随机事件及其运算.ppt

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1、 第 一 章 随随 机机 事事 件件 及及 其其 概概 率率二、二、 随机现象随机现象 一、一、 概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用三、三、 随机试验随机试验四、样本空间四、样本空间 样本点样本点五、随机事件的概念五、随机事件的概念六、六、随机事件间的关系及运算随机事件间的关系及运算1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒两个赌徒约定赌若干局约定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一若在一赌徒胜赌徒胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终时便终止赌博止赌博,问应如何分赌本问

2、应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同年共同建立了概率论的第一个基本概念建立了概率论的第一个基本概念数学期望数学期望.一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用1. 概率论的诞生概率论的诞生2.本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各个部门中. 例如：例如： 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与都与概率论概率论紧密相

3、关；紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到临床中应用，均要用到假设检验假设检验；6. 探讨太阳黑子的变化规律时探讨太阳黑子的变化规律时,时间时间可夫过程可夫过程 来描述来描述;7. 研究化学反应的时变率，要以研究化学反应的时变率，要以马尔马尔序列分析序列分析方法非常有用方法非常有用;4. 电子系统的设计电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其火箭卫星的研制及其发射都离不开发射都离不开可靠性估计可靠性估计; 3. 寻求最佳生产方案要进行寻求最佳生产方案要进行实验设计实验设计和和数据处理数据处理；5. 处理通信问题处理通信问题, 需要研

4、究需要研究信息论信息论；水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知的知目前目前, 概率统计理论进入其他自然科学概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8. 生物学中研究生物学中研究 群体的增长问题时，群体的增长问题时，提出了生灭型提出了生灭型随机模型随机模型，传染病流行问传染病流行问题要用到多变量非线性题要用到多变量非线性生灭过程生灭过程；9. 许多服务系统，如电话通信、船舶许多服务系统，如电话通信、船舶识就是识就是 排队论排队论.领域

5、领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题济的稳定增长等问题 , 都大量采用都大量采用概率概率统计方法统计方法. 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对说对了了: “ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝大其中绝大领域的趋势还在不断发展领域的趋势还在不断发展. 在社会科学在社会科学领领多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对曾对概率论概率论大加赞美：大加赞美：“ 概率论是生活真正概率论是生活真正的领路人的领路人, 如果没有对概率的某种估计

6、如果没有对概率的某种估计, 那那么我们就寸步难行么我们就寸步难行, 无所作为无所作为.在很多很多情况下，当（其它）科学完全不可能回答“这个命题是真实的吗？”这个问题时，概率论却给出了一个基础，来判断该命题在多大情况下可能是真的。在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象二、随机现象二、随机现象 在一定条件下可能出现也可

7、能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例2 “用同一

8、门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果: “弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.随机现象的分类随机现象的分类个别随机现象现象个别随机现象现象：原则上不能在相同条件下重：原则上不能在相同条件下重 复出现复出现大量性随机现象现象大量性随机现象现象：在相同条件下可以重复出：在相同条件下可以重复出 现现随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性, 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, 这种

9、结果的出这种结果的出现具有一定的现具有一定的统计规律性统计规律性 , 概率论就是研究随机概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述. 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并

10、且能并且能事事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.三、随机试验三、随机试验说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情况反

11、面出现的情况”.分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”.2.“从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面正面，反面反面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.3. 记录某公共汽车站记录某公

12、共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 四、样本空间四、样本空间 样本点样本点定义定义1 1 对于随机试验对于随机试验E E，它的每一个可它的每一个可能结果称为能结果称为样本点样本点，由一个样本点组成的，由一个样本点组成的单点集称为单点集称为基本事件基本事件。所有样本点构成的。所有样本点构成的集合称为集合称为E E 的的样本空间或必然事件样本空间或必然事件，用 或S S表示。样本点由表示。样本点由 表示。表示。 我们规定不含任何元素的空集为

13、不我们规定不含任何元素的空集为不可能事件可能事件，用用 表示表示。其中其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天观察总机每天9:0010:00接到的电话次数接到的电话次数有限样本空间有限样本空间无限样本空间无限样本空间投一枚硬币投一枚硬币3次，观察正面出现的次数次，观察正面出现的次数例 给出一组随机试验及相应的样本空间给出一组随机试验及相应的样本空间随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子集的子集(或某些样本点的子集），称为或某些样本点的子集），称为 E 的随机

14、事件的随机事件, 简称事件简称事件.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.五、随机事件的概念五、随机事件的概念基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果它是随机试验的直接结果,每次试验必每次试验必定定发发生且只可能发生一个基本事件生且只可能发生一个基本事件. 必然事件必然事件全体样本点组成的事件全体样本点组成的事件,记记为为 , 每次试验必定发生

15、的事件每次试验必定发生的事件.随机事件发生随机事件发生 组成随机事件的一个样组成随机事件的一个样本点发生本点发生不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件不包含任何样本点的事件,记为记为 ,每次试验必定不发生的每次试验必定不发生的事件事件.随机变量随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母变量，常用大写字母X,Y,Z表示，很多事件都可以用表示，很多事件都可以用随机变量表示。随机变量表示。 写出掷骰子试验的样本点写出掷骰子试验的样本点, , 样本空间样本空间, , 基本事件基本事件, , 事件事件AA出现偶数出现偶数, , 事件事件BB出现奇数

16、出现奇数 解：解：用用 表示掷骰子出现的点数为表示掷骰子出现的点数为 基本事件基本事件 例例 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件必然事件不可能事件是两个特殊的必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件随机事件 1. 包含关系包含关系若若事件事件 A 出现出现, 必然导致必然导致 B 出现出现 ,则称则称事件事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作图示图示 B 包含包含 A. BA六、

17、随机事件间的关系及运算六、随机事件间的关系及运算I. .随机事件间的关系随机事件间的关系若事件若事件A包含事件包含事件B,而且事件而且事件B包含事件包含事件A, 则称事则称事件件A与事件与事件B相等相等,记作记作 A=B.2. 事件的和事件的和(并并)图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BA3. 事件的交事件的交 (积积)推广推广图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件. ABAB和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质4. 事件事件的的互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 、B 满足满足则称事件则称事件 A与与B互不相容互不相容.实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬

18、币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A与与B互斥互斥 AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 说明说明 当当A B= 时时,可将可将A B记为记为“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A与不可能事件与不可能事件为互斥为互斥.5. 事件的事件的差差图示图示 A 与与 B 的差的差 AB事件事件 “A 出现而出现而 B 不出现不出现”，称为事件，称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B. 若事件若事件 A

19、 、B 满足满足则称则称 A 与与B 为为互逆互逆(或对立或对立)事件事件. A 的逆记作的逆记作实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. BA6. 事件的互逆（对立）事件的互逆（对立）对立对立对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 ABABA、B 对立对立A、B 互斥互斥互互 斥斥对对 立立II.事件间的运算规律事件间的运算规律B CABA CA 分配律 图 示A（1）第三次未中奖（2）第三次才中奖（3）恰有一次中奖（4）至少有一次中奖（5）不止一次中奖例例 化简事件化简事件解解 原式原式补充：事件域（补充：事件域（

20、-algebra ） 事件是样本空间事件是样本空间 的某些子集，如果把是事件的某些子集，如果把是事件的子集归成一类，记作的子集归成一类，记作,称为事件域称为事件域,即即 =A|A ,A,A是事件是事件（1）由于）由于 , 是事件，所以是事件，所以 , . （3）交运算可通过并与对立实现）交运算可通过并与对立实现. （2）又事件间要求有并、交、差、对立等运算）又事件间要求有并、交、差、对立等运算. （4）差运算可通过交与对立实现（）差运算可通过交与对立实现（B-A=B）. 定义：定义：设设 为一个样本空间，为一个样本空间， =A|A ,A是事件是事件，若，若 满足：满足： 1. 2. 若若A ,

21、则则 3. 若若Ai ,i=1,2,则则A1A2Ai. 则称集合类则称集合类为一个为一个事件事件域域（-代数代数) . 在概率论中在概率论中(1)(1)(, ,) )称为称为可测空间可测空间(measurable space). (measurable space). (2)(2)中的子集称为中的子集称为可测集可测集(measurable sets).(measurable sets).例例: 常见事件域常见事件域（1）若样本空间）若样本空间=1， 2，记，记A=1，=2， 则事件域为则事件域为=，A， ， .（3）若样本空间）若样本空间=1， 2， n ，则，则事件域为由事件域为由，可列个单点集，可列个双元素集，可列个单点集，可列个双元素集， ，可列个，可列个n个元素集，个元素集， 和和组成，组成， 中中共有可共有可列个事件列个事件 .