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1、第三、四章第三、四章 总结课总结课一一. 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法矩阵的秩、向量组的秩的求法三三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩、矩阵的秩的证明1一一. 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1. 向量间的线性运算：加法、数乘。向量间的线性运算：加法、数乘。把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法和数乘。和数乘。注意注意: (1)同维向量做加减。同维向量做加减。 (2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。2. 线性组合、线性表示
2、线性组合、线性表示(1) 判断向量判断向量 可由向量组可由向量组 线性表示的常用方法线性表示的常用方法方法方法1：只要证出只要证出就可得出就可得出2方法方法2：证下列线性方程组有解证下列线性方程组有解其中其中方法方法3：利用矩阵的初等行变换利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵行最简形矩阵3(2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论在判断或证明中，常用到的两个重要结论结论结论1： 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示结论结论2： 若向量组若向量组线性无关，线性无关，而向量组而向量组线性相关，线性相关，则向量则向量 必能由向量组必能由向量组 线性表示，线性表示，且表示式唯一。且表示式唯一
3、。4(2) 利用常用结论：利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关个非零向量线性相关对应分量成比例对应分量成比例n1个个n维向量线性相关。维向量线性相关。部分相关部分相关 整体相关；整体无关整体相关；整体无关 部分无关。部分无关。3. 线性相关性的判别方法线性相关性的判别方法(1) 一般方法：设数一般方法：设数使得使得成立成立转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；原向量组相关，维数减
4、少后得到的新向量组依然相关。原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。5(3) 利用向量组的秩判断：利用向量组的秩判断：设向量组设向量组的秩为的秩为当当 时，时， 线性无关。线性无关。当当 时，时， 线性相关；线性相关；4. 极大无关组的选取或证明极大无关组的选取或证明(1) 初等变换法（最常用）初等变换法（最常用）将列向量组写成矩阵将列向量组写成矩阵初等行变换初等行变换行阶梯或行最简形矩阵行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，的一个极大无关组，例如：求向量组例如：求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。并把其余向量用该极大无关组线性表示。6解：解：是一个极大无关组是一个极大无关组并
5、且并且考虑：还有那些极大无关组？考虑：还有那些极大无关组？初等行变换初等行变换7(2) 极大无关组的证明极大无关组的证明方法方法1：利用定义利用定义线性无关；线性无关；其它向量都可由其它向量都可由线性表示。线性表示。（即向量组中任意（即向量组中任意r+1个向量都线性相关）个向量都线性相关）方法方法2：已知已知是向量组是向量组A的一个极大无关组，的一个极大无关组，又又A中部分组中部分组与与等价，等价，则则也是也是A的一个极大无关组。的一个极大无关组。例如：设例如：设是向量组是向量组A的极大无关组，且的极大无关组，且证明证明 也是也是A的极大无关组。的极大无关组。8证明证明：（希望证：（希望证 与
6、与 等价）等价）向量组向量组 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。又又向量组向量组 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。两个向量组等价两个向量组等价也是极大无关组。也是极大无关组。9二二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。初等变换后，看非零行的行数。三三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的两个重要定理：关于向量组的秩的两个重要定理：（1）若向量组）若向量组可以由向量组可以由向量组线性表示，则线性表示，则（2）若向量组）若向量组 可以由向量组可以由向量组线性表示，并且线性表示，并且线性无关，那
7、么线性无关，那么101. 向量组秩的不等式的证明向量组秩的不等式的证明例例1： 设向量组设向量组的秩为的秩为向量组向量组的秩为的秩为向量组向量组的秩为的秩为证明：证明：证证：（比较向量组秩的大小，通常从各自的极大无关组考虑）：（比较向量组秩的大小，通常从各自的极大无关组考虑）当当 或或 时，结论显然成立。时，结论显然成立。 当当时，不失一般性，时，不失一般性，设向量组设向量组A的极大无关组是的极大无关组是设向量组设向量组B的极大无关组是的极大无关组是设向量组设向量组B的极大无关组是的极大无关组是11显然显然可由可由线性表示，线性表示，又又线性无关，线性无关，又又可由可由线性表示，线性表示，而而
8、线性无关，线性无关，同理，同理，可由可由线性表示，线性表示，而而线性无关，线性无关，综上，有综上，有12有关矩阵秩的重要结论：有关矩阵秩的重要结论：(2) 设矩阵设矩阵若若则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵使得使得即矩阵即矩阵A可以经过初等变换化为可以经过初等变换化为 形式。形式。(3) 若若都可逆，则都可逆，则132. 矩阵秩的不等式的证明矩阵秩的不等式的证明例例2：证明：证明证证： （1）设设把它们用列向量组表示把它们用列向量组表示设设设设A的列向量组的极大无关组为的列向量组的极大无关组为则则设设则则设设A的列向量组的极大无关组为的列向量组的极大无关组为14则则可知可知中任一列向量都可由向量组中任一列向量都可由向量组线性表示，线性表示，又又综上，综上，153. 矩阵秩的等式的证明矩阵秩的等式的证明证证思路思路4. 用矩阵用矩阵k阶子式定义证明矩阵秩阶子式定义证明矩阵秩有有r阶子式不为阶子式不为0所有所有r+1阶子式全为阶子式全为016下列说法等价下列说法等价是可逆矩阵是可逆矩阵是满秩矩阵是满秩矩阵是非奇异矩阵是非奇异矩阵17
