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1、6.4 6.4 二次曲面二次曲面四、空间立体或曲面在四、空间立体或曲面在 坐标面上的投影坐标面上的投影三、三、 双曲面双曲面二、二、 抛物面抛物面一、一、 椭球面椭球面所表示的曲面称为所表示的曲面称为二次曲面二次曲面.讨论二次曲面的性质使用讨论二次曲面的性质使用截痕法截痕法： 用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，考用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，考察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研究察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状曲面的性状.一、一、 椭球面椭球面1. 范围范围: |x | a, |y |b, |z |c . 图形在图形在 x = a, y = b, z =
2、c 所围成的长方所围成的长方体内体内.2. 对称性对称性: 图形关于三个坐标面、三个坐标轴及图形关于三个坐标面、三个坐标轴及原点对称原点对称.3. 截截 痕痕 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成方程可写为方程可写为球面球面方程可写为方程可写为二、二、 抛物面抛物面（ 与与 同号）同号）(1) 范
3、围范围: 若若p 0且且q 0, 则则 图形在图形在 xOy 平面上方，否则在平面上方，否则在 xO y 平面下方平面下方.(2) 对称性对称性: 图形关于图形关于z 轴、轴、yOz 平面、平面、xOz 平面对平面对称称.(3) 截截 痕痕 10 用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的
4、交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点 3 0 用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的绕它的轴旋转而成的）轴旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.2. 2. 双曲抛物面双曲抛物面(1) 范围范围: x, y, z R, 曲面可向各方向无限延伸曲面可向各方向无
5、限延伸.(2) 对称性对称性: 图形关于图形关于z 轴、轴、yOz 平面、平面、xOz 平面对平面对称称.(3) 截截 痕痕 (设设p 0, q 0) 用平面用平面z = z0 (z0 0)截曲面所得截痕为双曲线截曲面所得截痕为双曲线 用平面用平面x = x0 与与 y = y0 截曲面所得截痕为截曲面所得截痕为这是两条抛物线这是两条抛物线.双曲抛物面双曲抛物面图形如下：图形如下：xyzo三、 双曲面1. 单叶双曲面单叶双曲面(2) 对称性对称性: 图形关于三个坐标轴、三个坐标面以图形关于三个坐标轴、三个坐标面以及原点都对称及原点都对称.(1) 范围范围: 故曲面在椭圆柱面故曲面在椭圆柱面的外
6、部；的外部；(3) (3) 截截 痕痕用平面用平面z = z0 截曲面所得截痕为椭圆：截曲面所得截痕为椭圆：用平面用平面x = x0 , y =y 0截曲面所得截痕为：截曲面所得截痕为：这是两条双曲线这是两条双曲线.单叶双曲面单叶双曲面的图形如下：的图形如下： xyoz思考题思考题:的形状如何？的形状如何？双叶双曲面双叶双曲面xyo思考题思考题:的图形怎样的图形怎样？例例 z = f (x, y )= xy 表示什么曲面表示什么曲面？解解存在正交变换存在正交变换 X = CY 使使 z = x y 为为双曲抛物面双曲抛物面.例例4 设设 f (x1, x2, x3) = X TAX 为实二次型
7、，则为实二次型，则 f (x1, x2, x3) = 1 为椭球面为椭球面 A 为正定矩阵为正定矩阵.证证 将将 f (X) = X TAX 用正交变换用正交变换X = CY 化为标准形化为标准形 1 y12 + 2 y22 + 3 y32则则 1 y12 + 2 y22 + 3 y32 = 1 为椭球面为椭球面 1 , 2 , 3 全为正数全为正数A 为正定矩阵为正定矩阵.补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空空间间立立体体曲曲面面例例6解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为一个圆一个圆, 曲面所围成区域的画法曲面所围成区域的画法例例 16
8、 用不等式组表示下列曲面所围成的区域，并画图。用不等式组表示下列曲面所围成的区域，并画图。画法：画出各个曲面的交线，即区域的画法：画出各个曲面的交线，即区域的轮廓线轮廓线。关键要画出椭圆抛物面与圆柱面的交线关键要画出椭圆抛物面与圆柱面的交线在在xoy平面上的投影为平面上的投影为在在xoz平面上的投影为平面上的投影为注：注：该区域也可表为该区域也可表为zxyo例例 17 作出下列条件所确定的的区域的简图。作出下列条件所确定的的区域的简图。解：画出圆柱面解：画出圆柱面 在平面在平面x=0,y=0和和x+y=1上的截线即可。上的截线即可。xyzo思考题思考题思考题解答思考题解答交线方程为交线方程为在在 面上的投影为面上的投影为
