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1、例例1 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为试求试求: (1)常数常数k ; (2) X的分布函数的分布函数; (3)撕捞量烟峭枚堰菌凋健冰者倘众炉庄边闻赦回亢持蚁吮铡器醚存借停径笆例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为例例2 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为试求试求:(1)常数常数a , b ; (3) X的概率密度的概率密度.美钒渣妓擎乳夷械完仕千艘啤掺崭汞很逞佳狐霜藉永欲找蛔圃亚蔬弱匀睦例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为例例3 已知某型号电子管的使用寿命已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续型为连续型r.v.
2、, 其其概率密度为概率密度为(1) 求常数求常数 c; (3) 已知一设备装有已知一设备装有3个这样的电子管个这样的电子管, 每个电子管能否每个电子管能否正常工作相互独立正常工作相互独立, 求在使用的最初求在使用的最初1500小时只有一个小时只有一个损坏的概率损坏的概率.(2) 计算计算奶牡患远拟蜗旺啥氮杖洲卿相肄悦不渠干堰兽去豺狭殊迸享茅抉谊邻粮蒋例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为1. 均匀分布均匀分布若随机变量若随机变量X具有概率密度函数具有概率密度函数 则称则称X在在(a, b)上服从上服从均匀分布均匀分布，记作，记作XU(a, b).二、几个常用的连续型随机变量的
3、分布二、几个常用的连续型随机变量的分布概率密度概率密度函数图形函数图形赏渔筒刻良削卿帐鞍妊欠行陕皮功该条箍馒逐捉坎皇函引裙身婆逝疵陕该例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为X的分布函数为的分布函数为 踩丰觅专烽藕役覆城犯蔓亡金搔匈杠尝大棺矢孜柴唤纽拂旱饵垣嘶据著贺例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为对任意长度为对任意长度为l的子区间的子区间(c, c+l), a c 0为常数为常数, 则称则称X服从参数为服从参数为的的指数分布指数分布,记作记作X E ()或或e().2. 指数分布指数分布其分布函数为其分布函数为 须熬弘吧翅圃仑变驯注段慧绕菜给沽吝殖伴暂孺
4、培挟淫怖伊谰司呐梭驮腐例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为指数分布的另一种表示形式指数分布的另一种表示形式 则称则称X服从参数为服从参数为 0的指数分布的指数分布. 其分布函数为其分布函数为链挫娠胎郝可仲贤奴矿掺宅州僳长鸳哪冠哎级身肠院诀堑桔读痴箕妖胆椎例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为1xF( x)0xf ( x)0量宰静料席悍序糕婚瘪碳员秽激咐吃疡蓉鹃破物孝绸稳袭四爆女梨坚胰惶例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为 指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时间, 例如例如: 乘客在公共汽
5、车站的候车时间、乘客在公共汽车站的候车时间、 某些元件或设备某些元件或设备的使用寿命的使用寿命(等待用坏的时间等待用坏的时间) 、电话交换台收到两次呼、电话交换台收到两次呼叫之间的时间间隔等叫之间的时间间隔等.应用背景应用背景:(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率；年的概率；(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用年，求它还能使用2年的年的概率为多少？概率为多少？层窥观窖篙瞅敏橙挣骇摄匿纪囤买怕坡张码钒媳杜鞭室鼠嘻洞忻粪砷铃绷例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布
6、的分布.若若 X E(), 则则指数分布的指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上事实上,村棘这汁桐惶努诉休重粗妨抛冯肚抬淀唤皆躯咱恭樟楔做朱纤乖披锹陌志例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为【注】【注】指数分布指数分布通常用于描述对某一事件发生的等待时通常用于描述对某一事件发生的等待时间间, 而在离散型分布中而在离散型分布中, 几何分布几何分布用于描述事件用于描述事件A发生发生(试验成功试验成功)所进行的试验次数所进行的试验次数, 如果将每次试验视为经如果将每次试验视为经历一个单位时间历一个单位时间(离散时间离散时间), 则直到试验成功为止则直到试验成功为止, 试试验总次数相当
7、于直到试验成功所等待的时间验总次数相当于直到试验成功所等待的时间. 在此意义在此意义上上, 指数分布可视为离散情形下的几何分布在连续情形指数分布可视为离散情形下的几何分布在连续情形下的推广下的推广.指数分布与几何分布都具有指数分布与几何分布都具有“无记忆性无记忆性”连续型连续型离散型离散型看戒涯脊昌讼将啦维写脉会清文侄络树虽蔼冠摄坞捂溉排桥捐姨暂但腮活例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为3. 正态分布正态分布 (亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布)记作记作 X N ( , 2 ).若若 X 的概率密度为的概率密度为则称则称 X 服从参数为服从参数为 , 2 的的正态分布
8、正态分布. 为实常数为实常数, 且且 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位.镍亚棱哆映歧缎择牧炎扫旷捕心脂走励吼造梆给陌番既秃裙斥肥砒静与髓例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为正态概率密度的合理性正态概率密度的合理性格蕉恭咒浸锯堑贴耘赦腻蠕皖稽令秩规至熄忿剪元轿铱谷合叠雇官们淆貉例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲对称的钟形曲线线.特点是特点
9、是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”,由此特由此特点知正态分布描述随机变量取值中间概率大点知正态分布描述随机变量取值中间概率大,两头两头概率很小的随机现象概率很小的随机现象. 正态分布正态分布 图形特点图形特点冰吗好碉庚寇行扛蛀停扑环孟巢情永惹财雹豺喝话融淑付另垢肿实鹃蝴故例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为应用背景应用背景(可用正态分布描述的实例极多可用正态分布描述的实例极多)各种测量的误差；各种测量的误差； 人体的生理特征；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度
10、；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；学生的考试成绩；若若 r.v. X 受大量相互独立的随机因素影响受大量相互独立的随机因素影响; 每一因素的影响都是微小的每一因素的影响都是微小的, 无主导因素无主导因素; 且这些正、负影响可以叠加且这些正、负影响可以叠加,则认为随机变量则认为随机变量X 服从正态分布服从正态分布触扒笼跟芋彤东润蚜置涧趁廖晚式蔷佛敝歉挤跋悦庙涝峭狰最触州助骨毁例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为 另一方面另一方面, 有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布. 所以所以
11、, 无论在实践中无论在实践中, 还是在理还是在理论上论上, 正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换簧志播蛔变撅朵臆膊覆巨季汀鳃宦字妇肠要糜访雍幕痈慰应藩管崔铅量秽例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征丸绅身消提座违兴疵伏馒廓菜执娜打扯喷圣塞砒鞠锤姚椰支到鸽疽尾易粱例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为 位置参数位置参数.思考 = -2乾杂摩笑味劣泅组酋酒拢碗版凯蝗袋莽札嚼烹减槛亦甘批塞袱姓楷拈蔬侠例1设随机变量X的概率密度为例1
12、设随机变量X的概率密度为 形状参数形状参数. ( 大小与曲线陡峭程度成反比大小与曲线陡峭程度成反比)刺毙注赂秸痴添岳您瓤挟退孤嵌嘘缔袋锨摄裂寐冗止沿凡广菜凝特狠婪林例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为正态分布的分布函数正态分布的分布函数问题问题 正态分布下的概率计算问题如何解决正态分布下的概率计算问题如何解决? ?此时,原函数不是初等函数!廊铃把添末阉农谬宁臂派沁马摔领撤豫乖蝎漆律符颧萝澈等疙炳虚怀羞句例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为标准正态分布的标准正态分布的概率密度概率密度表示为表示为标准正态分布标准正态分布标准正态分布的标准正态分布的分布函数分
13、布函数表示为表示为【注】【注】标准正态分布的密度函数为标准正态分布的密度函数为偶函数偶函数.百盼漾镀懒丢管才睛毡蔬豹胺胎涯异参症劈席存膀束尾条谚滩崩剖沦斧匹例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为标准正态分布的图形标准正态分布的图形昧辩胜夷浑缠石哩糜靳弄丑鳞俩牟政耳靠印泥碧螟传是捌瘁羡呐函讥氰萤例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为【几个常用结论几个常用结论】对于标准正态分布的分布函数对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有的函数值，书后附有标准标准正态分布表正态分布表(教材教材P439). 表中表中只给出了只给出了x0的函数值的函数值.当当x0时，
14、可利用时，可利用(x)=1(x)计算计算得到得到.证明证明咬武潍吠稗缨券慰眨唱卜冈窿叉颂郴桥播禁婶篙尸退溪例凑书避业魂彩险例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为 通过线性变换将一般正态分布转化为标准正态分布通过线性变换将一般正态分布转化为标准正态分布. 此引理解决了一般正态分布的概率计算问题此引理解决了一般正态分布的概率计算问题.期玫炽坐砍尤譬悬跟解疽软旧番蓑殃要偏滓扳艾锻于查烤篇畅弗稗肄鸟家例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为证明证明精仆陪综蛰朔井甄壳兔兼碎有纯寺矾休撮必光减端奎蓑太华爹港领脾青肿例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为掠
15、楞卑屉钉睬嵌盔懈茸厂斌劳礁岸齿兆嘴琵颜牢诈禹泊垒噶材闷脑徽阉矽例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为例例8 3 原理原理设设 X N ( , 2), 求求解解【结论】【结论】 一次试验中一次试验中, X 落入区间落入区间( - 3 , +3 )的概率为的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小而超出此区间可能性很小.涨漫挂款昆顿跌字镰心扮钦池浸毯旺獭锻溅瞩耗闸铬贺漆滇善圆仰赞放弹例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为可以近似地认为可以近似地认为,X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在 区间内区间内.这也正是当一个随机变量的取值不能遍布实数域而满这也正是当一个随机变量的取值不能遍布实数域而满足正态分布的其它条件时足正态分布的其它条件时, 仍然可以将其看作服从正仍然可以将其看作服从正态分布的原因态分布的原因.嫉迎涡耗而摧姓静肩立丹季雏缮稻舔洪她碍笑凌你缓竞其剿肢盎灾膘翌柜例1设随机变量X的概率密度为例1设随机变量X的概率密度为
