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1、一、微分的定义一、微分的定义二、微分的基本公式二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则三、微分的四则运算法则四、微分形式的不变性四、微分形式的不变性五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用微分及其运算微分及其运算1一、微分的定义当正方形的边长从 变到 时，相应的面积增量 .函数增量 分成两部分，一部分是 的线性部分 ，一部分是关于 的高阶无穷小 2当立方体的边长从 变到 时，相应的体积增量函数增量 分成两部分，一部分是 的线性部分 一部分是关于 的高阶无穷小3定义 设y=f(x)在点 的某邻域内有定义， 属于该邻域.若 其中A与 无关，而 是关于 的高阶无穷小，则称y=f(x)在
2、可微，而 称为y=f(x)在点 处的微分，记为4定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且有 .由于 ，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点 处的切线的纵坐标的增量.5二、微分的基本公式微分的基本公式：67三、微分的四则运算法则定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 , u , v可微，且有证8定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 ，则 可微,且有 .证9例1 设解10例2 设y=x tan xsin x，求dy.解注意，当然也可以直接用公式 求微分.11例3 设解12四、微分形式的不变性设y=f(u),u=g(x)都可微，则复合函数y=f(g(x)也可微，此时有 可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有 ，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.13例4 设解如果不引入中间变量u，则可14例5 设解当然，也可以直接用公式 来求微分，即求出 后再乘以dx得到dy.15五、微分在近似计算中的应用设y=f(x)在 可导，当自变量从 变到x(即取得增量 )，则有当x很接近 时，即 很小时，就有近似公式即当 容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算 附近点的函数值.16例6解17
