4波形估计课件

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1、第四章 波形估计 裘正定裘正定北京交通大学信息科学研究所4_波形估计第四章第四章 波形估计波形估计波形估计概述4.1 4.1 线性变换与正交原理线性变换与正交原理4.2 4.2 平稳随机过程的估计平稳随机过程的估计 维纳滤波维纳滤波4.3 4.3 卡尔曼滤波卡尔曼滤波4_波形估计波形估计 概述 估计理论是根据受到噪声污染的观察数据来估计随机变估计理论是根据受到噪声污染的观察数据来估计随机变量或随机过程的数字运算。量或随机过程的数字运算。 从概率的观点：一个最佳估计可以使用一些有关的过程的统计信息；但实际中，通常只能得到少量的信息，所以限定线性最佳估计，采用最小方差准则，使均方误差最小，换句话说

2、，如果能利用更多统计信息，线性最小方差估计过程不一定给出最好的估计。因此，如果随机变量不是高斯分布（广义高斯分布）。则根据线性最小均方误差准则所求得的估计器是最佳线性线性估计器，但不一定是最佳的估计器。被估计变量是随机变量 称为参量（或参数）估计，又称为静估计；被估计量是随机过程 称为波形（或状态）估计，又称为动态估计。静估计静估计动态估计动态估计根据估计变量的类型区分：根据估计变量的类型区分：4_波形估计波形估计 概述波形估计与滤波波形估计与滤波 在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量(数量随机信号) 与随机矢量(矢量随机信号) 的估计问题。对这种估计，在通信工程中称为波形估计波形估

3、计，而在控制工程中则称为动态估计。动态估计。 所谓滤波，是指将噪声中信号尽可能地排除噪声干扰，而将有用信号分离出来因此，在波形估计与动态估计中，基于观测过程 或矢量观测过程 ，对 或 所作的最优估计。若 ，就是滤波滤波问题；若 ，称为预测预测问题；若 ，称为平滑平滑问题4_波形估计波形估计 概述维纳滤波维纳滤波 维纳滤波是在第二次世界大战期间，因为军事技术的需要由维纳提出的，以后在通信、控制等领域获得了广泛的应用，并且在应用中得到了发展但维纳滤波不能递推实时处理，也不适用于非平稳的滤波问题 若信号 或 及观测 或 是广义平稳的，已知其自相关函数或功率谱的知识，所用的最优估计准则为线性最小均方误

4、差估计准则，则基于观测过程 或 ，对 或 所作的最优估计，称为维纳滤波维纳滤波。4_波形估计波形估计 概述卡尔曼滤波卡尔曼滤波 从本世纪四十年代开始已经有人用状态变量模型来研究随机过程，到六十年代初由于空间技术的发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，由卡尔曼提出的，故称为卡尔曼滤波。 此后卡尔曼与布西一起将其推广到一般的连续随机过程卡尔曼滤波一出现，就受到人们的很大重视，现已成功地应用到许多领域，并在实践中不断丰富和完善 若巳知信号的动态模型与测量方程，则基于矢量观测过程 与初始条件，按线性无偏最小方差递推估计准则对状态 所作的最优估计，称为卡尔曼滤波。卡尔曼滤波。4_波形估计

5、4.1 线性变换与正交原理4.1.1 线性变换4.1.2 正交性原理4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.1 线性变换线性变换 设估计 是观察信号 的线性变换（即通过一个线性系统），则定义均方差 最小均方误差下的线性变换最小均方误差下的线性变换 线性最优滤波线性最优滤波4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理线性最优滤波器如下图所示：线性最优滤波器如下图所示：输入线性系统输出+估计误差-期望响应 线性最优代价函数 最小 MMSE4_波形估计输入线性系统输出+估计误差-期望响应4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理 由上图，有（4.2）

6、（4.1） 4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理设 ，梯度算子 于是有 ， 意味着 （4.3） 即（4.4）正交性原理正交性原理 要使估计的均方差最小，滤波器的参数估计应使输出误输出误差向量与观察向量正交差向量与观察向量正交4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理同时有（4.5）即 正交性原理正交性原理推论推论 要使估计的均方差最小，滤波器的参数估计应使期望期望输出的估计值与输出误差正交输出的估计值与输出误差正交正交性原理及其推论正交性原理及其推论线性最优滤波的最重要定理之一线性最优滤波的最重要定理之一4_波形估计4.1 线性变换

7、与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理正交性原理正交性原理及其推论及其推论 的几何意义如下图所示的几何意义如下图所示 （4.5）令理想输出 期望估计输出 上面的讨论的最优均方误差为线性估计4_波形估计根据观察数据1）正交数据，）正交数据，2）线性无关数据，）线性无关数据， 3）一般任意数据，）一般任意数据， 讨论Y的最小均方估计。4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理1)1)正交数据正交数据 4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理 取等号，即误差最小的条件时 在 上的投影 4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性

8、原理 即e与正交数据观察向量正交只有 其余为0 2) 2) 线性无关数据线性无关数据线性无关，当且仅当所有 时， 可用Gram-Schmidt正交化； 4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理 第 s 步 第 s+1 步 直到 N 步 此时， 观察数据变为 归一正交系4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理 据正交投影定理，可得的线性最小均方方差估计为2) 2) 一般任意数据一般任意数据若 是任意的，但可知 则由Gram-Schmidt正交化4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理 由归一化条件 求得 由

9、 ， 可求得 依次类推，求出4_波形估计4.1 线性变换与正交原理4.1.2 正交性原理正交性原理 即 称归一正交基 为 的新息新息矩阵B白化白化滤滤波器波器矩阵A新息新息滤滤波器波器 还原新息原数据原数据 相当于白噪声4_波形估计4.2 平稳随机过程的估计 维纳滤波4.2.1 非因果维纳滤波4.2.2 因果维纳滤波4.2.3 离散非因果维纳滤波4.2.4 离散因果维纳滤波4_波形估计4.2 平稳随机过程的估计 维纳滤波章节概述章节概述观察波形，均为平稳随机过程 ，观察区间 ， 设计一线性滤波器 输出估计值 均方意义下最小。由正交原理知，对所有的 应有4_波形估计4.2 平稳随机过程的估计 维

10、纳滤波章节概述章节概述即过程平稳，在滤波器为时不变情况下，上式为：4_波形估计4.2.1 非因果维纳滤波非因果维纳滤波非因果维纳滤波 WinerHopf方程。（WH）两边取Fourier变换，得：4_波形估计4.2.1 非因果维纳滤波最小均方误差为：（*）4_波形估计4.2.1 非因果维纳滤波由（由（*）式）式由于： 则有： 及于是有： 4_波形估计4.2.1 非因果维纳滤波若 与 互不重迭，则 它们之积必为0 于是I = 0 最小均方误差为0这个式子物理意义物理意义是： 噪声越强越大， 越小，达到抑制噪声，反之噪声越小，H(w)越大，复现信号越大4_波形估计4.2.2 因果维纳滤波因果维纳滤

11、波因果维纳滤波限制t0时，h(t)=0。此时：由正交投影定理，有：于是 令 则上式为：4_波形估计4.2.2 因果维纳滤波因为积分限不满足条件，不能直接进行傅立叶变换。维纳和霍普提出用补足积分限的方法求解，即设加到W-H方程（）就有再做傅立叶变换，得：由谱分解定理，有： 4_波形估计4.2.2 因果维纳滤波分别在右半平面和左半平面解析，因而有：第一项在右半平面解析。H（s）可物理实现，则 广义平稳条件的线性时不变因果维纳滤波器。广义平稳条件的线性时不变因果维纳滤波器。注注：估值均方误差为：4_波形估计4.2.2 因果维纳滤波*因果维纳滤波器的另一种导出因果维纳滤波器的另一种导出白化滤波i(t)

12、新息新息滤波 白噪声所以， 即 由因果性知： 4_波形估计4.2.2 因果维纳滤波 于是W-H方程化为： 又因为： 对式，做傅立叶变换：4_波形估计4.2.2 因果维纳滤波 要求 为物理可实现。所以，且 ，4_波形估计4.2.3 离散非因果维纳滤波离散非因果维纳滤波离散非因果维纳滤波两边取z变换均方误差 4_波形估计4.2.4 离散因果维纳滤波离散因果维纳滤波离散因果维纳滤波4_波形估计4.2.4 离散因果维纳滤波4_波形估计4.2.4 离散因果维纳滤波，试设计一个IIR的wiener滤波器来估计解：信号 的功率谱 4_波形估计4.2.4 离散因果维纳滤波互相关谱 4_波形估计4.2.4 离散

13、因果维纳滤波4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.1 卡尔曼滤波问题4.3.2 新息过程4.3.3 滤波算法4.3.4 实例：基于卡尔曼 滤波的角速度估计4_波形估计4.3 卡尔曼滤波维纳滤波为期望响应已知存在的情况下的线性最优滤波。 若期望响应未知 ，如何进行线性最优滤波？卡尔曼提出的解决方法 ：卡尔曼滤波器其特点是： 1） 引入了状态空间描述引入了状态空间描述 2） 递推估计递推估计最重要是引入了一种卡尔曼新息替代观察数据进行滤波预测4_波形估计4.3 卡尔曼滤波1 ) 过程方程4.3.1 卡尔曼滤波问题卡尔曼滤波问题 (4.3.1)2 ) 观测方程(4.3.2)(4.3.3)状态转移矩阵

14、状态转移矩阵过程噪声过程噪声4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.1 卡尔曼滤波问题卡尔曼滤波问题(4.3.4)(4.3.5)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.2 新息过程新息过程(4.3.6)即由一步预测1） 新息过程的定义和性质新息过程的定义和性质定义：(4.3.7) 向量 表示观测数据 的新的信息.4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.2 新息过程新息过程 1) (4.3.8) 2) (4.3.9)3) 与 一一对应 (4.3.10)即n 时刻的新息 是具有白噪声的能提供 的新信息. 性质：由正交原理得到由正交原理得到4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.2 新息过程新息过程 2 )

15、 新息过程的计算(4.3.11)状态变量的一步预测：(4.3.12)再得到(4.3.13)代入（4.3.7） (4.3.14)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.2 新息过程新息过程定义 (4.3.15) (4.3.17)则有： (4.3.16)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法(4.3.18)1) 状态向量的一步预测 由(4.3.18)和正交性原理4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法 可求得：(4.3.19)代入(4.3.18)则(4.3.20)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法(4.3.21) 代入4.3.20第一项(

16、4.3.22)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法定义(4.3.23)(4.3.20) 使成立(4.3.24)确定自适应4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法2）kalman 增益计算增益计算4.3.23 中(4.3.25)于是有(4.3.26)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法3）Riccit 方程方程由 (4.3.27)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法这里用了 互不相关得(4.3.28) 状态向量的一步预测误差向量相关矩阵为：(4.3.29)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法

17、将4.3.29展开由(4.3.17) 和(4.3.26)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法可得 (4.3.30)则：和4.3.29展开式中的第二项 第四项相消 于是有，Ricccati 差分方程差分方程 （4.3.30）4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法实际上，可以证明 为状态误差向量的相关矩阵.(4.3.31)4）归纳起来，可得： 卡尔曼滤波算法：初始：输入观测向量序列 4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.3 滤波算法滤波算法已知参数 ，观测矩阵C(n) ，过程噪声相关矩阵 一步预测：由（由（4.3.26）与（）与（4.3.17） 4_波形估

18、计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计航天器姿态角速度瞬时估计航天器姿态角速度瞬时估计其角度方程一阶近似表示如下角速度方程加速度方程4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计设状态向量上面的一阶近似方程均可表示为状态方程(4.3.32) A x(n)=Fx(n-1)+u(n)+w(n) (4.3.33)与前面的状态方程相比多了 u(n)状态转移矩阵 (4.3.34)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计（4.3.35）

19、 （4.3.36） 噪声相关矩阵（4.3.37） B 观察方程（4.3.38） 观察矩阵 为白噪声 方差 4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计由状态方程式(4.3.33)和观察方程（4.3.38）分别得到状态向量的两个估计子 （4.3.39） （4.3.40） 通过线形组合构成一个统一估计（4.3.41） 4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计求最小均方差准则下的最优加权矩阵A（ n ）令A（ n ）=m(n) （4.3.42）代入 4.3.41有（4.3.43）

20、有恒等式（4.3.44） 4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计（4.3.44）-（4.3.43）得有估计误差的相关矩阵（4.3.45） 4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计其中 是第一个估计子误差 是第二个估计子误差 得 （4.3.46） 令其为0得（4.3.47） 代入（4.3.45）得（4.3.48） 4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计由(4.3.39)(4.3.49)于是有算法步骤初始条件 姿态角观察值 系统噪声 4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计观察噪声 观察矩阵 状态转移矩阵 计算n=1,2,3.(4.3.49)(4.3.47)4_波形估计4.3 卡尔曼滤波4.3.4实例实例 基于卡尔曼滤波的角速度估计基于卡尔曼滤波的角速度估计 （4.3.48） （4.3.39） 姿态角（4.3.38） x(n)中第二个分量是角速度4_波形估计