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1、第六章第六章 平面电磁波平面电磁波2024/7/301 6-1 6-1 无耗媒质中的均匀平面电磁波无耗媒质中的均匀平面电磁波 1 1按场矢量方向与传播方向划分波的类型按场矢量方向与传播方向划分波的类型一、电磁波的类型一、电磁波的类型横电磁波横电磁波: :电磁波的电场矢量和磁场矢量都在与传播方向垂直的电磁波的电场矢量和磁场矢量都在与传播方向垂直的横截面之内，记作横截面之内，记作TEM波。电场矢量、磁场矢量和传播方向互相垂直呈右手螺旋关系。电场矢量、磁场矢量和传播方向互相垂直呈右手螺旋关系。 2024/7/302 横电波横电波: :电场矢量在垂直于电磁波传播方向的横截面之内，磁场矢量存在着沿传播方
2、向的纵向分量，记作TE波；或称为磁波，也记作H波。 横磁波：横磁波：磁场矢量在电磁波传播方向的横截面之内，电场矢量存在着沿传播方向的纵向分量，记作TM波；或称为电波，也记作E波。 2024/7/303 2按等相位面的形状划分电磁波的类型按等相位面的形状划分电磁波的类型等相位面：具有相同场分量相位角的曲面。等相位面：具有相同场分量相位角的曲面。平面电磁波：平面电磁波：球面电磁波：球面电磁波：柱面电磁波：等相位面是圆柱面。柱面电磁波：等相位面是圆柱面。电磁波等相位面是平面。例如电磁波等相位面是平面。例如:等相位面是球面的电磁波。例如等相位面是球面的电磁波。例如: :在平面等相位面上场分量的振幅处处
3、相同。在平面等相位面上场分量的振幅处处相同。均匀平面电磁波均匀平面电磁波: :2024/7/304二、无耗媒质中均匀平面电磁波的电气特性二、无耗媒质中均匀平面电磁波的电气特性1齐次波动方程齐次波动方程在无源的区域内，瞬时形式的齐次波动方程为（在无源的区域内，瞬时形式的齐次波动方程为（p79p79）复数形式：复数形式：(6-1-4) 其中其中 称为波数或相位常数，代表电磁波沿传播方向称为波数或相位常数，代表电磁波沿传播方向单位长度上改变的相位角。单位长度上改变的相位角。 (6-1-6) 2齐次波动方程的解：沿齐次波动方程的解：沿z z轴传播的均匀平面电磁波轴传播的均匀平面电磁波 假设电磁波的电场
4、矢量只有假设电磁波的电场矢量只有Ex分量，且仅是分量，且仅是z和和t的函数。的函数。(6-1-9) 2024/7/305这是一个二阶常微分方程，其特征方程为：这是一个二阶常微分方程，其特征方程为：电场强度矢量电场强度矢量E E 的齐次波动方程就简化为的齐次波动方程就简化为 哈密顿算子哈密顿算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子2024/7/306A1和和A2是由边界条件确定的常数。先来分析第是由边界条件确定的常数。先来分析第1个特解。个特解。 通过麦克斯韦方程，可求得与电场相伴的磁场强度矢量通过麦克斯韦方程，可求得与电场相伴的磁场强度矢量 (6-1-12) 方程的通解由两个特解所构成方程的通解由两个特解
5、所构成(6-1-13) (6-1-14) (6-1-11) 2024/7/307定义： 具有阻抗量纲，称为电磁波波阻抗或本征阻抗。具有阻抗量纲，称为电磁波波阻抗或本征阻抗。( (更正更正6-1-15) )(6-1-15) 设A1为实数，其电场和磁场瞬时值为：(6-1-16) 3.3.无耗媒质中均匀平面电磁波的电气特性无耗媒质中均匀平面电磁波的电气特性若若A1为复数，有：为复数，有： A1=|A1|ej2024/7/308讨论：讨论： (1) 与 互相垂直，都在传播方向的横截面之内，且电场 ，磁场 和波印亭矢量 三者呈右手螺旋关系。 (2)给定观察点，电场和磁场随时间作简谐振动，周期为： (6-
6、1-17) (3)给定时间，电场和磁场随位置作简谐振动，周期为： 则：则：2024/7/3092024/7/3010 -可得： 相位常数相位常数k k : :表征电磁波的相位改变的快慢。电磁波的波长：电磁波的波长：相位变化了2 时，电磁波传播的距离。 (6-1-16) 固定时间，考虑相位随位置的变化：2024/7/3011 行波：随时间推移，波形匀速往前移动。曲线上各等相位点随行波：随时间推移，波形匀速往前移动。曲线上各等相位点随t 增加向前移动。各个位置上的振幅不变。增加向前移动。各个位置上的振幅不变。 2024/7/3012 观察 t1 = 0 时刻固定在行波电场波形上的动态特定点P (6
7、-1-20) t2=T/4时刻，点P 的位置是z2=/4，该处电场强度的瞬时值为 (6-1-21) 可以看出，动态点P 处场强大小保持不变，亦即相位角保持不变结论：结论：具有相位 的电磁波向正z方向传播。(a)(b)(c)(d)Hy2024/7/3013 均匀平面电磁波相速：均匀平面电磁波相速：可得： (6-1-25) (6-1-11)显然，第2项特解代表沿z 方向传播的均匀平面电磁波 均匀平面电磁波动态等相位面的运动速度。 回顾p5的（6-1-11）式： (6-1-26) 2024/7/3014 瞬时波印亭矢量和复数波印亭矢量分别为：总结：负号说明均匀平面波的波印亭矢量方向与波的传播方向一总
8、结：负号说明均匀平面波的波印亭矢量方向与波的传播方向一致。具有相位致。具有相位 的电磁波向负的电磁波向负z z方向传播。方向传播。 3沿任意方向传播的均匀平面电磁波沿任意方向传播的均匀平面电磁波 向z轴传播的均匀平面电磁波，可写成： 均匀平面电磁波的等相位面。 2024/7/3015沿任意方向传播的单位矢量可表示为：2024/7/3016 电场方向单位矢量为 ，沿 方向传播的电场可写成：(6-1-30) 下面的工作求磁场。需要利用矢量公式如下：下面的工作求磁场。需要利用矢量公式如下：(6-1-32) 同理可求得：同理可求得：(6-1-31) 2024/7/3017例例6-1-1 6-1-1 如
9、图6-1-5所示，在自由空间中，均匀平面电磁波电场强度 的极化方向为 、振幅为A(实数)、传播方向为 。试写出电场强度 和磁感应强度 的表达式。 解： 2024/7/3018例例6-1-2 6-1-2 电场为 ，E0是实数。问这是什么类型电磁波？确定它的波长和传播方向，求出磁场强度矢量表达式。 解： 等相位面方程 0.6y 0.8z = C 该波是均匀平面电磁波。 k0cos = 0，k0cos = 0.6，k0cos = 0.8 沿任意方向传播的电场为： 由 cos2 + cos2 + cos2 = 1的关系可知： k0=1电磁波传播方向为：比较得：2024/7/30194无限大理想介质与自
10、由空间的参数关系无限大理想介质与自由空间的参数关系 理想介质：理想介质： = 0， = 0r， = 0r 理想介质与自由空间的电磁波参数关系为 (6-1-33) 2024/7/3020非铁磁媒质的相对磁导率r 1，上面各式可以简化为 (6-1-34) 作业：，作业：，2024/7/30216-2 6-2 电磁波的极化电磁波的极化一、极化的概念一、极化的概念 极化方向极化方向: :电场强度矢量的方向或磁场强度矢量的方向。往往把电场强度的方向作为电磁波的极化方向。 电磁波极化是通过电场矢量的末端端点随时间变化时在空间的轨迹来描述的。电磁波电场总可以分解成互相垂直的两个线极化分量: 合成场的大小和方
11、向随时间会发生什么样的变化？ 假设观察点位置为z = n，则 (6-2-1) (6-2-2) 2024/7/3022二、椭圆极化波二、椭圆极化波合成波电场强度的大小为可以证明有三种极化波：可以证明有三种极化波：椭圆极化波椭圆极化波圆极化波圆极化波线极化波线极化波任意瞬间合成电场强度极化方向与正x 轴夹角 的正切为Ex = Acos( t)，Ey = Bcos( t + ) (6-2-3) (6-2-4) (6-2-5) 2024/7/3023 合成波电场强度的大小及方向都是时间t的周期函数,即 经一个周期T合成电场末端在z = n平面描绘了一条闭合曲线。(6-2-6) 这条闭合曲线为什么是椭圆
12、呢？2024/7/3024把式(6-2-3)改写为 Ex = Acos( t)，Ey = Bcos( t + ) (6-2-3) (6-2-7) 2024/7/3025把上面两式相加，化简可得： 若 0和180，把Ex和Ey分别看成是直角坐标系的x和y坐标变量，则上式代表一个椭圆方程，说明合成波电场的末端描绘的轨迹是椭圆。若 = 90，合成波的末端描述的轨迹就是一个正椭圆，即可以证明，与电场对应的合成波磁场的末端轨迹也是一个椭圆。 (6-2-10) (6-2-12) 2024/7/3026考察合成波电场与x轴的夹角 随t的变化:(6-2-5) 两边对时间t 求导，得合成场瞬时角速度： 整理可得
13、：(6-2-13) 分析：分析： 0 180，Ey相角超前于Ex相角，则合成电场与x轴夹角 随时间变小，方向由相角超前的Ey分量转向相角落后的Ex分量； 180 1 (1) 衰减常数、相位常数、波阻抗、相速、波长和穿透深度 所以海水为良导体2024/7/3049(2) 电场的振幅衰减到是海水表面振幅1%的深度 e z = 0.01 e z = 100 (3) 距离海平面z=0.8m深度处的瞬时电场和磁场表达式 由(6-3-15)式 2024/7/3050电磁波在海水中衰减得特别快。所以即使在频率较低的情况下，潜艇的水下远距离无线电通信仍然是极其困难的。2024/7/3051解：（1）显然牛排为
14、不良导体，穿透深度根据(6-3-23)式计算： 例例6-3-2 6-3-2 微波炉利用磁控管输出的2.45GHz的微波加热食品。在该频率上牛排的等效介电常数为 ， 。求（1）微波进入牛排的穿透深度。在牛排内8mm处的微波场强是表面处的百分之几？（2）微波炉中放牛排的盘子是用发泡聚苯乙烯制成的，其等效介电常数和损耗角正切为 ， 说明为何用微波加热时牛排被烧熟而盘子却没有烧毁。 2024/7/3052 说明微波能对食品内部进行加热，此外分布在三维空间中，所以加热均匀。 （2）发泡聚苯乙烯是低耗媒质，穿透深度由(6-3-26)式计算： 说明穿透深度很大，微波在其中的传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。
15、 2024/7/30536-4 6-4 群群 速速 相速：单一频率平面波等相位面的传播速度。相速：单一频率平面波等相位面的传播速度。 (6-3-24) 无耗媒质中，电磁波相速仅取决于媒质参数和；有耗媒质中电磁波相速取决于媒质参数、。 任何载有信息的电磁波均由频率相近的许多单频率波组成，即是“群”频信号。群速：由许多频率的波组成的信号包络传播的速度，是信息群速：由许多频率的波组成的信号包络传播的速度，是信息（即电磁波能量）的运动速度。（即电磁波能量）的运动速度。 相速仅代表相位变化的速度，不表示信息或能量的传播速度，它可以大于光速。讨论：讨论：2024/7/3054最简单的情况，两个频率波组成的
16、信号。振幅相同，角频率分别为 和 ，相位常数分别为 和 。 这是一个调幅波,第1个因子为包络；第2个因子为载波。载波等相位面运动速度是调幅波的相速，包络运动速度是群速。 相速为(6-4-4) 求该调幅波的群速： (6-4-6) 2024/7/3055根据群速与相速的关系，可将色散分类： 无色散：无色散： ，如无耗媒质；，如无耗媒质； 反常色散：反常色散： ，如有耗媒质；，如有耗媒质； 正常色散：正常色散： ，如波导传输线。，如波导传输线。 作业：作业：6-46-42024/7/30566-5 6-5 分界平面上的垂直入射波分界平面上的垂直入射波 一、垂直入射的概念 (a) 平行入射面极化 (b
17、) 垂直入射面极化 2024/7/3057垂直入射：垂直入射：均匀平面电磁波的传播方向与分界平面垂直。垂直入射情况下进入第2种媒质的电磁波习惯上多称为传输波。 反射面反射面: :分界面xoy平面；入射面入射面: :包含电磁波射线的的zox平面。 平行入射面极化平行入射面极化:电场强度矢量E只有平行于入射面分量E;垂直入射面极化垂直入射面极化:电场强度矢量E只有垂直于入射面分量E。 二、理想导体平面上的垂直入射波二、理想导体平面上的垂直入射波 z 0， 2 。理想导体内电场、磁场为零，因而电磁波被导体全反射。 1.平行入射面极化的垂直入射波 (6-5-1) 2024/7/3058反射面是无限大理
18、想导体平面，反射波沿-Z方向传播,可表示为： (6-5-2) 理想介质一侧合成波的电场强度矢量为 根据电场强度矢量切向分量连续的边界条件，有 Ar = Ai (6-5-6) 代入反射波电磁场表达式可得 2024/7/3059 分界面介质一侧的合成波电场和磁场强度矢量 入、反射波都是行波，有入、反射波都是行波，有cos( t kz)或或ej( t kz)的相位因子的相位因子;入、入、反射波叠加形成驻波，振幅为坐标变量的正、余弦函数。反射波叠加形成驻波，振幅为坐标变量的正、余弦函数。纯驻波：振幅相同的入、反射波的合成波；波腹处振幅是入纯驻波：振幅相同的入、反射波的合成波；波腹处振幅是入射波亦即反射
19、波振幅的射波亦即反射波振幅的2倍；而波节处的振幅为零。倍；而波节处的振幅为零。z为为 0.5 整数倍的平面，是合成波电场波节、磁场的波腹；整数倍的平面，是合成波电场波节、磁场的波腹；z为为 0.25 奇数倍的平面，奇数倍的平面，是合成波电场的波腹、磁场的波节。是合成波电场的波腹、磁场的波节。合成波磁场与电场之间存在着合成波磁场与电场之间存在着90 相位差。相位差。 2024/7/30602. 垂直入射面极化的垂直入射波 容易求得其反射波为 分界面介质一侧的合成波电场和磁场强度矢量 一般情况下，电场可能既有垂直入射面极化又有平行入射面极化分量。 2024/7/3061 三、两种不同介质分界平面上
20、的垂直入射波 (a) 平行入射面极化 (b) 垂直入射面极化 分界面两侧介质参数分别为1 ，1 ，10；2 ，2，2=0。 以平行入射面极化为例，设电场只有Ex分量 (6-5-14) 2024/7/3062(6-5-14) 反射波 (6-5-15) 第2种介质中传输波(折射波)的极化方向与入射波相同 (6-5-16) 边界条件: 可得： 2024/7/3063由此可得： (6-5-17) 反射波、传输波复振幅与入射波复振幅的相互关系: (6-5-18) 电场反射系数: (6-5-19) 电场传输系数: (6-5-20) 对于非铁磁的理想介质，r1，媒质的波阻抗为 2024/7/3064 如果分
21、界面两侧都是非铁磁的理想介质，则有 (6-5-22) 讨论： 传输系数T总是正的，即z= 0平面上传输波与入射波电场同相。 媒质1为光疏媒质，媒质2为光密媒质（即12）时，反射系数R0，传输系数0 T2(亦即1 0，传输系数1 T 2的情形 (b) 1 0区域为理想导体，均匀平面电磁波在分界面上发生全反射。 2024/7/3072 1 1垂直入射面极化的情形垂直入射面极化的情形 由边界条件，合成波电场在理想导体表面上切向分量为零。 由此可得 A r = A i 和 r = i (6-6-9) 2024/7/3073 由此可求得反射波为 合成波的电场和磁场强度矢量为 讨论：讨论： x=常数的平面
22、是等相位面，因此合成波是平面电磁波；常数的平面是等相位面，因此合成波是平面电磁波；合成波的传播方向是合成波的传播方向是x方向；方向； （6-6-136-6-13）2024/7/3074注：注：k，vp和和 分别是分别是入、反射波的相位常入、反射波的相位常数、相速和波长。数、相速和波长。 合成波不是均匀平面电磁波；例例6-6-1有一圆频率为 的垂直入射面极化的均匀平面电磁波从空气中以入射角i 投射到非常大的理想导体平板上，试求板上的感应电流分布和空气中的平均波印亭矢量。 合成波是横电波（或磁波），记作TE（或H）波；沿z方向， Ey、Hx和Hz呈纯驻波状态。沿x方向，Ey、Hx和Hz呈行波分布。
23、相位常数、相速和波长为2024/7/3075解：由（解：由（6-6-136-6-13）式）式 2024/7/30762平行入射面极化的情形平行入射面极化的情形 2024/7/3077反射波磁场Hr的方向应沿y轴方向，即 在理想导体表面上，合成波电场切向分量为零，即 由此可得：Ar = Ai， r = i 2024/7/3078讨论： x=常数的平面是等相位面，因此合成波仍是平面电磁波；常数的平面是等相位面，因此合成波仍是平面电磁波；合成波的传播方向是x方向；合成波不是均匀平面电磁波；合成波是横磁波（或叫电波），记作TM（或E）波；沿z方向各分量均呈纯驻波；沿x方向各分量呈行波分布；注：注：理想
24、导体平面上垂直入射是斜入射在入射角i=0 的特例。三、介质平面上的斜入射波三、介质平面上的斜入射波 1 1垂直入射面极化的情形垂直入射面极化的情形 2024/7/3079斜入射波的电场强度矢量和磁场强度矢量分别为 反射波电场强度矢量和磁场强度矢量分别为 折射波电场强度矢量和磁场强度矢量分别为 (6-6-26) (6-6-27) (6-6-28) 根据边界条件来确定Ar，At，r 和 t 共4个未知量。 2024/7/3080由边界条件： 可得： i是任意的，所以上式成立的必要条件是复数量指数相等 (6-6-31) 反射角等于入射角反射角等于入射角 (6-6-32) 折射角与入射角关系折射角与入
25、射角关系 (6-6-33) 斯耐尔折射定律：斯耐尔折射定律： 定义介质的折射率：介质的折射率： 非铁磁媒质相对磁导率为非铁磁媒质相对磁导率为 r 1 1，则，则 (6-6-34) (6-6-35) (6-6-36) 显然有：显然有：2024/7/3081由边界条件知道两侧磁场强度切向分量连续，则 i任意，上式成立的必要条件是复数量指数相等，因此有 与联立求得反射系数和折射系数与联立求得反射系数和折射系数(6-6-39) (6-6-40) 2024/7/3082可以证明存在一个无反射的入射角，叫布鲁斯特角BN，它满足： (6-6-43) （见explain2.doc） 对于非铁磁媒质，120 ，
26、等号右边变成无限大，因此不存在布鲁斯特角BN 。可见，对于垂直入射面极化的情形，两种媒质对于垂直入射面极化的情形，两种媒质有一种为铁磁媒质时，才可能存在无反射现象（有一种为铁磁媒质时，才可能存在无反射现象（布鲁斯特角）布鲁斯特角）。 2 2平行入射面极化的情形平行入射面极化的情形 (6-6-45) ，2024/7/3083反射波磁场强度矢量和电场强度矢量 折射波磁场强度矢量和电场强度矢量 根据电磁场的边界条件有 (6-6-49) 2024/7/3084可得： 平行入射面极化状态的反射系数与折射系数为 (6-6-49) 显然满足斯耐尔折射和反射定律。显然满足斯耐尔折射和反射定律。2024/7/3
27、085可以证明无反射时的入射角（布鲁斯特角BP）满足： 对于非铁磁媒质，120，布鲁斯特角表达式简化为 入射角 i0时，折射角 t0，垂直入射是斜入射的特例。分界面两侧为导电媒质时，反射系数R和折射系数T也为复数。分界面一侧为理想导体，反射系数R = 1，折射系数T = 0，可见理想导体表面的斜入射也是任意媒质分界面斜入射的特例。 总结总结: :2024/7/30866-7 6-7 全反射全反射 斯耐尔折射定律： n1sin i = n2sint 对非铁磁媒质，120，可写成 波从光密进入光疏媒质，即从光密进入光疏媒质，即12，则 若光密媒质中入射角满足： 则有 t = 90 说明折射波沿着分
28、界面传播，此时的入射角i称为临界角c；如果进一步增大入射角，使 i c，即： 2024/7/3087此时不再有折射波产生，入射波被完全此时不再有折射波产生，入射波被完全反射。显然有：反射。显然有：说明折射角说明折射角 t没有实数解。没有实数解。 以垂直入射面极化(6-6-28)为例，2024/7/3088 折射波变成沿z方向衰减的波讨论：讨论： 从衰减因子看，振幅沿z方向衰减；电磁波工作波长越小(频率越高)，衰减常数 越大，说明越深入光疏媒质，波振幅越小，表明电磁能量集中在分界面附近，这样的波称为表面波。表面波。 从相位因子ejx看，是沿x方向传输的波；表面波相位常数大于光疏媒质中横电磁波相位
29、常数k2。光疏媒质中正常折射波相速为,光疏媒质中沿分界面传播的表面波相速为，光疏媒质表面波相速小于横电磁波相速。因此，这种表面波是一种慢波。 2024/7/3089在光疏媒质中放一个光密媒质介质棒，当电磁波在介质棒中以大于临界角c的入射角i由光密媒质向光疏媒质斜入射时，电磁波将在介质棒中来回反射，沿介质棒的轴线方向传播。 棒外电磁波以表面波方式传播，振幅沿径向按指数规律衰减。这样的介质棒叫介质波导。表面波沿径向的衰减常数与电磁波圆频率成正比，介质波导适合应用在较高的工作频率上。实践中介质波导主要应用在毫米波和亚毫米波(303000GHz)。现代技术已把介质波导用到光波波段，这样的介质波导就是光导纤维，简称光纤，又称为光缆。 2024/7/3090解：解：端面处入射角2i ，折射角1t；波在棒内来回反射入射角和反射角为1i。显然1i角1t角互为余角。棒内发生全反射时，有 由斯耐尔折射定律 例例6-7-1 6-7-1 空气中一根纤维或介质棒在全反射条件下引导光或电磁波。要求波从一端无论以何角度入射，都能使电磁波在棒内全反射传到另一端，求介质棒相对介电常数的最小值？ 因此有 2024/7/3091作业：作业：6-166-16，6-176-172024/7/3092
