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1、第七章第七章 机械振动机械振动1.简谐振动简谐振动2.简谐振动的合成简谐振动的合成3.阻尼振动、受迫振动与共振阻尼振动、受迫振动与共振目目 录录1 简谐振动简谐振动机械振动：机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动物体在一定位置附近作周期性往复运动. .振动：振动：描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化. .特征特征： 重复性、周期性；重复性、周期性； 任意周期运动的分解周期函数的傅里叶分析任意周期运动的分解周期函数的傅里叶分析 简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分.在数学在数学上上,一个周期为一
2、个周期为T的函数的函数 可以被展开为一系列不同频可以被展开为一系列不同频率的简谐函数的叠加傅里叶级数展开：率的简谐函数的叠加傅里叶级数展开：其中其中 而而 被称为基频，其他频率皆为被称为基频，其他频率皆为 基频的整数倍基频的整数倍.2理想模型理想模型轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹 性力作用下的直线运动性力作用下的直线运动.由牛顿定律，有由牛顿定律，有弹簧振子的运动弹簧振子的运动一一.简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式恢复力的两个特点恢复力的两个特点 1、F的指向总是与位移的指向总是与位移X的方向反向，总是指向平衡位置。的方向反向，总是指向
3、平衡位置。2、F的大小正比于位移的大小正比于位移x的大小。的大小。3方程的解为：方程的解为：简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程速度表达式：速度表达式：加速度表达式：加速度表达式：令令4二二. 描述简谐振动的特征参量描述简谐振动的特征参量振幅振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值周期周期T：完成一次全振动所需时间：完成一次全振动所需时间频率频率 ：角频率角频率 ： 无论什么初始条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率，无论什么初始条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率，它是弹性系统特征的集中体现，故称它是弹性系统特征的集中体现，故称
4、 为为本征频率本征频率.5相位：决定简谐运动状态的物理量相位：决定简谐运动状态的物理量初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量设设v 由初始条件决定振幅和初相位由初始条件决定振幅和初相位相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态.6解：解：代入简谐振动表达式，则有代入简谐振动表达式，则有例题例题7.1.7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子一放置在水平桌面上的弹簧振子, ,周期为周期为0.5 0.5 s s。当。当t=0t=0时，时，求求: : 运动方程运动方程7三、常见的简谐振动三、常见的简谐振动（1）竖直悬挂的弹簧
5、振子）竖直悬挂的弹簧振子选平衡位置为坐标原点选平衡位置为坐标原点平衡时平衡时位移位移X时时故物体仍做简谐振动故物体仍做简谐振动x8（2）单摆）单摆重力形成的力矩，在角度很小时有重力形成的力矩，在角度很小时有根据转动定律根据转动定律表明：单摆的运动也是谐振动，故表明：单摆的运动也是谐振动，故9（3）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。类似单摆写出方程为：类似单摆写出方程为：结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。10例题例题7.2 7.2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质设想地球内有一光滑隧道，
6、如图所示。证明质 点点m m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期证明：证明：如图，在极坐标系中质点如图，在极坐标系中质点m m在在r r处处受力为受力为o建立建立oyoy坐标系，则坐标系，则11满足简谐振动微分方程，故为简谐振动满足简谐振动微分方程，故为简谐振动则则整理得整理得由牛顿定律有由牛顿定律有121、旋转矢量图示法、旋转矢量图示法 t+ opxt=0 M说明说明:v旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法;v不能把不能把M的运动误认为简谐振动。的运动误认为简谐振动。四、简谐振动的表示法四、简谐振动的表示
7、法作坐标轴作坐标轴ox ,自原点作一矢量自原点作一矢量模模 振幅振幅A角速度角频率角速度角频率与与x 轴的夹角相位轴的夹角相位初始与初始与x 轴的夹角初相轴的夹角初相13P点坐标、速度和加速度都作简谐振动点坐标、速度和加速度都作简谐振动. 矢端在矢端在x 轴投影的运动规律：轴投影的运动规律：P点的坐标点的坐标M点位矢在点位矢在x 轴上的投影轴上的投影速度速度M点速率在点速率在x 轴上的投影轴上的投影加速度加速度M点向心加速度在点向心加速度在x 轴上的投影轴上的投影 t+ opxt=0 M14例例题题7.3 一一物物体体沿沿x 轴轴作作简简谐谐振振动动, 振振幅幅为为0.24m, 周周期为期为2
8、s, 当当t=0时时x0=0.12m, 且向且向x 轴正方向运动轴正方向运动. 试试求求: 1) 振振动动方方程程; 2) 从从x=- -0.12m, 且且向向x轴轴负负方方向向运运动的状态动的状态, 回到平衡位置所需的时间回到平衡位置所需的时间.当当t =0时时, x0=0.12m, v00 为确定初相为确定初相, 画出画出t=0时旋转矢量的位置时旋转矢量的位置由题知由题知解解:1) 设振动方程为设振动方程为x opt=0 M15振动方程为振动方程为:由图得到由图得到2) 从从x = - -0.12m, 且向且向x轴负方向运动的状态轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所回到平衡位置所需的时间需
9、的时间x Mop162、x-t曲线图示法曲线图示法 简谐振动也可用简谐振动也可用x-t的振动曲线表示，如下图所示，图上已将的振动曲线表示，如下图所示，图上已将振幅、周期、和初相标出振幅、周期、和初相标出.x x TtA1718解：解：设运动表达式设运动表达式t(s)O2-2X(m)1由图可见，由图可见，A=2m，当，当t = 0时有：时有：例题例题7.4 已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根 据图中数据写出振动表达式。据图中数据写出振动表达式。由此得由此得19解得：解得：当当t = 1时有时有O2-2X(m)120五五.简谐运动的能量简谐运动的能量设
10、在某一时刻设在某一时刻, ,振子速度为则系统的动能：振子速度为则系统的动能：该时刻物体的位移为该时刻物体的位移为, ,则系统的势能：则系统的势能：系统的总能量系统的总能量：谐振动的总能量与振幅的平方成正比谐振动的总能量与振幅的平方成正比21能量平均值能量平均值能量曲线图能量曲线图22 简谐振动的合成简谐振动的合成v 合成结果仍为简谐运动合成结果仍为简谐运动v 合振动与分振动在同一方向合振动与分振动在同一方向, 且有相同频率且有相同频率一、同方向同频率谐振动的合成一、同方向同频率谐振动的合成合振动的运动方程：合振动的运动方程：A2A1x0Ax2x1x任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成
11、。任何一个复杂的振动都可看成若干个简谐振动的合成。23讨讨 论：论：1) 相位差同相相位差同相同相同相, 合振幅最大合振幅最大2) 相位差反相相位差反相反相反相, 合振幅最小合振幅最小当当A1=A2时时, 质点静止质点静止3) 一般情况（相位差任意）一般情况（相位差任意）相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用24二、两个同方向不同频率谐振动的合成二、两个同方向不同频率谐振动的合成 设一质点同时参与了角频率分别为设一质点同时参与了角频率分别为 的两个同方向的两个同方向的简谐振动的简谐振动设两振动的振幅相同，初相为零设两振动的振幅相同，初相为零,即即合振动
12、的运动方程为：合振动的运动方程为：25讨论讨论: 两频率都较大两频率都较大, 而频率差很小的情况而频率差很小的情况表明表明: 一个高频振动受一个低频振动的调制一个高频振动受一个低频振动的调制合振动频率合振动频率合振动振幅合振动振幅xtx2tx1t26合振幅出现时大时小的现象合振幅出现时大时小的现象拍现象拍现象振幅变化的周期为：振幅变化的周期为：拍频：拍频：拍现象的应用：拍现象的应用：v 用音叉振动校准乐器；用音叉振动校准乐器；v 测定超声波；测定超声波；v 测定无线电频率；测定无线电频率；v 调制高频振荡的振幅和频率等。调制高频振荡的振幅和频率等。三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成三、两个相
13、互垂直的同频率谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成27消去参数消去参数消去参数消去参数t t, , 得轨迹方程得轨迹方程得轨迹方程得轨迹方程运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差.合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为讨论：讨论：1) 轨迹：轨迹：两个分振动同相两个分振动同相282) 轨迹：轨迹：合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为合运动时简谐振动，角频率与初相不变，振幅为两个分振动反相两个分振动反相 y 比比x 位位相相超超前前 /2,
14、 故故椭椭圆圆轨轨道道运运动动的的方方向向时时顺顺时时针针, 即即右右旋的旋的.3) 轨迹：轨迹：294) 轨迹：轨迹： y 比比x 位位相相滞滞后后 /2, 故故椭椭圆圆轨轨道道运运动动的的方方向向时时逆逆时时针针, 即即左左旋旋的的. 当当A1=A2时时, 正椭圆轨道将变为圆轨道正椭圆轨道将变为圆轨道, 即质点作圆周运动即质点作圆周运动.30四、垂直方向不同频率简谐振动的合成四、垂直方向不同频率简谐振动的合成 可可看看作作两两频频率率相相等等而而 2- 1随随缓缓慢慢变变化化, 合合运运动动轨轨迹迹将将按上页图依次循环地缓慢变化按上页图依次循环地缓慢变化.1. 若两分振动频率相差很小若两分
15、振动频率相差很小31 合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比关系时，时稳定的封闭曲线，关系时，时稳定的封闭曲线，称为利萨如图形称为利萨如图形2. 若两振动的频率相差很大若两振动的频率相差很大 工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差两个简谐振动的相位差A2xA1yo-A2- A1A2xA1yo-A2- A1A2xA1yo-A2- A132例例2: 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为别为1) 求它们的合
16、振动方程；求它们的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐振动另有一同方向的简谐振动问问: 当当 3为何值时为何值时, x1+x3的振动为最大值？当的振动为最大值？当 3为何值为何值时时, x1+x3的振动为最小值？的振动为最小值？解：解：1) 两个振动方向相同两个振动方向相同, 频率相同的简谐振动合成后还频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动是简谐振动, 合振动方程为合振动方程为33所求的振动方程为所求的振动方程为2) 当当 时，相位相同。时，相位相同。当当 时，相位相反。时，相位相反。根据已知条件，根据已知条件，t=0时，合矢量应在第二象限，故时，合矢量应在第二象限，故34一、阻尼振动一、阻尼振
17、动振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振设粘滞阻力设粘滞阻力由牛顿方程由牛顿方程1. 阻尼振动的运动微分方程阻尼振动的运动微分方程（固有角频率）（固有角频率）（阻尼因子）（阻尼因子）令令0xkPxm35将形如将形如 的解代入微分方程，得特征方程的解代入微分方程，得特征方程其特征根是其特征根是 按阻尼度按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式的解，代表了振动物体的三种运动方式.得运动微分方程得运动微分方程362. 弱阻尼弱阻尼时时, 阻尼振动运动
18、方程的方程解为阻尼振动运动方程的方程解为阻尼振动的角频率阻尼振动的角频率:A0和和 决定于初始条件的积分常数决定于初始条件的积分常数xto阻尼振动曲线：阻尼振动曲线：37弱阻尼曲线：弱阻尼曲线：v 振幅随时间振幅随时间t 作指数衰减作指数衰减v 近似为简谐振动近似为简谐振动v 阻尼振动周期比系统的固有周期长阻尼振动周期比系统的固有周期长 即即是是物物体体不不作作往往复复运运动动的的极极限限。系系统统从从周周期期运运动动变变为为非周期振动非周期振动.称为称为 临界阻尼临界阻尼, 3. 临界阻尼和过阻尼临界阻尼和过阻尼时，特征方只有一个重根，微分方程的解为时，特征方只有一个重根，微分方程的解为38
19、 这这种种过过阻阻尼尼运运动动方方式式是是非非周周期期运运动动,振振动动从从开开始始最最大大位位移移缓慢回到平衡位置缓慢回到平衡位置, 不再做往复运动不再做往复运动. 时，阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这时，阻尼较大，特征方程有两个不同的实根，这时方程的解为时方程的解为xto弱阻尼弱阻尼临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼39系统在周期性外力持续作用下所发生的振动系统在周期性外力持续作用下所发生的振动二、受迫振动二、受迫振动1. 受迫振动受迫振动强迫力强迫力:阻尼力阻尼力:恢复力恢复力:xmFf-kx2. 受迫振动的运动微分方程受迫振动的运动微分方程40微分方程的通解为微分方程的通解为xto -
20、简谐振动简谐振动, 定态解定态解 经一段时间受迫振动变为简谐振动经一段时间受迫振动变为简谐振动令令 ，代入方程，代入方程,有有-阻尼振动阻尼振动, 随时间消失随时间消失其中：其中：41由此得定态解的振幅和相位分别为由此得定态解的振幅和相位分别为三、共振三、共振驱动力的角频率为某一定值时驱动力的角频率为某一定值时, , 受迫振动的振幅达到极大受迫振动的振幅达到极大值的现象值的现象. .共振振幅：共振振幅：共振角频率：共振角频率：42分析分析:1) 越小时越小时2) =0时时尖锐振动尖锐振动O 0A 无阻尼无阻尼 =0弱阻尼弱阻尼 0大阻尼大阻尼 0应用应用:电磁共振选台电磁共振选台(收音机收音机
21、)乐器利用共振提高音响效果乐器利用共振提高音响效果研究避免共振的破坏的措施：研究避免共振的破坏的措施：v破坏外力破坏外力(强迫力强迫力)的周期性的周期性;v改变系统固有频率改变系统固有频率;v改变外力的频率改变外力的频率;v增大系统阻尼力增大系统阻尼力.43本章基本要求本章基本要求1. 掌握谐振动的特征和规律，理解描述谐振动的特征量的物掌握谐振动的特征和规律，理解描述谐振动的特征量的物 理意义，熟练确定振动系统的特征量，建立谐振方程理意义，熟练确定振动系统的特征量，建立谐振方程.2. 熟练掌握描述谐振动的旋转矢量法和图示表示法熟练掌握描述谐振动的旋转矢量法和图示表示法.3. 掌握同方向、同频率谐振动的合成的特点与规律，掌握掌握同方向、同频率谐振动的合成的特点与规律，掌握 互相垂直谐振动的合成的特点互相垂直谐振动的合成的特点.4. 理解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件和规律理解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件和规律.44
