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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述随机变量的统计特性, 但实际应用中, 有时并不需要知道分布函数而只需知道随机变量的某些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度例如例如：1 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.2q r
2、.v.的平均取值 数学期望 q r.v.取值平均偏离平均值的情况 方差q 描述两个 r.v.之间的某种关系的 数 协方差与相关系数本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性 都可用数字数字来描写34.1随机变量的数学期望随机变量的数学期望加 权 平 均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75胜者 甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙引例引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负4.1 4为这 3 个数字的加权平均称数学期望的概念源于此5设 X 为离散 r.v.
3、 其分布为若无穷级数其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即数学期望的定义数学期望的定义定义定义绝对收敛, 则称6设连续 r.v. X 的 d.f. 为若广义积分则称此积分为 X 的数学期望;记作 E( X ), 即 数学期望的本质数学期望的本质 加权平均加权平均 它是一个数不再是它是一个数不再是 r.v.r.v.定义定义绝对收敛,7例例1 1 X B ( n , p ), 求 E( X ) .解解特例 若Y B ( 1 , p ), 则 E(Y) 例例1 18例例2 2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解解例例3 3 设 X 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).
4、解解例例2 29常见常见 r.v. 的数学期望的数学期望（P159）分布期望概率分布参数为p 的 0-1分布pB(n,p)npP()10分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(, 2)11注意注意 不是所有的不是所有的 r.v.都有数学期望都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!12q 设离散 r.v. X 的概率分布为 若无穷级数绝对收敛，则q 设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x)绝对收敛, 则若广义积分 r.v.函数函数 Y = g(X ) 的数学期望的数学期望13q 设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为Z = g(X
5、,Y ),绝对收敛 , 则若级数14q 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 绝对收敛, 则若广义积分15例例3 3 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求的数学期望.解解例例3 316解解 (1) 设整机寿命为 N , 五个独立元件,寿命分别为都服从参数为 的指数分布，若将它们 (1) 串联； (2) 并联成整机，求整机寿命的均值. （P.142 例6）例例4 4例例4 417即 N E( 5), (2) 设整机寿命为 18 可见, 并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.19q E (C ) =
6、 Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) q 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .数学期望的性质数学期望的性质常数期望性质期望性质性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立注注20例例6 6 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子 中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的 数学期望. 解一解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为X P0 1 2 3例例6 621解二解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4Xi P 1 022例例7 7 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y)解解 例例7 723由数学期望性质X ,Y 独立24
