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1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第八节第八节 斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式 高等数学（下）高等数学（下）一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式- 斯托克斯公式斯托克斯公式 高等数学（下）高等数学（下） 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线右手法则右手法则证明思路：证明思路：证证同理同理 高等数学（下）高等数学（下）据两类面积分关系，得到据两类面积分关系，得到据复合函数求导得据复合函数求导得再据格林公式，有再据格林公式，有于是于是 高等数学（下）高等数学（下）证明证明如图如图 高等数学（下）高等数学（
2、下）只须证 高等数学（下）高等数学（下）根据格林公式根据格林公式 高等数学（下）高等数学（下）平面有向曲线平面有向曲线空间有向曲线空间有向曲线同理可证同理可证故有结论成立故有结论成立. . 高等数学（下）高等数学（下）另有四种形式另有四种形式,例如例如:便于记忆形式便于记忆形式 高等数学（下）高等数学（下）StokesStokes公式公式的实质的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系界曲线上的曲线积分之间的关系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形 高等数学（下）高等数学（下）二、简单的应用二、简单的应用
3、解解由由StocksStocks公式公式, , 高等数学（下）高等数学（下）解解由由StocksStocks公式公式, , 有有取取：xyz 1，上侧上侧 高等数学（下）高等数学（下）即有即有 高等数学（下）高等数学（下）4Green公式,Gauss公式,Stokes公式与N-L公式 一样,是建立函数在积分域内部的积分与边 界上的积分之间的关系.44个公式的作用(1)理论上;(2)双向的计算.但, Green公式,Gauss公式,Stokes公式多用于将 边界线(面)向积分域内部转化;与此同时,被 积函数是向求导的方向转化.这时要注意,变 量的取值范围发生了改变.4在遇到奇点或边界不封闭时,要
4、加辅助线,多 数为由平行于坐标轴的直线组成的折线;或 加辅助面,多数为平行于坐标面的平面. 高等数学（下）高等数学（下）解解则则 高等数学（下）高等数学（下）即即 高等数学（下）高等数学（下）解解 高等数学（下）高等数学（下） 高等数学（下）高等数学（下）二、物理意义-环流量与旋度1. 1. 环流量的定义环流量的定义: : 高等数学（下）高等数学（下）利用利用stokesstokes公式公式, , 有有12 高等数学（下）高等数学（下）2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :即即 高等数学（下）高等数学（下）斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式其中其中 高等数学（下）高等数学（下）斯托克
5、斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中 高等数学（下）高等数学（下）StokesStokes公式的向量形式公式的向量形式StokesStokes公式的物理解释公式的物理解释: : 高等数学（下）高等数学（下）0 0解解 高等数学（下）高等数学（下）空间曲线积分与路径无关的四个等价命题空间曲线积分与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题三、三、 高等数学（下）高等数学（下）解解 高等数学（下）高等数学（下）梯度梯度通量通量环流量环流量散度散度旋度旋度 高等数学（下）高等数学（下）四、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式成立的条件斯
6、托克斯公式斯托克斯公式 高等数学（下）高等数学（下） 设空间区域设空间区域G, , 如果如果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G, , 则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域; ; 如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲面, , 则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域. .GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通 高等数学（下）高等数学（下）空间曲线积分与路径无关的四个等价命题空间曲线积分与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题 高等数学（下）高等数学（下）曲面积分与所取积分曲面无关的等价命题曲面积分与所取积分曲面无关的等价命题条条件件等等价价命命题题
