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1、10.3.1 10.3.1 平面及其方程平面及其方程A. A. 平面方程平面方程设有三元一次方程设有三元一次方程 以上两式相减以上两式相减 , , 得平面的点法式方程得平面的点法式方程此方程称为此方程称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数则则显然方程显然方程(1)(1)与此点法式方程等价与此点法式方程等价, , (1(1) )的平面的平面, , 因此方程因此方程(1)(1)的图形是的图形是法向量为法向量为 方程方程. .特殊情形特殊情形 当当 D = 0 时时, A x + B y + C z = 0 表示表示 通过原点的平面通过原点的平面; 当当 A = 0
2、 时时, B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于平面平行于 x 轴轴; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0 表示表示 B y + D =0 表示表示平行于平行于 y 轴的平面轴的平面;平行于平行于 z 轴的平面轴的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.其中其中 即为平面在即为平面在 x , y ,z 轴上的截距轴上的截距 .所以所以 (2) 称为称为平面平面 的截距式方程的截距式方
3、程. 当当 时时, A x + B y + C z +D= 0 表示为表示为 (2)由于由于上式可表为上式可表为(3)若在若在 方程两边同乘方程两边同乘其中其中 + , -号的选取使号的选取使则有则有(3)故知故知 (3) 式中的式中的 p 表示表示平面平面到原点到原点 O 的距离的距离 式式 (3) 称为称为平面的法式方程平面的法式方程综上所述可知综上所述可知: 对于平面的一般方程对于平面的一般方程 可分别化为可分别化为(1) 点法式方程点法式方程 (反映法向量反映法向量 , 经过的点经过的点 M0 )(2) 截距式方程截距式方程 ( 反映平面与各坐标轴的截距反映平面与各坐标轴的截距 )(3
4、) 法式方程法式方程 ( 反映平面与原点反映平面与原点 O 的距离的距离 )它们都分别刻画了平面它们都分别刻画了平面 的一些重要特征的一些重要特征 .解二解二:将将 M1 , M2 , M3 代入方程代入方程式中式中 , 解线性方程组求解解线性方程组求解解三解三: 则则 共面共面任取任取 M = ( x , y , z ) R3 , M M1 , M2 , M3 ,一般情况一般情况 : :过三点过三点的平面方程为的平面方程为B. B. 两平面的夹角两平面的夹角C. C. 点到平面的距离点到平面的距离例例9.9.解解: : 设球心为设球心为求内切于平面求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成与三个坐标面所构成则它位于第一卦限则它位于第一卦限,且且因此所求球面方程为因此所求球面方程为四面体的球面方程四面体的球面方程.从而从而
