为奇函数. 反正切函数： y arctan x，定义域(,)，值域（）， y arctan x是奇函数， , 2 2 arctan(x) arctan x， x(,). 注：tan(arctan x) x， x(,). ，值域（ ）， y arccot x是非奇非 2 2 反余切函数： y arccot x，定义域 (,) , 偶. arccot(x) arcc
69、ot(x) 2k， x(,). 注：cot(arccot x) x， x(,). y arcsin x与 y arcsin(1x)互为奇函数，y arctanx同理为奇而 y arccos x与 y arccot x 非奇非偶但满足 arccos(x) arccos x 2k, x1,1arc cot x arc cot(x) 2k, x1,1 . 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a的取值范围 sin x a的解集 解集 a的取值范围 解集 cos x a的解集 a a1 1 a=1 a=1 x | x 2karcsin a,k Z x | x 2karccosa,k Z a1 a1 x
70、| x k1k arcsin a, k Z x | x karccos a,k Z tan x a的解集：x | x karctan a, k Z cot x a的解集：x | x karccota,k Z 二、三角恒等式. sin 33sin4sin 3 cos34cos33cos sin 2 sin 2 sin sin 组一 coscos2cos4.cos2nsin 2n1 2n1 sin cos 2 cos 2 组二 n cos cos cos 2 n sin cos cos 2 k 2 4 8 sin k1 2 n 2 n n cos(x kd) cos x cos(x d) cos(
71、x nd) sin(n 1)d)cos(x nd) sin d k0 第 22页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， n sin(x kd) sin x sin(x d) sin(x nd) sin(n 1)d)sin(x nd) sin d k0 tan() tantan
72、 tantantan tan 1tantan tan tantantan 组三三角函数不等式 sin x x tan x, x(0, ) f (x) sin x 在 (0,)上是减函数 2 x 若 AB C ，则 x 2 y 2 z 2 2yz cos A2xz cos B 2xycosC 第十五讲，平面向量 考试内容： 向量向量的加法与减法实数与向量的积平面向量的坐标表示线段的定比分点平面 向量的数量积平面两点间的距离、平移 考试要求： （1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 （2）掌握向量的加法和减法 （3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件 （4）了解平
73、面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算 （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 （6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用 掌握平移公式 平面向量知识要点 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a； 坐标表示法aj（，）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作a. (4)特殊的向量：零向量aOaO. 单位向量aO为单位向量aO1. x1 x2 (5)相等的向量：大小相等，
74、方向相同(1，1)（2，2） y1 y2 (6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0 第 23页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作ab. 平行向量也称 为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法
75、坐标方法 运算性质 ab ba ab (x1 x2, y1 y2) (a b)c a (b c) 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 AB BC AC a b a (b) ab (x1 x2, y1 y2) 向量的 减法 三角形法则 AB BA,OBOAAB 1. a是一个向量,满 (a) ()a 足:| a | | a | 数 乘 向 量 ()a a a 2.0时, a与a同向; a (x,y) (a b) a b b解的讨论； 一元二次不等式ax+bx+c0(a0)解的讨论. 2 第 31页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：7040921
76、70，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 f (x) 0 f (x)g(x) 0; f (x) 0 f (x)g(x) 0 g(x) g(x) g(x) 0 （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 f (x) 0定义域1 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g(x) f (x) 0 f (x) 0 2 f
77、 (x) 0 3 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g(x)2 f (x) g(x) g(x) 0 或 g(x) 0 f (x) g(x)2 （4）.指数不等式：转化为代数不等式 a a a f (x) ag(x)(a 1) f (x) g(x); f (x) ag(x)(0 a 1) f (x) g(x) f (x) b(a 0,b 0) f (x)lga lgb （5）对数不等式：转化为代数不等式 f (x) 0 f (x) 0 loga f (x) loga g(x)(a 1) g(x) 0 ; log a f (x) loga g(x)(0 a 1) g(x) 0 f (
78、x) g(x) f (x) g(x) （6）含绝对值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值； 3 应用化归思想等价转化 2 应用数形思想； | f (x) |g(x) g(x) 0 g(x) f (x) g(x) g(x) 0 | f (x) |g(x) g(x) 0( f (x), g(x)不同时为0)或 f (x) g(x)或f (x) g(x) 2：常用不等式的解法举例（x为正数）： 1 2x(1x)(1x) ( ) 1 2 4 x(1x) 2 3 2 2 3 27 )(1 x 2 ) ( ) 1 2 3 4 y 2 3 9 y x(1 x 2 ) y 2 2x 2(1x 2 2 2 3
79、27 1 1 1 类似于 y sin xcos 2 x sin x(1sin 2 x)，| x | x| | |(x与同号，故取等) 2 x x x 第二十二讲，直线和圆的方程 考试内容： 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式直线方程的一般式 两条直线平行与垂直的条件两条直线的交角点到直线的距离 用二元一次不等式表示平面区域简单的线性规划问题 曲线与方程的概念由已知条件列出曲线方程 圆的标准方程和一般方程圆的参数方程 第 32页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文
80、档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 考试要求： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点 斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程 （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系 （3）了解二元一次不等式表示平面区域 （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用 （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法 （6）掌握
81、圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程 直线和圆的方程知识要点 一、直线方程. x 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角，其中直线与 x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 0180 (0 ). 注：当90或 x 2x1时，直线l垂直于 x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都 有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点 (a,0),(0,b)，即直线在
82、 x轴，y轴上的截距分别为 a,b(a 0,b 0)时， 直线方程是： x y 1. a b 注：若 y x 2是一直线的方程，则这条直线的方程是 y 2 x 2 ，但若 2 3 3 y 2 x 2(x 0)则不是这条线. 3 附：直线系：对于直线的斜截式方程 y kxb，当 k,b均为确定的数值时，它表示一条确定 的直线，如果 k,b变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点 （0，b）的直线束.当 k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 第二十三讲，直线方程及斜率 两条直线平行： l1l 2k1k 2两条直线平行的条件是：l1和l 2是两条不重合的直线.在l1和l
83、 2的斜率 都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“ 前提” 都会导致结论 的错误. （一般的结论是：对于两条直线l1,l 2，它们在 y轴上的纵截距是b1,b2，则l1l 2k1k 2， 且b1b2或l1,l 2的斜率均不存在，即 A1B 2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C 2） 推论：如果两条直线l1,l 2的倾斜角为1,2则l1l 212. 两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：设两条直线l1和l 2的斜率分别为 k1和 k 2，则有l1l 2k1k 21这 里的前提是 l1,l 2的斜率都存在.l1l 2k10，且 l 2的斜率不存在或 k 20，且l1的斜
84、率 不存在.（即 A1B 2A2 B10是垂直的充要条件） 第 33页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 3.直线的交角： 直线 l1到 l 2的角（方向角）；直线 l1到 l 2的角，是指直线 l1绕交点依逆时针方向旋转到 与l 2重合时所转动的角，它的范围是 (0,)
85、，当90时 tan 2 k k1 . 1k1k 2 两条相交直线 l1与l 2的夹角：两条相交直线 l1与l 2的夹角，是指由 l1与l 2相交所成的四 ，当90，则有 个角中最小的正角 ，又称为 l1和 l 2所成的角，它的取值范围是 0, 2 k 2k1 tan . 1k1k 2 l1:A1x B1y C1 0 4. 过 两 直 线 的 交 点 的 直 线 系 方 程 l :A2 x B 2y C 2 0 2 A1x B1y C1(A2 x B 2y C 2) 0(为参数， A2 x B 2y C 20不包括在内） 5.点到直线的距离： 点到直线的距离公式：设点 P(x0,y 0)，直线
86、l : Ax By C 0, P到 l的距离为 d，则有 d Ax0By 0C A2 B 2 . 注： 1.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：| P1P2 |(x2 x1)2 (y2 y1)2 特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP |x . 2 y 2 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段 PP1 2所成的比为即PP1 PP ,其中 2 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 x x1 x2 , y y1 y2 1 1 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3.直线的倾斜角（0180 ）、斜率:k tan 4.过两点 P1(x1, y1
87、),P2(x2, y2)的直线的斜率公式：k y2 y1. x2 x1 (x1 x2) 当 x1 x2, y1 y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角90，没有斜率 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1: Ax By C10,l 2: Ax By C 20(C1C 2)， C1C 2 它们之间的距离为 d，则有 d . A2 B 2 注；直线系方程 1.与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m R,Cm). 2.与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m R) 第 34页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四
88、中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 3.过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0) 4.过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+(A2x+B2y+C2）=0(R） 注：该 直线系不含l2. 6.关于点对称和关于某直线对称： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且
89、这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 注：曲线、直线关于一直线（ y x b）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0 关于直线y=x 2对称曲线方程是f(y+2,x 2)=0. 曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a x,2b y)=0. 第二十四讲、圆
90、的方程. 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程 f (x, y) 0的实数 建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 M(x, y)其坐标与方程 f (x, y) 0的一种关系， 曲线上任一点(x, y)是方程 f (x, y) 0的解；反过来，满足方程 f (x, y) 0的解所对应的点是 曲线上的点. 注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=0 2.圆的标
91、准方程：以点C(a,b)为圆心， r为半径的圆的标准方程是(x a)2(y b)2r 2. 特例：圆心在坐标原点，半径为 r的圆的方程是： x2y 2r 2. 注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程(x a)2(y b)2b2 r b,圆心(a,b)或(a,b) 与 y轴相切的圆方程 (x a)2(y b)2a 2 与x轴 y轴都相切的圆方程 (x a)2(y a)2a2 3.圆的一般方程： x2y 2DxEy F 0. r a,圆心(a,b)或(a,b) r a,圆心(a,a) D ,E ，半径 r 2 2 D 2E 24F 当 D 2E 24F0时，方程表示一个圆，其中圆心C . 2 当 D
92、 2E 24F 0时，方程表示一个点 D ,E . 2 2 当 D 2E 24F0时，方程无图形（称虚圆）. 第 35页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 注：圆的参数方程： x a r cos（为参数）. y b r sin 方程 Ax2 Bxy Cy 2 DxEy F
93、 0表示圆的充要条件是： B 0且 A C 0且 D2E 24AF0. 圆的直径或方程：已知 A(x1,y1)B(x2,y 2) (x x1)(x x2)(y y1)(y y 2) 0（用向量可 征）. 4.点和圆的位置关系：给定点 M(x0,y0)及圆C :(x a)2(y b)2r 2. M在圆C内 (x0a)2(y0b)2r 2 M在圆C上 （x0a)2(y0b)2r 2 M在圆C外 (x0a)2(y0b)2r 2 5.直线和圆的位置关系： 设圆圆C：(x a)2(y b)2r 2(r0)； 直线l： AxBy C 0(A2 B20)； 圆心 C(a,b)到直线l的距离 d Aa Bb
94、C. A2 B 2 d r时，l与C相切； x 2y 2D1x E1y F 1 0 附：若两圆相切，则 相减为公切线方程. x 2y 2D 2x E 2y F 2 0 dr时，l与C相交； 附：公共弦方程：设C1:x2y2D1x E1y F1 0 C 2:x2y2D2x E 2y F 2 0 有两个交点，则其公共弦方程为 (D1D 2)x (E1E 2)y (F 1F 2) 0. dr时，l与C相离. x 2y 2D1x E1y F 1 0 附：若两圆相离，则 相减为圆心O1O2的连线的中与线方程. x 2y 2D 2x E 2y F 2 0 (x a)2(y b)2r 2 由代数特征判断：方
95、程组 用代入法，得关于 x（或 y）的一元二次方 Ax Bx C 0 程，其判别式为 ，则： 0 l与C相切； 0 l与C相交； 0 l与C相离. 注：若两圆为同心圆则 x2y 2D1x E1y F 10， x2y 2D2x E 2y F 20相减，不表示直 线. 第二十五讲，曲线和方程 第 36页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群
96、：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： 1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）； 2）方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C 的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。 2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 系数法. 2）参数法; 3）定义法， 4）待定 3.圆的切线方程：圆 x2y 2r 2的斜率为 k的切线方程是 y kx1k 2 r 过圆 x2y2DxEy F 0
97、x x0 E y y 0 F 0. 上一点 P(x0,y 0)的切线方程为： x0x y 0y D 2 2 一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R.特别地，过 2 A 圆 x2y 2r 2上一点 P(x0,y 0)的切线方程为 x0x y0y r 2. y1y 0k(x1x0) 若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 b y1k(a x1)，联立求出 k 切线方程. R C D(a,b) B R 21 4.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共 圆.已知 O的方程 x2y 2DxEy F 0又以A
98、BCD为圆为方程为 (xx A)(xa)(yy A)(xb) k 2 (x Aa)2(y Ab)2 R 2 ，所以BC的方程即代，相切即为所求. 4 第二十六讲，圆锥曲线方程 考试内容： 椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质 考试要求： （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 （4）了解圆锥曲线的初步应用 圆锥曲线方程知识要点 一、椭圆方程. 1.椭圆方程的第一
99、定义： PF1 PF2 2aF1F2方程为椭圆, PF1 PF2 2aF1F2无轨迹, PF1 PF2 2a F1F2以F1,F2为端点的线段 第 37页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 椭圆的标准方程： i.中心在原点，焦点在x轴上： x2 y 2 1(ab0).ii
100、.中心在原点，焦点在 y轴上： a 2 b2 y 2 x 2 1(ab0). a 2 b2 一般方程： Ax2By21(A0, B0).椭圆的标准参数方程： x 2 y 2 1的参数方程为 2 a b2 x a cos（一象限应是属于 0 ）. 2 y bsin 顶点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).轴：对称轴：x轴， y轴；长轴长 2a，短轴长 2b. 2 焦点： (c,0)(c,0)或 (0,c)(0,c).焦距： F 1F 2 2c,c a 2b2.准线： x a 或 c 2 y a.离心率： e c (0e1).焦点半径： c a 2 y 2 i.设 P(x0,y 0)为椭
101、圆 x 2 b2 1(ab0)上的一点， F 1,F 2为左、右焦点，则 PF a ex0, PF 2 a ex0 1 a 由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P(x0,y 0)为椭圆 x2 y 2 1(ab0)上的一点， F 1,F 2为上、下焦点，则 2 PF a ey0, PF2 a ey0 1 b a 2 由椭圆方程的第二定义可以推出. 1 e(x0a ) a ex0(x00), pF 2 e(a x0) ex0a(x00) 2 2 由椭圆第二定义可知： pF 归结起来为 c c “ 左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得 N(a cos,bsin) 方程的轨迹为椭圆. 2b
102、2 2 2 (c, b )和 (c, b ) a a 通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： d a 2 2 y 2 共离心率的椭圆系的方程：椭圆 x 2 b2 1(ab0)的离心率是 e c (c a 2b2 )，方 a a 2 y 2 程 x 2 b2 t(t是大于0的参数，ab0)的离心率也是e c 我们称此方程为共离心率的 a a 椭圆系方程. 若P是椭圆： x 2 y 2 1上的点. F 1,F 2为焦点，若 F 1PF 2，则 PF 1F 2的面积为 2 a b2 b2tan 2 （用余弦定理与 2a可得）.若是双曲线，则面积为b 2cot 2 . PF1 PF 2 第二十七
103、讲，双曲线方程 1.双曲线的第一定义： PF1 PF 2 2aF1F 2方程为双曲线 PF1 PF 2 2aF1F 2无轨迹 PF1 PF 2 2a F1F 2以F1,F 2的一个端点的一条射线 第 38页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 双曲线标准方程： 2 y 2
104、1(a,b0), y2 x2 1(a,b0).一般方程： 2 2 x a b2 a b2 Ax2Cy 21(AC0). i.焦点在x轴上： 顶点： (a,0),(a,0) 焦点： (c,0),(c,0) 准线方程 x a 2渐近线方程： x y 0或 c a b 2 2 2 0 x y 2 b a 2 ii.焦点在 y轴上：顶点： (0,a),(0,a).焦点： (0,c),(0,c).准线方程： y a .渐 c 2 2 x asec y b tan x b tan . y asec y x 0或 y x 0，参数方程： 或 近线方程： a b a 2 b2 轴 x, y为对称轴，实轴长为2
105、a,虚轴长为2b，焦距2c.离心率e c . 准线距 2a2 c a 2 （两准线的距离）；通径 2b.参数关系 c 2a 2b2,e c .焦点半径公式：对于双 a a 曲线方程 x 2 y 2 1（ F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） 2 a b2 “ 长加短减” 原则： MF 1 ex0a M F 1 ex0a M F 2 ex0a 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半 MF1 MF 2 2a MF 2 ex0a 径要带符号计算，而双曲线不带符号） y y MF 1 ey 0a F1 M M MF 2 ey 0a M x x M F 1 ey 0a F2
106、F1 M M F 2 ey 0a F2 等轴双曲线：双曲线 x2y 2a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x，离心率 e 2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭 双曲线. ax 2 b 与 x 2 by 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：ax 2 by2 0. 2 y 2 2 2 2 2 2 a 2 2 y 2 (0)的渐近线方程为 x 2 y 2 0如果双曲线的 2 共渐近线的双曲线系方程： x 2 a b2 a b2 y 2 2 x y 0时，它的双曲线方程可设为 x y (0). b a 2 b2 渐近线为 4 3 a 2 例如：若
107、双曲线一条渐近线为 y 1 x且过 p(3,1)，求双曲线的方程？ 1 x 2 2 5 3 3 F1 F2 解：令双曲线的方程为： x y 2 (0)，代入 (3,1)得 x 2 y 1. 2 2 2 4 2 8 直线与双曲线的位置关系： 第 39页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：9013
108、23239， 区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4 条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“ ”法与渐 近线求交和两根之和与两根之积同号. 若P在双曲线 x 2 y 2 1，则常用结论1：P到焦点的距离为m=n，则P到
109、两准线的距 2 a b2 离比为mn. PF1 简证： d 1 m n e PF 2 = . d 2 e 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 第二十八讲，抛物线方程. （设 p0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：） y 22px y 22px x 2 2 py x22py 图形 y y y y x x x x O O O O 焦点 准线 p ,0) p ,0) p) F(0, 2 F(0,p) F( F( x 2 2 2 p x 2 p p y 2 p y 2 2 x 0, yR x 0, yR x轴 xR, y 0 xR, y 0 范围 y轴 对称轴 顶点 （0，0
110、） 离心率 焦点 e 1 p x 2 PF p x1 PF p y1 PF p y1 PF 1 2 2 2 注： ay2by c x顶点 (4ac b2 b ). 4a 2a y 22px(p 0)则焦点半径 PF x P; x22py(p 0)则焦点半径为 PF y P. 2 2 通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. 第 40页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群
111、：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， x 2pt 2 x 2pt y 2 2px（或 x 2 2py）的参数方程为 （或 ）（t为参数）. y 2pt 2 y 2pt 圆锥曲线的统一定义. 1.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数 e的点的轨迹. 当 0e1时，轨迹为椭圆； 当 e 1时，轨迹为抛物线； 当 e1时，轨迹为双曲线； 当 e 0时，轨迹为圆（ e c，当 c 0,a b时）. a 2.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是 关于原点对称的. 因为具有对称性，
112、所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可。 注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1到两定点F1,F2的距离1到两定点F1,F2的距 之和为定值 离之差的绝对值为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨2a(02a|F1F2|)的点的 迹 轨迹 2与定点和直线的距离2与定点和直线的距离 之比为定值e的点的轨之比为定值e的点的轨 与定点和直线的距离相等 的点的轨迹. 迹.（0e1） 图形 标准 x 2 2 y 2 2 x 2 2 y 2 2 方 程 方程 1(a b0 1(a0,b0 a b a b y 2 =2px ) ) 参数 方程 x acos y
113、 bsin (参数为离心角） x asec y btan (参数为离心角） x 2pt y 2pt 2 (t为参数) 范围 a xa，b yb 原点O（0，0） (a,0),(a,0), (0,b),(0,b) x轴，y轴； |x| a，yR 原点O（0，0） (a,0),(a,0) x0 (0,0) x轴 中心 顶点 对称轴 焦点 x轴，y轴; 长轴长2a,短轴长2b F1(c,0),F2(c,0) 实轴长2a,虚轴长2b. F1(c,0),F2(c,0) F( p ,0) 2 焦距 a 2 b 2 ） 2c（c= a b） 2 2 2c（c= e c (0 e 1) e c (e 1) 离
114、心率 e=1 a a 第 41页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， p 准线 x= a 2 x= a 2 x 2 c c y= b x 渐近线 焦半径 通径 a r a ex r x p r (ex a) 2 2b2 2b2 2p P a a 焦参数 a2 c a2 c
115、1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2.等轴双曲线 3.共轭双曲线 5.方程y=ax与x=ay的焦点坐标及准线方程. 2 2 6.共渐近线的双曲线系方程. 第二十九讲，立体几何 考试内容 平面及其基本性质平面图形直观图的画法 平行直线对应边分别平行的角异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离 直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平 面上的射影直线和平面所成的角三垂线定理及其逆定理 平行平面的判定与性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性 质 多面体正多面体棱柱棱锥球 考试要求 （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测
116、的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空 间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系 （2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概 念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离 （3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质 定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂 线定理及其逆定理 （4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行 平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理 （5）会用反证
117、法证明简单的问题 （6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图 第 42页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图 （9）了解球的概念，掌握球的性质，掌
118、握球的表面积、体积公式 9（B）直线、平面、简单几何体 考试内容： 平面及其基本性质平面图形直观图的画法 平行直线 直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定三垂线定理及其逆定理 两个平面的位置关系 空间向量及其加法、减法与数乘空间向量的坐标表示空间向量的数量积 直线的方向向量异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离 直线和平面垂直的性质平面的法向量点到平面的距离直线和平面所成的角向量在平 面内的射影 平行平面的判定和性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定和性 质 多面体正多面体棱柱棱锥球 考试要求： （1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直
119、观图：能够画出 空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系 （2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和 平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理 （3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘 （4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算 （5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌握空间两点间距离公式 （6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念 （7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.
120、对于异面直线的距 离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握 两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理 （8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念 （9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图 （10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图 （11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式 （考生可在9（A）和9（B）中任选其一） 第三十讲，点、线、面关系 一、 平面. 1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2.两个平面可将平面分成3或4部分.（两个平面
121、平行，两个平面相交） 3.过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（三条直线在一个平面内平行，三条 直线不在一个平面内平行） 注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 第 43页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 4.三个平面最多可把空间分成8部分.（
122、X、Y、Z三个方向） 二、 空间直线. 1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线共面有反且有一个公共点；平行 直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内 注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（ ）（可能两条直线平 行，也可能是点和直线等） 直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内. 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. 在平面内射影是直线的图形一定是直线.（ ）（射影不一定只有直线，也可以是其他图 形） 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（ ）（并非是从平面外一点向这个
123、平面所 引的垂线段和斜线段） a,b是夹在两平行平面间的线段，若 a b，则 a,b的位置关系为相交或平行或异面. 2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异 面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） 3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 相等（如下图）. （二面角的取值范围 （直线与直线所成角 0 ,180 ） ） 0 ,90 ,90 （直线与平面所成角0 ,90 （斜线与平面成角0 ） 1 1 2 ） 2 方向相同 方向不相同 （向量与向量所成角 0 ,18
124、0 ) 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角） 相等. 5.两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点P，过点P且与l1,l2都平行平面有一个或没有，但与l1,l2 距离相等的点在同一平面内.（ L1或 L 2在这个做出的平面内不能叫 L1与 L 2平行的平面） 第三十一讲，直线与平面的关系 1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条 直线和这个平面平行.（“ 线线平行，线面
125、平行” ） 注：直线 a与平面内一条直线平行，则 a .（ ）（平面外一条直线） 直线 a与平面内一条直线相交，则 a与平面 相交.（ ）（平面外一条直线） 若直线 a与平面平行，则内必存在无数条直线与a 平行.（ ）（不是任意一条直线， 可利用平行的传递性证之） 两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（ ）（可能在此平 第 44页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源
126、：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 面内） 平行于同一直线的两个平面平行.（ ）（两个平面可能相交） 平行于同一个平面的两直线平行.（ ）（两直线可能相交或者异面） 直线l与平面、 所成角相等，则 .（ ）（、 可能相交） 3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个 平面相交，那么这条直线和交线平行.（“ 线面平行，线线平行” ） 4.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平 P 面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若 PA
127、， a AO，得 a PO（三垂线定理）， a O 得不出 PO.因为 a PO，但 PO 不垂直OA. A 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这 两条直线垂直于这个平面.（“ 线线垂直，线面垂直” ） 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直 于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 注：垂直于同一平面的两个平面平行.（ ）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平 面平行） 垂直于同一直线的两个平面平行.（ ）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另 一
128、个平面） 垂直于同一平面的两条直线平行.（ ） 5.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影 相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线 段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短. 注：垂线在平面的射影为一个点.一条直线在平面内的射影是一条直线.（ ） 射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的 射影在这个角的平分线上 第三十二讲，平面与平面的关系 1.空间两个平面的位置关系：相交、平行. 2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个 平面平行.（“ 线面平行
129、，面面平行” ） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. 注：一平面间的任一直线平行于另一平面. 3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平 行.（“ 面面平行，线线平行” ） 4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于 这个平面.（“ 线面垂直，面面垂直” ） 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系. 5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
130、线 P 也垂直于另一个平面. 推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. MA O B 第 45页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l 2， 因为 PM ,OA , PM ,OB 则 PM OA, PM
131、 OB. 6.两异面直线任意两点间的距离公式：l m2 n2 d 2 2mncos（为锐角取加，为 钝取减，综上，都取加则必有0, ） 2 7.最小角定理： coscos1 cos2（1为最小角，如图） 1 2 最小角定理的应用（PBN 为最小角） 图1 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 图2 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 第三十三讲，棱锥、棱柱. 1.棱柱. 直棱柱侧面积：S Ch（C为底面周长，h是高）该
132、公式是利用直棱柱的侧面展开图为 矩形得出的. 斜棱住侧面积：S C1l（C1是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜 棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体. 直四棱柱平行六面体=直平行六面体. 四棱柱底面是 平行四边形 侧棱垂直 底面 底面是 矩形 底面是 正方形 侧面与 正四棱柱 正方体 平行六面体 直平行六面体 长方体 底面边长相等 棱柱具有的性质： 棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱 柱的各个侧面都是全等的矩形. 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. 过棱
133、柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（ ） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） （直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. 平行六面体： 定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. 注：四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 , , ，则 cos2 cos2 cos2 1. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 , , ，则 cos2 cos2 cos2 2. 第 46页共 73页 衡水
134、中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（ ）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩 形） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（ ）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行） 对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（ ）（只能推出对角线相等，推不出 底面为矩
135、形） 棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边 可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） 2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形. 一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 V棱柱 Sh 3V棱柱. 正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. 注：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正 侧棱与底棱不一定相等 iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）； 底
136、面为正多边形. 正棱锥的侧面积：S 1 Ch（底面周长为C，斜高为 h ） 2 S底 棱锥的侧面积与底面积的射影公式： S侧 cos（侧面与底面成的二面角为） 附： 以知cl， cosa b，为二面角 a l b. c a 则 S1 1 al，S2 1 l b l b ，cosa b 2 2 S底 得 S侧 cos. 注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. 棱锥具有的性质： 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫 做正棱锥的斜高）. 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱 在底面内的射影也组成一个直角
137、三角形. 特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： 棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. 棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. 棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. 棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. 三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. 每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半 径； 第 47页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内
138、部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 每个四面体都有内切球，球心 I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于 半径. 注：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（ ）（各个侧面 A 的等腰三角形不知是否全等） b a ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. c 简证：ABCD ，
139、ACBD BCAD. 令 AB a, AD c, AC b B C D D E F 得 BC AC AB ba, AD c BCAD bcac，已知acb ac 0,b 0 A O C ac bc 0则 BC AD 0 . H G B iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC中点 O，则 ooAC, BOAC AC 平面 OOB AC BO FGH 90 易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则 EF FG EFGH为正方形. 3.球：球的截面是一
140、个圆面. 球的表面积公式： S 4R 2 . 4 球的体积公式：V R3 . O r 3 纬度、经度： 纬度：地球上一点 P的纬度是指经过 P点的球半径与赤道面所成的角的度数. 经度：地球上 A, B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面 的二面角的度数，特别地，当经过点 A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是 B点 的经度. 附：圆柱体积：V r 2h（ r为半径， h为高） 圆锥体积：V 1r 2h（ r为半径， h为高） 3 锥形体积：V 1 Sh（ S为底面积， h为高） O 3 R 4.内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a， h 6 a， S底3 a
141、 ， S侧3 a 2 2 3 4 4 得 3 a 4 2 6 a 3 a 2 R 1 3 3 a 4 2 R R 2 a / 4 3 2 a3 6 a. 3 4 4 3 4 4 注：球内切于四面体： V BACD1 S侧 R 31S底 R S底 h 3 3 外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 第三十四讲，空间向量与立体几何 1.（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重 第 48页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互
142、联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 合. 注：若 a与b共线，b与 c共线，则 a与 c共线.（ ）当b 0时，不成立 向量 a,b,c共面即它们所在直线共面.（ ）可能异面 若 ab，则存在小任一实数，使 a b.（ ）与b 0不成立 若 a为非零向量，则 0a 0.（ ）这里用到 b(b 0)之积仍为向量 （2）共线向量定理：对空间任意两个向量 a,b(b 0)，ab的充要条件是存在实数（具 有唯一性），使 a b. （3）共面向量：
143、若向量 a使之平行于平面或 a在内，则 a与的关系是平行，记作 a . （4）共面向量定理：如果两个向量 a,b不共线，则向量 P与向量 a,b共面的充要条件是存 在实数对x、y使 P xa yb. 空间任一点O和不共线三点A、B、C，则 OP xOAyOB zOC(x y z 1)是PABC四点 共面的充要条件.（简证：OP (1y z)OAyOB zOC AP yAB zAC P、A、B、C四 点共面） 注：是证明四点共面的常用方法. 2.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量 P，存在一个唯 一的有序实数组x、y、z，使 p xa yb zc. 推论：设O、A
144、、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、 A z使 OP xOAyOB zOC(这里隐含x+y+z1). D 注：设四面体ABCD的三条棱， AB b, AC c, AD d,其 B G 中Q是BCD 的重心，则向量 AQ 1 (a b c)用 AQ AM MQ即证. M C 3 3.（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对 应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. 令 a=(a1,a2,a3),b (b1,b2 ,b3)，则 a b (a1b1,a 2b 2,a3b3) a (a1,a 2,a3)(R) ab a1b1a
145、 2b2a3b3 a 第 49页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， a1 a 2 a3 b a1b1,a 2b 2,a 3b3(R) b a b a1b1a 2b2a3b3 0 b b3 1 2 a aa a 2 a 2 2a 2(用到常用的向量模与向量之间的转化： a
146、2 aa a aa) 1 3 ab cos a,b a1b1 a2b2 a3b3 | a| b | a12 a a b12 b22 b 2 2 3 2 3 2 空间两点的距离公式： d (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 . （2）法向量：若向量 a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 a ， 如果 a 那么向量 a叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法： 利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射 线，其中 A，则点B到平面的距离为 | ABn | | n | . 利用法向量求二面角的平面角定理：设 n1,n 2分别是二面角l
147、 中平面,的法向量， 则 n1,n 2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ n1,n 2方向相同，则为补角，n1,n 2 反方，则为其夹角）. 证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面， ABa,C D，且CDE三点不共线， 则a 的充要条件是存在有序实数对 使 AB CD CE.（常设 AB CD CE求 解 , 若 , 存在即证毕，若 , 不存在，则直线AB与平面相交）. A B B n n1 C D n2 E A C 第三十五讲，立体几何知识点的补充及回顾 一、四面体. 1.对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质： 四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这
148、一点叫做此四面体的外接球的球心； 四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球 心； 四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心 将每条连线分为31； 12个面角之和为720 ，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为 第 50页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，
149、高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 180. 2.直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面 几何的直角三角形.（在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长 之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：SABC+SBCD+S 2 2 2 ABD=S 2 ACD. 3.等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据 定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反 之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体. （
150、在等腰四面体ABCD中，记BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，体积为V，外接球 B 半径为R，内接球半径为r，高为h），则有 等腰四面体的体积可表示为V 1 b 2 c 2 a2 c2a 2 b2 a2b 2 c 2 ； O D 3 2 2 2 A C 2 等腰四面体的外接球半径可表示为 R a b c 2 2 2 ； 4 2 等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为 m a b c； 2 2 2 3 h=4r. 二、空间正余弦定理. 空间正弦定理：sinABD/sinA-BC-D=sinABC/sinA-BD-C=sinCBD/sinC-BA-D 空间余弦定理：
151、cosABD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBDcosA-BC-D 立体几何知识要点 一、知识提纲 （一）空间的直线与平面 平面的基本性质 三个公理及公理三的三个推论和它们的用途斜二测画法 空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线 公理四（平行线的传递性）等角定理 异面直线的判定：判定定理、反证法 异面直线所成的角：定义（求法）、范围 直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质 直线和平面垂直 直线和平面垂直：定义、判定定理 三垂线定理及逆定理 5.平面和平面平行 两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质 6.平面和平面垂直 互相垂直的平面
152、及其判定定理、性质定理 （二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图） （三）夹角与距离 7.直线和平面所成的角与二面角 平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角 二面角：定义、范围、二面角的平面角、直二面角 第 51页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高
153、中学霸笔记共享群：901323239， 互相垂直的平面及其判定定理、性质定理 8.距离 点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离 两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段 异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段 （四）简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 多面体 棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质 平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质 棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质 直棱柱和正棱锥的直观图的画法 10.多面体欧拉定理的发现 简单多面体的欧拉公式 正多面体 11.球 球和它的
154、性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离 球的体积公式和表面积公式 二、常用结论、方法和公式 1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC 上的射 影在BOC 的平分线上； 2.已知:直二面角MABN中，AE M，BFN,EAB=1,ABF=2，异面直线 AE与BF所成的角为，则coscos1 cos2; 3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是1，AC在平面内，BC和AB的射影BA1 A 成2，设ABC=3,则cos1cos2=cos3； B A1 D 4.异面直线所成角的求法： C （1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线
155、； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方 体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜 线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足 和斜足的连线，是产生线面角的关键； 6.二面角的求法 （1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂 线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； （2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定 理作出二面角的平面角； 第 52页
156、共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， （3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的 交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直； （4）射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在 图形中画出
157、平面角； 特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后 再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 7.空间距离的求法 （1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线， 然后再进行计算； （2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解； （3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知 面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求 解； 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底； 9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为, 因此有 c
158、os 2 +cos 2 2 +cos =1;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 ,则有cos +cos +cos =2; 2 2 2 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长； 11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+FE=2；并且 棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半； 12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h 是柱体的高. 13.直棱柱的侧面积和全面积 S直棱柱侧=c(c表示底面周长，表示侧棱长) S棱柱全=S底+S侧 1 14棱锥的体积:V棱锥= Sh，其中S是棱锥的底
159、面积，h是棱锥的高。 3 4 15.球的体积公式V= R 3，表面积公式S 4R；掌握球面上两点A、B间的距离求 2 3 法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣 弧AB的长； 第三十六讲，排列、组合 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理 排列排列数公式 组合组合数公式组合数的两个性质 二项式定理二项展开式的性质 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 第 53页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您
160、阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题 （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的 应用问题 （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题 排列组合知识要点 一、两个原理. 1.乘法原理、加法原理. 2.可以有重复元素的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以
161、重复出现，按照一定的顺序排成一排，那 么第一、第二第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数mmm=m.例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有 n 多少种不同放法？ 二、排列. （解：m种） n 1.对排列定义的理解. 定义：从n个不同的元素中任取m(mn) 个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列. 相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相 同. 排列数. 从n个不同元素中取出m(mn) 个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列.从n个不同
162、元素中取出m个元素的一个排列数，用符号 Anm表示. 排列数公式： n! A m n(n 1)(n m 1) (m n,n,mN) (n m)! 规定0!=1 注意： nn!(n 1)!n! A m n1 A m nA m m C mn1Amn mAmn1 A m n nAnm11 规定Cn0Cnn1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,.an其中限重复 n! 数为n1、n2nk，且n=n1+n2+nk,则S的排列个数等于n . n1!n2!.nk! 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n (12)! 3又例如：数字5、5、5、求
163、其排列个 1!2! 3! 数？其排列个数 n 1. 3! 三、组合. 1.组合：从n个不同的元素中任取m(mn) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合. 第 54页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， A A m n n(n 1)(n m 1) m!
164、 C n! 组合数公式：C n m m n m m m!(n m)! 两个公式：C C nm m n ; m1 n m m n1 C C C n n 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯 一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分 二类，一类是含红球选法有 Cmn1C 1 1 Cmn1一类是不含红球的选法有 Cmn ） 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素， 只存在取与
165、不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所 m 以有C mn1，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C n 种， m1 n m n m n1 依分类原理有C C C . 排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别：前者是“ 排成一排” ，后者是“ 并成一组” ，前者有顺序关系，后者无顺序关系. 几个常用组合数公式 C C n1C 2n 0 n 2 n n n C C 0 n C n 2 C n 4 C n 1 C nC n 3 52n1 m nC m C m m2 C mn mC mmn11 m1 kC n k
166、 nC kn11 1 1 C k n C n 1 k1 n1 k 1 常用的证明组合等式方法例. i.裂项求和法.如： 1 2 3 2! 3! 4! n 1 1 （利用 n 1 n! 1 1 ） (n 1)! (n 1)! (n 1)! n! ii.导数法.iii.数学归纳法. iv.倒序求和法. 递推）如：C C C C C 3 3 3 4 3 5 3 n 4 n1 v.递推法（即用C n m C mn1C m n1 . vi.构造二项式.如： (C n 0 ) 2 (C n 1 ) 2 (C n n ) 2 C n 2n 证明：这里构造二项式 (x 1) n (1x) n (1x)2n其中
167、 x n 的系数，左边为 C 0 n C n n C n 1 C nn1C n2 C nn2C nn C n 0 (C n 0 ) 2 (C n 1 ) 2 (C n) n 2，而右边 C 2n 第三十七讲，排列、组合综合. 第 55页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239，
168、1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型： 直接法. 排除法. 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再 考虑它们“ 局部” 的排列.它主要用于解决“ 元素相邻问题” ，例如，一般地，n个不同元 素排成一列，要求其中某 m(m n)个元素必相邻的排列有 Annmm11A个.其中 A m m nm1 是一个 nm1 m “ 整体排列” ，而 A则是“ 局部排列”. m 又例如有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为 An 2 A n11A22 . 有n件不同商品，若其中A、B排在一起有 A . nn11A22 有n件不同商品，若其中有二件要排在一
169、起有 A2 n . Ann11 注：区别在于是确定的座位，有 A种；而的商品地位相同，是从n件不同商品任 2 2 取的2个，有不确定性. 插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主 要解决“ 元素不相邻问题”. 例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？ Annmm A m nm1 （插 空法），当nm+1m,即m n 1 时有意义. 2 占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素； 从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“ 先 特殊后一般” 的解题原则. n
170、 n 调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有 A m 种，m(mn)个元素的全排列有 A种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某 m 一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一 n n 定，共有 A A 种排列方法. m m 例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）n=n ！/m！；解法二：（比例分配法） An n /A m m . C n 平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有 kn (k1)n C n C n n . A
171、k k 例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有 C 2 2! 3（平均分组 4 就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子 选手必在一组的概率是多少？ 第 56页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， （ P
172、 18C2 C 8 2 ） C 10 / 2! 20 注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共 有多少种排法？有 Annmm A m nm1 /A m m ，当nm+1m,即m n 1 2 时有意义. 隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如： x1x 2x3x 412的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一 列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得 球的数目依次为 x1,x2,x3,x4显然 x1x2x3x412，故（ x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之， 方程的任何一组解 (y1
173、,y 2,y3,y 4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 x1 x2 x3 x4所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板 的方法数C 3. 11 注意：若为非负数解的x个数，即用 中 ai 等于 ，有 xi 1 a1 ,a2,.an x1 x2 x3.xn Aa1 1a2 1.an 1A，进而转化为求a的正整数解的个数为 C n1 An . 定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内， 并且都排在某r个指定位置则有 ArrA kr nr . 例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不
174、固定 在）某一位置上，共有多少种排法？ 固定在某一位置上：Amn1；不在某一位置上：A mn Amn11或 Anm1Am1Amn1（一类是不取出 特殊元素a，有 A nm1，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1 个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） 指定元素排列组合问题. i.从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含 在内。先C后A策略，排列C r r C kr nr A k k ；组合C r r C kr nr . ii.从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含 在内。先C后A策略，排列
175、C nr k A k k ；组合C k nr . iii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合） 都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列C rsC A ks nr k k s ；组合C r C k s nr . II.排列组合常见解题策略： 特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的 策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略； 相邻问题插空处理策略； 不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；“ 小 第 57页共 73页 衡水中学内部资料群：59199
176、3305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 集团” 排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略. 2.组合问题中分组问题和分配问题. 均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管 是否分尽，其分法种数为 A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀 r 分组应再除以
177、A k k . 例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10 2 C 8 4 C 4 4 2 /A21575.若分成 六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C10 1 C 9 1 C 8 2 C 6 2 C 4 2 C 2 2 /A2 2 A4 4 非均匀编号分组:n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其 分法种数为 AA m m 例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为： C10 2 C 8 3 C 5 5 A 3 3 种. 若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排
178、方法有 C10C 8C 5A3 2 3 4 3 种 均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其 分法种数为 A/Ar Amm . 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为 C102 C8 A 4 C 4 4 A 3 3 2 2 非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考 m n m2 n-m mk n-(m1m2 .mk-1) 虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为 A C 1 C C 1 例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为 C102C83C 2520 若从10人中选
179、 5 5 出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C 312600. 7 1 10 C 9 2 C 第三十八讲，二项式定理. 1.二项式定理： (a b)nC a nb0C n1a n1b C nra nrbr C a0bn. 0 n n n 展开式具有以下特点： 1 2 3 项数：共有 n 1项； 系数：依次为组合数C ,C n1,C , ,C , ,C ; 0 n 2 r n n n n 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开. 二项展开式的通项. （a b)n展开式中的第 r 1项为：T r1C nranrbr (0 r n,r Z). 第
180、58页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 二项式系数的性质. 在二项展开式中与首未两项“ 等距离” 的两项的二项式系数相等； 二项展开式的中间项二项式系数最大. n I.当n是偶数时，中间项是第 n2 1项，它的二项式系数C 2n 最大； n 1 n 1 1项，它们的二项
181、式系数 2 II.当n是奇数时，中间项为两项，即第 项和第 2 n1 n1 C 2nC 2 n最大. 系数和： C C n1C 2n 0 n n n C C C n4C C 0 2 1 3 2n1 n n n n 附：一般来说 (ax by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求 Ak Ak1, Ak Ak1 (Ak为T k1的系数或系数 A Ak1 解.当 a 1或b 1时，一般采用解不等式组 或 A Ak1 k k 的绝对值）的办法来求解. 如何来求 (a b c)n展开式中含 a pbqc r的系数呢？其中 p,q,r N,且 p q r n把 (a b c)
182、n(a b)cn视为二项式，先找出含有 C r的项 C (a b)nrC r，另一方面在 r n (a b)nr中含有 bq的项为 C nrqanrqbqC nrqa pbq，故在 (a b c)n中含 a pbqc r 的项为 n! (n r )! n! C nrC nrqa pbqcr.其系数为C nrC nqr C npC npq C r r . r!(n r)! q!(n r q)! r!q! p! 2.近似计算的处理方法. 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式 (1a) 1na，因为这时展开式的 n 后面部分C na C na C na很小，可以忽略不计。类似地，有(1a
183、) 1na但使用这两 2 2 3 3 n n n 个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求. 第三十九讲，概率 考试内容： 随机事件的概率等可能性事件的概率互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发 生的概率独立重复试验 考试要求： （1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义 （2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 第 59页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚
184、为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 概率。 （3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率 （4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生 次的概率 11. 概率知知识要点识要点 1.概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能 性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是 1，如果某个事件A包含的结果有m个，那 n
185、 m 么事件A的概率 P(A) . n 3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件 A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)，推广： . P(A1A 2A n) P(A1) P(A 2) P(A n) 对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.例如：从152张扑克牌中任 取一张抽到“ 红桃” 与抽到“ 黑桃” 互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不 能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“ 红色牌” 与抽到黑色牌“ 互为对立事 件，因为其中一个必发生. 注意：i
186、.对立事件的概率和等于1： P(A)P(A) P(AA) 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即P(AB)=P(A)P(B).由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发 生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽 一张设A：“ 抽到老K” ；B：“ 抽到红牌” 则A应与B互为独立事件看上去A与B有关系 4 1 ,P(B) 26 1 ,P(A
187、)P(B) 52 13 52 2 1.又事件AB表示“ 既 26 很有可能不是独立事件，但 P(A) 2 1 52 26 抽到老K对抽到红牌” 即“ 抽到红桃老K或方块老K” 有 P(A B) ，因此有 P(A)P(B) P(AB). 推广：若事件 A1,A 2,A n相互独立，则 P(A1A 2A n) P(A1)P(A 2)P(A n). 注意：i.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与 B, A与B， A与 B也都相互独立. ii.必然事件与任何事件都是相互独立的. iii.独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多 个事件不能同时发生，故这些事件相互之
188、间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. 独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果， 则称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复 试验中这个事件恰好发生k次的概率： Pn(k) C Pk(1P)nk . k n 4.对任何两个事件都有 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 第 60页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！
189、资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 第四十讲，概率与统计 考试内容： 抽样方法.总体分布的估计 总体期望值和方差的估计 考试要求： （1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样 （2）会用样本频率分布估计总体分布 （3）会用样本估计总体期望值和方差 概率与统计知识要点 一、随机变量. 1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却
190、不能肯定这次试验会出现 哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量，a，b是常数.则ab也是一个随机 变量.一般地，若 是随机变量， f (x)是连续函数或单调函数，则 f ()也是随机变量.也就 是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 可能取的值为： x1,x 2,x i, 取每一个值 x1(i 1,2,)的概率 P(xi) p i，则表称为随机变量 的概率分布，简称 的 分布列. x1 p1 x 2 p 2 xi pi P 有性质 p10,i 1,2
191、,； p1p 2p i1. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 0,5即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3.二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这 k k nk其中 k 0,1,n,q 1p 个事件恰好发生k次的概率是： P( k) Cn p q 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B （np ），其中n，p为参数，并记 二项分布的判断与应用. C pkqnk b(k;np). k n 二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重
192、复，且 每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有 两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4.几何分布：“k” 表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验 时事件A发生记为 A k，事A不发生记为 A k,P(A k) q，那么 A k1A k).根 P( k) P(A A 2 1 据相互独立事件的概率乘法分式： 得到随机变量 的概率分布列. P( k) P(A1)P(A2)P(Ak1)P(Ak) q k1p (k 1,2,3,)于是 第 6
193、1页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 1 q 2 3 k P qp q k1 p q 2 p 我们称 服从几何分布，并记 g(k,p) q k1p，其中 q 1p. k 1,2,3 5.超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取 n(1n N)件， 则
194、其中的次品数 是一离散型随机变量，分布列为 P( k) C k M C nk NM (0 k M,0 n k N M).分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品 C n N 中取n-k件的取法数，如果规定 m r时Cm r 0，则k的范围可以写为k=0，1，n. 超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1na+b）， 则次品数 的分布列为 P( k) C 超几何分布与二项分布的关系. k a C nkb k 0,1,n. C n ab 设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数 服从超几何分布. 若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得
195、：把 a b个产品编号，则抽取n次共 有 (a b) n 个可能结果，等可能： ( k)含 Cn k a k b nk个结果，故 P( k) C k n a k b nk C ( a ) (1 a ) nk ,k 0,1,2,n，即 B(n b a ).我们先为k个次 k n k (a b) n a b a a b 品选定位置，共 C k n种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法可 以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P( k) P( k)，因此二项分布可作为超几 何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 第四十一讲，数学期望与方差. 1.期望的含义：一般地，若离散
196、型随机变量 的概率分布为 x1 p1 x 2 p 2 xi pi P 则称 Ex1p1x 2p 2x np n为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数 学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.随机变量ab的数学期望： EE(ab) aEb 当 a 0时， E(b) b，即常数的数学期望就是这个常数本身. 当 a 1时， E(b) Eb，即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与这个常数 的和. 当b 0时，E(a) aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的 乘积. 单点分布： Ec1c其分布列为： P(1) c . P 0 q 1 p 两点分布：E0q
197、1p p，其分布列为：（p+ q=1） 第 62页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， n! 二项分布： Ek p k q nk np其分布列为 B(n, p).（P为发生的概率） k!(n k)! 几何分布： E1其分布列为 q(k, p).（P为发生的概率） p 3.方
198、差、标准差的定义：当已知随机变量 的分布列为 P(x k ) p k (k 1,2,)时，则称 2pn为 的方差.显然 D0，故D. 为 的 D(x1E) p1(x2E) p2(xnE) 2 2 根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中 与离散的程度. D越小，稳定性越高，波动越小. 4.方差的性质. 随机变量ab的方差 D() D(ab) a 单点分布： D0其分布列为 P(1) p 2 D.（a、b均为常数） P 0 q 1 p 两点分布： Dpq其分布列为：（p+q=1） 二项分布： D npq q 几何分布： D p 2 5.期望与方差的关系.
199、如果 E和 E都存在，则 E() EE 设 和是互相独立的两个随机变量，则 E() EE, D() DD 期望与方差的转化： DE2(E)2 E(E) E() E(E)（因为 E为一常数） EE0. 第四十二讲，正态分布. 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ，位于x轴上方， 落在任一区间 a,b)内 的概率等于它与x轴.直线 x a与直线 x b所围成的曲边梯形的面积 y y=f(x) （如图阴影部分）的曲线叫 的密度曲线，以其作为 图像的函数 f (x)叫做 的密度函数，由于“ x(,)” x 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. a b (x)2 2 2 . 2 )表
200、示. f (x) 1 2.正态分布与正态曲线：如果随机变量 的概率密度为： f (x) e （ xR, ,为常数，且0），称 服从参数为 ,的正态分布，用 N(, 2 的表达式可简记为 N(,)，它的密度曲线简称为正态曲线. 2 正态分布的期望与方差：若 N(,)，则 的期望与方差分别为： E, D 2 2 . 正态曲线的性质. 曲线在x轴上方，与x轴不相交. 曲线关于直线 x 对称. 当 x 时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“ 中间高、 第 63页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：79
201、1213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 两边低” 的钟形曲线. 当 x 时，曲线上升；当 x 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时， 以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. 当 一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“ 矮胖”. 表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“ 瘦高” ，表示总体的分布越集中. 2 x 1 3.标准正态分布：如果随机变量 的概率函数为 (x) e 2 (x)
202、，则称 2 服从标准正态分布.即 N(0,1)有(x) P(x)，(x) 1(x)求出，而P（a b ） 的计算则是 P(ab) (b) (a). 注意：当标准正态分布的 (x)的X取0时，有 (x) 0.5当 (x)的X取大于0的数时，有 (x)0.5.比如 (0.5) 0.07930.5则 0.5 必然小于0，如图. y S 正态分布与标准正态分布间的关系：若 N(,)则 的分布函数通 2 x 常用 F(x)表示，且有 P( x) F(x) (x ). a 标准正态分布曲线 S阴=0.5Sa=0.5+S 4.“3 ” 原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统
203、计假设，统计假 设里的变量服从正态分布 N(,2).确定一次试验中的取值 a是否落入范围 (3, 3). 做出判断：如果 a(3, 3)，接受统计假设.如果 a(3, 3)，由于这是小 概率事件，就拒绝统计假设. “3 ” 原则的应用：若随机变量 服从正态分布 N(,)则 落在 (3, 3)内的 2 概率为99.7亦即落在 (3, 3)之外的概率为0.3，此为小概率事件，如果此事 件发生了，就说明此种产品不合格（即 不服从正态分布）. 第四十三讲，极限 考试内容： 教学归纳法数学归纳法应用 数列的极限 函数的极限根限的四则运算函数的连续性 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法
204、证明一些简单的数学命题 （2）了解数列极限和函数极限的概念 （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限 （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 知识要点 第 64页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 1.第一数学归纳法：证明当 n
205、取第一个 n0时结论正确；假设当 n k（ k N ,k n0） 时，结论正确，证明当 n k 1时，结论成立. 第二数学归纳法：设 P(n)是一个与正整数 n有关的命题，如果 当 n n0（ n0 N ）时， P(n)成立； 假设当 n k（ k N ,k n0）时， P(n)成立，推得 n k 1时， P(n)也成立. 那么，根据对一切自然数 n n0时， P(n)都成立. 2.数列极限的表示方法： lim an a n 当 n 时， an a. 几个常用极限： lim C C（C为常数） n 1 lim 0 (k N,k是常数) nnk 对于任意实常数， 当| a |1时， lim a
206、n 0 n 当 a 1时，若a=1，则 lim a n1；若 a 1，则 lim a nlim (1)n 不存在 n n n 当 a 1时， lim a n n 不存在 数列极限的四则运算法则： 如果 lima na, limbbb，那么 n n lim(anbn) a b n lim(a nbn) ab n a n a (b 0) b lim n b n 特别地，如果C是常数，那么 lim(C a n) lim C lima nCa. n n n 数列极限的应用： a1 ( q 1). 求无穷数列的各项和，特别地，当 q 1时，无穷等比数列的各项和为 S 1 q （化循环小数为分数方法同上式
207、） 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3.函数极限； 当自变量 x无限趋近于常数 x0（但不等于 x0）时，如果函数 f (x)无限趋进于一个常数 a， 第 65页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 就是说当 x趋近于 x0时，函数 f (x)的极限为 a.记作 lim
208、 f (x) a或当 x x0时， f (x) a. xx0 注：当 x x0时， f (x)是否存在极限与 f (x)在 x0处是否定义无关，因为 x x0并不要求 x x0.（当然，f (x)在 x0是否有定义也与 f (x)在 x0处是否存在极限无关.函数 f (x)在 x0 有定义是 lim f (x)存在的既不充分又不必要条件.） xx0 x 1 x 1 如 P(x) 在 x 1处无定义，但 lim P(x)存在，因为在 x 1处左右极限均等于 x1 x 1 x 1 零. 函数极限的四则运算法则： 如果 lim f (x) a, lim g(x) b，那么 xx0 xx0 lim (
209、 f (x) g(x) a b xx0 lim ( f (x)g(x) ab xx0 lim f (x) a (b 0) g(x) b xx0 特别地，如果C是常数，那么 lim (C f (x) C lim f (x). xx0 xx0 lim f (x)n lim f (x)n（ nN ） xx0 xx0 注：各个函数的极限都应存在. 四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 几个常用极限： lim 1 0 x n lim a x 0（0 a1）； lim a x 0（ a1） x x sin x 1 lim x lim x0 1 x0 sin x x 1 lim
210、(11) x e， lim(1x) x e（ e 2.71828183） x x x0 4.函数的连续性： 如果函数f（x），g（x）在某一点 x x0连续，那么函数 f (x) g(x), f (x)g(x), f (x) (g(x) 0) g(x) 在点 x x0处都连续. 函数f（x）在点 x x0处连续必须满足三个条件： 函数f（x）在点 x x0处有定义； lim f (x)存在；函数f（x）在点 x x0处的极限值 xx0 等于该点的函数值，即 lim f (x) f (x0). xx0 第 66页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092
211、170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 函数f（x）在点 x x0处不连续（间断）的判定： 如果函数f（x）在点 x x0处有下列三种情况之一时，则称 x0 为函数f（x）的不连续点. f（x）在点 x x0处没有定义，即 f (x0)不存在； lim f (x)不存在； lim f (x)存在， xx0 xx0 但 lim f (x) f (x0). xx
212、0 5.零点定理，介值定理，夹逼定理： 零点定理：设函数 f（x）在闭区间a,b上连续，且 f (a)f (b)0.那么在开区间(a,b)内至 少有函数 f (x)的一个零点，即至少有一点（ ab）使 f () 0. 介值定理：设函数 f (x)在闭区间 a,b上连续，且在这区间的端点取不同函数值， f (a) A, f (b) B，那么对于 A, B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使 得 f () C（ ab）. 夹逼定理：设当 0| x x0 |时，有 g(x) f (x) h(x)，且 lim g(x) lim h(x) A，则 xx0 xx0 必有 lim f (x
213、) A. xx0 注：| x x0 |：表示以 x0为的极限，则| x x0 |就无限趋近于零.（为最小整数） 6.几个常用极限： lim q n0, q 1 n lim a n 0(a0) n! n k lim n n 0(a1,k为常数） n a ln n 0 lim n n lim (ln n)k 0(0,k为常数） nn 第四十四讲， 导数 考试内容： 导数的背影 导数的概念 多项式函数的导数 利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景 （2）理解导数的几何意义 （3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(nN+)的导数公式，会求
214、多项式函数的导数 （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值 （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值 知识要点 第 67页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 导数的概念 导数的运
215、算 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数的运算法则 函数的单调性 导 数 导数的应用 函数的极值 函数的最值 1.导数（导函数的简称）的定义：设 x0是函数 y f (x)定义域的一点，如果自变量 x在 x0处 有增量 x，则函数值 y也引起相应的增量 y f (x0 x)f (x0) ；比值 y f (x0 x) f (x0) 称为函数 y f (x)在点 x0 到 x0 x之间的平均变化率；如果极限 x x lim y lim f (x0 x) f (x0) x x0 存在，则称函数 y f (x)在点 x0处可导，并把这个极限叫做 x x0 y f (x)在 x0处的导数，记作
216、 f (x0)或 y |xx0，即 f (x0)= lim y lim f (x0 x) f (x0) x . x0 x x0 注： x是增量，我们也称为“ 改变量” ，因为 x可正，可负，但不为零. 以知函数 y f (x)定义域为 A， y f (x)的定义域为 B，则 A与 B关系为 A B. 2.函数 y f (x)在点 x0处连续与点 x0处可导的关系： 函数 y f (x)在点 x0处连续是 y f (x)在点 x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果 y f (x)在点 x0处可导，那么 y f (x)点 x0处连续. 事实上，令 x x0 x，则 x x0相当于 x 0.
217、于是 lim f (x) lim f (x0 x) lim f (x x0) f (x0) f (x0) xx0 x0 x0 lim f (x0 x) f (x0) x f (x ) lim f (x0 x) f (x0) lim lim f (x0) f (x0)0f (x0) f (x0). 0 x x x0 x0 x0 x0 如果 y f (x)点 x0处连续，那么 y f (x)在点 x0处可导，是不成立的. 例： f (x) | x |在点 x0 0处连续，但在点 x0 0处不可导，因为 y x | x | ，当 x 0时， x y 1；当 x0时， y 1，故 lim y 不存在.
218、 x x x x0 注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 第 68页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 第四十五讲，导数的几何意义 1.导数的几何意义： 函数 y f (x)在点 x0处的导数的几何意义就是曲线 y f (x)在点 (
219、x0, f (x)处的切线的斜率， 也就是说，曲线 y f (x)在点P (x0, f (x)处的切线的斜率是 f (x0)，切线方程为 y y0 f (x)(x x0). 2.求导数的四则运算法则： (u v) u v y f1(x)f2(x).fn(x) y f1(x)f (x).f (x) 2 n (uv) vu vu (cv) cvcv cv（ c为常数） u vu v u (v 0 ) v 2 v 3注：u,v必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如：设 f (x) 2sin x ， g(x) co
220、s x 2，则 f (x), g(x)在 x 0处均不可导，但它们和 2 x x f (x)g(x) sin x cos x在 x 0处均可导. 4.复合函数的求导法则： f x(x) f (u)(x)或 y x y u u x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 56.函数单调性： 函数单调性的判定方法：设函数 y f (x)在某个区间内可导，如果 f (x)0，则 y f (x)为 增函数；如果 f (x)0，则 y f (x)为减函数. 常数的判定方法； 如果函数 y f (x)在区间 I内恒有 f (x)=0，则 y f (x)为常数. 注： f (x)0是f（x）递增的充
221、分条件，但不是必要条件，如 y 2x3在(,)上并不是 都有 f (x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样 f (x)0 是f（x）递减的充分非必 要条件. 一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 6.极值的判别方法：（极值是在 x0附近所有的点，都有 f (x) f (x0)，则 f (x0)是函数 f (x) 的极大值，极小值同理） 当函数 f (x)在点 x0处连续时， 如果在 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f (x0)是极大值； 第 69页共 73页 衡水中学内
222、部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 如果在 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f (x0)是极小值. 也就是说 x0是极值点的充分条件是 x0点两侧导数异号，而不是 f (x)=0.此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不
223、确 定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注：若点 x0是可导函数 f (x)的极值点，则 f (x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函 数，其一点 x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数 y f (x) x3， x 0使 f (x)=0，但 x 0不是极值点. 例如：函数 y f (x) | x |，在点 x 0处不可导，但点 x 0是函数的极小值点. 7.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进 行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 8.几种常见的函数导数： 1 (sin x) cos x I.C
224、 0（C为常数） (arcsin x) 1x2 1 (x n ) nx n1（ nR） (cos x) sin x (arccos x) 1x 2 1 II. (ln x) 1 (log x) 1 (arctan x) x x log a e a x2 1 1 (e x ) e x (a x ) a x ln a (arccot x) x2 1 III.求导的常见方法： 常用结论： (ln | x |) 1 . x (x a1)(x a2).(x an ) (x b1)(x b2).(x bn ) 形如 y (x a1)(x a2).(x an )或 y 两边同取自然对数，可转化 求代数和形式
225、. 无理函数或形如 y x x这类函数，如 y x x取自然对数之后可变形为 ln y xln x，对两边 y 1 y ln x y y x x ln x x x 求导可得 ln x x y . y x 第四十六讲，复数 考试内容： 复数的概念 复数的加法和减法 第 70页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中
226、学霸笔记共享群：901323239， 复数的乘法和除法 数系的扩充 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义 （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算 （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想 知识要点 1.复数的单位为i，它的平方等于1，即i21. 复数及其相关概念： 1 2 3 4 5 6 复数形如a+bi的数（其中 a，bR）； 实数当b=0时的复数a+bi，即a； 虚数当b 0时的复数a+bi； 纯虚数当a=0且b 0时的复数a+bi，即bi. 复数a+bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实
227、数） 复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示. 两个复数相等的定义： a bi c di a c且b d（其中，a，b，c，d，R）特别地a bi 0 a b 0. 两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：若 z1, z2为复数，则1若 z1 z2 0，则 z1z2.（ ） z1, z2为复数，而不是实数 2若 z1z2，则 z1 z2 0.（ ） 若 a,b,cC，则 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0是 a b c的必要不充分条件 .（当 (a b)2 i 2， (b c)2 1,(c a)2 0时，上式成立） 2.复平面内的两点间距离公式： d z1z 2. 其中 z
228、1，z 2是复平面内的两点 z1和z 2所对应的复数， d表示z1和z 2间的距离. 由上可得：复平面内以 z0为圆心， r为半径的圆的复数方程： z z 0 r（r0）. 曲线方程的复数形式： z z 0 r表示以z 0为圆心，r为半径的圆的方程. z z1 z z 2表示线段 z1z 2的垂直平分线的方程. z z1 z z 2 2a（a0且2az1z 2）表示以Z 1，Z 2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程 （若 2a z1z2，此方程表示线段 Z 1，Z 2）. z z1 z z 2 2a（02az1z 2），表示以 Z 1，Z 2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程 第 71页共 73页
229、 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， （若 2a z1z2，此方程表示两条射线）. 绝对值不等式： 设 z1，z 2是不等于零的复数，则 z1 z 2 z1z 2 z1 z 2 . 左边取等号的条件是 z 2z1（R，且0），右边取等号的条件是 z 2z1（R，0）. z1 z 2
230、z1z 2 z1 z 2. 左边取等号的条件是 z 2z1（R，0），右边取等号的条件是 z 2z1（R，0）. 注： A1A2 A2 A3 A3A4 An1An A1An. 3.共轭复数的性质： z z z1 z2 z1 z 2 zz | z |2| z |2 z1 z 2 z1 z2 z z 2a， z z 2bi（ z a+bi） z1 z2 z1 z 2 z z z1（ z 20） 1 z n (z)n z2 2 注：两个共轭复数之差是纯虚数.（ ）之差可能为零，此时两个复数是相等的 4复数的乘方： z n zzz.z(nN ) n 对任何 z， z1, z2 C及 m,nN 有 zm
231、znzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nz z n 1 n 2 注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i 21,i 41若由 1 1 i 2(i 4) 2 12 1就会得到 11的错误结论. 在实数集成立的 | x |x2.当 x为虚数时，| x |x2，所以复数集内解方程不能采用两边平 方法. 常用的结论： i 21,i 4n1i,i 4n21,i 4n3i,i 4n1 i ni n1i n2i n30,(nZ) (1i)22i,1i i,1i i 1i 1i 第 72页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，
232、黄冈中学内部资料群：791213513 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ 资料下载来源：高考数学复习资料群：643741842，高中数学教师群：247360252，高中学霸笔记共享群：901323239， 若 则 是 1 的 立 方 虚 数 根 ， . 即 1 3 i 2 ， 2 31,2,1 ,120,nn1n20(nZ) 5.复数 z是实数及纯虚数的充要条件： z R z z. 若 z 0， z是纯虚数 z z 0. 模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同 一复数.特例：零向量的方向是
233、任意的，其模为零. 注：| z | z |. 6.复数的三角形式： z r(cosisin). 辐角主值：适合于0 2的值，记作 arg z. 注： z为零时， arg z可取0,2)内任意值. 辐角是多值的，都相差2的整数倍. 设 aR ,则arg a 0,arg(a) ,arg ai ,arg(ai) 3 . 2 2 复数的代数形式与三角形式的互化： a bi r(cosisin)， r a 2 b2， cosa ,sin b . r r 第四十七讲，复习，测试，评讲 一，一模测试 二，二模测试 三，考前摸底测试 完 第 73页共 73页 衡水中学内部资料群：591993305，北京四中内部资料群：704092170，黄冈中学内部资料群：791213513
