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1、 定积分的几何应用定积分的几何应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 直角坐标系直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由作为一般情况讨论，设平面图形由 a , b 上连续的两条曲线上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与与 y = g ( x ) 及两条直线及两条直线 x =a ,x =b 所围所围成成在在 a ,b 上任取典型小区间上任取典型小区间 x ,x+dx 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dAdA 可用高为可用高为底为底为 dx 的的矩形面积矩形面积近似表示近似表示即即故故ab当当 dx 很小时很小时 所围成的图形的面积所围成的图形的
2、面积解解为确定图形的存在区间为确定图形的存在区间由联立方程组解得交点由联立方程组解得交点 A（-1，1） B（1，1）故故例例1 求两曲线求两曲线 所围图形的面积所围图形的面积解解首先定出图形所在的范围首先定出图形所在的范围解得交点为（解得交点为（2，-2）和（）和（8，4）若取若取 x 为积分变量为积分变量 在在 x,x+dx 上取部分量上取部分量则对于则对于 x 的不同值的不同值 局部量的位置不同局部量的位置不同 其其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂较为复杂如下图如下图例例2 计算计算 以以 y 为变量计算将会简单为变量计算将会简单在在-2,
3、4 上任取一小区间上任取一小区间其上相应的窄条左、右曲边分别为其上相应的窄条左、右曲边分别为但若将这一面积看作是分布在区间但若将这一面积看作是分布在区间 -2，4 上上 由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化计算简化上述问题的一般情况是上述问题的一般情况是平面区域由平面区域由 c,d 上连续的曲线上连续的曲线及直线及直线y = c ,y = d 所围所围成成 则其面积为则其面积为cd 当直角坐标系下的平面区域的边界曲线当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数
4、方程的形式给出时，只须对面积计算由参数方程的形式给出时，只须对面积计算公式作变量代换即可。公式作变量代换即可。计算时应注意积分限在换元中应保持与原积计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。分限相对应。例例3求椭圆求椭圆 的面积的面积解解由对称性由对称性 面积面积A等于椭圆在第一象限内的等于椭圆在第一象限内的部分的面积的部分的面积的4倍倍即即设设 f ( x ) 在在 a ,b 上连续，在上连续，在 ( a, b ) 内内有有 证明证明存在唯一的存在唯一的 使曲线使曲线 f（x ）与两直线与两直线 所围图形的面积所围图形的面积 是是 y = f ( x ) 与两直线与两直线 所围图形面
5、积所围图形面积 的的3倍倍证证例例4故由零点定理知故由零点定理知又又令令2 极坐标系极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程 给出给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线而是由射线 所围成的称为曲边扇形的区域所围成的称为曲边扇形的区域可用半径为可用半径为圆心角为圆心角为由于曲边扇形的面积分布由于曲边扇形的面积分布故面积元素为故面积元素为的圆扇形的面积来近似的圆扇形的面积来近似解解由对称性知总面由对称性知总面积积=4倍第一象限倍第一象限部分面积部分面积解解利用
6、对称性知利用对称性知 通过以上几例可见在实际计算中应充通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的分利用所求量的对称性对称性和和等量关系等量关系来简来简化计算。化计算。二、平面曲线弧长的概念二、平面曲线弧长的概念直角坐标情形直角坐标情形弧长元素弧长元素弧长弧长解解所求弧长为所求弧长为解解曲线弧为曲线弧为弧长弧长参数方程情形参数方程情形解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长证证根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.极坐标情形极坐标情形曲线弧为曲线弧为弧长弧长解解求心形线求心形线
7、 的全长的全长解解由对称性由对称性例例12求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下小结小结思考题思考题两边同时对两边同时对 求导求导xyo积分得积分得思考题思考题 1 解答解答所以所求曲线为所以所求曲线为不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长思考题思考题 2 解答解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案练练 习习 题题练习题答案练习题答案
