《简谐振动、振动合成》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简谐振动、振动合成（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021/3/1112021/3/112前言：振动和波动是物理中的重要领域：前言：振动和波动是物理中的重要领域：一、简谐振动一、简谐振动振动振动: :一个物理量随时间作周期性变化一个物理量随时间作周期性变化简谐振动是最简单的振动简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动任何复杂的振动都是简谐振动的线性迭加。都是简谐振动的线性迭加。定义：定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或物体运动时，离开平衡位置的位移（或角位移）随时间角位移）随时间t t按余弦（或正弦）规律变化，按余弦（或正弦）规律变化，这类运动称简谐振动。这类运动称简谐振动。2021/3/113速度与加速度也都是周期变化的。速度与加速度也都
2、是周期变化的。二、简谐振动的速度、加速度二、简谐振动的速度、加速度2021/3/1141、振幅、振幅A物体离开平衡位置的最大距离。物体离开平衡位置的最大距离。2、周期、周期T单位：单位：米，米，m物体完成一次全振动所用的时间。物体完成一次全振动所用的时间。 单位：单位：秒，秒，s频率频率v1秒内物体完成全振动的次数。秒内物体完成全振动的次数。单位：单位：赫兹，赫兹，Hz或曰或曰, ,物体的运动状态完全重复一次所用的时间。物体的运动状态完全重复一次所用的时间。三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位2021/3/1153、圆频率、圆频率每隔周期每隔周期T物体的
3、运动状态复原物体的运动状态复原:2 秒内的振秒内的振动次数动次数 (单位单位：1/S或或rad./S)2021/3/1164、相位与初相、相位与初相( t + )是是t 时刻的时刻的相位相位t时刻的相位反映时刻的相位反映t时刻的振动状态时刻的振动状态由由x =Acos( t + ) t +t + 0 0 /2/2 3 3 /2/2 2 2 x x( (t t) ) A A 0 0- -A A 0 0 A A ( (t t) ) 0 0- - A A 0 0 A A 0 0 a a( (t t) )- - 2 2A A 0 0 2 2A A 0 0- - 2 2A A2021/3/117初相初相
4、(initialphase)是是t=0时刻的相位时刻的相位(t =0称称时间零点时间零点，是开始计时的时刻，不，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻一定是开始运动的时刻)反映反映t =0时刻的振动状态时刻的振动状态(x0， 0)要熟记典型要熟记典型 值所对应的振动情况和振动值所对应的振动情况和振动曲线曲线(如图如图)2021/3/118oA-Atx =0T(a)Ax0=AxmooA-Atx = /2x0=0T(b)xmoxoA-At = xmo-Ax0=-AT(c)oA-At = 3 /2(或或 - /2)Txx0=0xmo(d) 0 0 /2/2 3 3 /2/2 2 2 x x0 0
5、A A 0 0 - -A A 0 0 A A 0 0 0 0- - A A 0 0 A A 0 0弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线2021/3/1195、振幅与初相的确定、振幅与初相的确定初始条件：初始条件：/有有2+(/)2有有2021/3/1110五、相位差五、相位差相位差相位差-相位之差相位之差对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差 =( t + 2) - ( t + 1) = 2- 11.相位差和初相差相位差和初相差2.同相和反相同相和反相当当 = 2k ，(k =0,1,2,)，两振动步调，
6、两振动步调相同，称相同，称同相同相2021/3/1111当当 = (2k+1) ， ( k=0,1,2,)，两振动步两振动步调相反，称调相反，称反相反相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相反相xoA1-A1A2-A2x1x2Tt同相同相(a)两同相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线(b)两反相振动的振动曲线两反相振动的振动曲线2021/3/11123.领先和落后领先和落后若若 = 2- 1 0,则则x2比比x1较早达到正最大，称较早达到正最大，称x2比比x1领先领先(或或x1比比x2落后落后)领先、落后以领先、落后以 的相位角的相位角(或以或以T/2的时间间隔的时间间隔)来判断来判断xx2
7、ToA1-A1A2-A2x1t振动的领先与落后振动的领先与落后思考思考：在上：在上图图中，中，x1与与x2两两振振动谁领动谁领先先?2021/3/11131. .在平衡位置附近来回振动。在平衡位置附近来回振动。2.2.受回复力作用。受回复力作用。特点：特点：1. .弹簧质量不计。弹簧质量不计。2. .所有弹力都集中在弹簧上。所有弹力都集中在弹簧上。3. .质量集中于物体上。质量集中于物体上。4. .不计摩擦。不计摩擦。弹簧振子弹簧振子2021/3/1114振动位移：振动位移：从从 o 点指向物体所在位置的矢量。点指向物体所在位置的矢量。回复力：回复力：建立坐标系，建立坐标系，o点选在弹簧平衡位
8、置处。点选在弹簧平衡位置处。一维振动一维振动2021/3/1115令令有有简谐振动微分方程简谐振动微分方程其中其中A为振幅，为振幅，为圆频率，为圆频率，为初相位。为初相位。圆频率圆频率只与弹簧振子性质有关。只与弹簧振子性质有关。单位：单位：rad/s解微分方程解微分方程2021/3/11161. .圆频率圆频率2.2.周周 期期3.3.频频 率率2021/3/1117均是作简谐振动的物理量均是作简谐振动的物理量频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系相位差相位差超前超前落后落后2021/3/11182021/3/1119质量集中于小球上，不计悬线质量。质量集中于小球上，不计悬线质量。取逆时针为取逆
9、时针为 张角张角正向，以悬点为轴，正向，以悬点为轴，只有只有重力产生力矩重力产生力矩。“ ”“ ”表示力矩与表示力矩与 张角方向相反。张角方向相反。单摆单摆2021/3/1120当当时时2021/3/1121令令谐振动微分方程谐振动微分方程2021/3/1122周期周期频率频率与质量无关。与质量无关。圆频率圆频率2021/3/11232021/3/1124 简谐振动过程即有动能又有势能，简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交交替变化。替变化。一、谐振动的动能一、谐振动的动能2021/3/11252021/3/1126Ek 最大时，最大时， Ep最小，最小， Ek 、Ep交替变化交替变化.
10、.二、谐振动的势能二、谐振动的势能2021/3/1127机械能守恒，谐振过程保守力作功。机械能守恒，谐振过程保守力作功。谐振能量与振幅的平方成正比。谐振能量与振幅的平方成正比。三、谐振动的能量三、谐振动的能量2021/3/1128旋转矢量旋转矢量2021/3/1129将物理模型转变成数学模型。将物理模型转变成数学模型。矢量矢量 A A 以角速度以角速度 逆时逆时针作匀速圆周运动，针作匀速圆周运动，研究端点研究端点 M 在在 x 轴上投轴上投影点的运动，影点的运动，初相初相用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 S H V S H V一、一、旋转矢量旋转矢量2021/3/11301.
11、 . M 点在点在 x 轴上投影点的运动轴上投影点的运动为简谐振动。为简谐振动。2. M 2. M 点的运动速度点的运动速度在在 x x 轴上投影速度轴上投影速度2021/3/11313. M 3. M 点的加速度点的加速度在在x x轴上投影加速度轴上投影加速度M点点运动运动在在x轴投影，为谐振动的运动方程。轴投影，为谐振动的运动方程。M点点速度速度在在x轴投影，为谐振动的速度。轴投影，为谐振动的速度。M点点加速加速度在度在x轴投影，为谐振动的加速度。轴投影，为谐振动的加速度。结论：结论：2021/3/1132A谐振动谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐
12、振动周期半径半径初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度 圆周运动周期圆周运动周期二、二、物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较2021/3/11331.1.初始条件初始条件三、三、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相2021/3/11342.2.初始条件初始条件取取2021/3/11353.3.初始条件初始条件2021/3/11364.4.初始条件初始条件取取2021/3/11371、直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点当振动系统确定了振幅以后当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是表述振动的关键就是相位相位即即表达式中的余弦函数的表达式中的余
13、弦函数的综量综量而旋转矢量图而旋转矢量图可可直观地显示该综量直观地显示该综量分析解析式分析解析式可知可知用图代替了文字的叙述用图代替了文字的叙述2021/3/1138如如文字叙述说文字叙述说t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点在正的端点在正的端点旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动意味意味意味意味2021/3/1139质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动同样同样0向负方向运动向负方向运动000或或0向正向运动向正向运动2021/3/1141由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度称两振动
14、称两振动同相同相2、方便地、方便地比较振动步调比较振动步调位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相若若2021/3/11423、方便计算、方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子t=0时时质点过平衡位置且向正方向运动质点过平衡位置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振幅处时求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的所用的最短时间最短时间2021/3/1143解：设解：设t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t = 0时刻的旋矢图时刻的旋
15、矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 因为因为得得繁复的三角函数的运算用匀速繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的圆周运动的一个一个运动关系求得运动关系求得2021/3/11442021/3/1145引：引：- -2021/3/1146 质点同时参与两个振动，研究质点同时参与两个振动，研究两个两个同方向同频率的振动合成同方向同频率的振动合成。振动合成振动合成分振动分振动合成后仍为谐振动，角速度不变。合成后仍为谐振动，角速度不变。一、同（振动）方向、同频率有恒定相位差一、同（振动）方向、同频率有恒定相位差的两个
16、谐振动的合成的两个谐振动的合成2021/3/1147t tx x结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率的简谐振动。仍为同频率的简谐振动。Y Yx x、旋转、旋转矢量法求合振动矢量法求合振动2021/3/1148、当当时（同相）时（同相）, , 合振动振幅最大。合振动振幅最大。注意注意2021/3/1149、当当时（反相）时（反相）, , 合振动振幅最小。合振动振幅最小。若若合振动初相随振幅大者。合振动初相随振幅大者。2021/3/1150适用于：两个分振动适用于：两个分振动等振幅等振幅时。时。分振动分振动合振动合振动例例: :、和差化积求合振动
17、、和差化积求合振动、由分振动曲线求合振动、由分振动曲线求合振动2021/3/1151例：例：两同方向、同频率谐振动合成，两同方向、同频率谐振动合成，求：合成谐振动方程求：合成谐振动方程解：解：合成后合成后 不变，不变，合振动方程合振动方程2021/3/1152 1 1、解析法：、解析法：先将先将x x1 1,x,x2 2合成，再与合成，再与x x3 3合成。合成。合成后仍为谐振动。合成后仍为谐振动。 2 2、矢量合成法：、矢量合成法：x x1 1,x,x2 2，x x3 3 首尾首尾相接。相接。f fo oA A 二、多个同方向、同频率谐振动合成二、多个同方向、同频率谐振动合成2021/3/1
18、153三、在垂直方向上的两个谐振动的合成三、在垂直方向上的两个谐振动的合成2021/3/11543256图图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系为三个不同的简谐振动系统组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧统组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同的劲度系数及重物质量均相同(a)、(b)、(c)三个振动系统的三个振动系统的 2（ 为固有角频率）为固有角频率）值之比为值之比为(A)2 1 (B)1 2 4(C)2 2 1(D)1 1 2B2021/3/11553557一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的轴作简谐振动，振动范围的中心点为中心点为x轴的原点已知周期为轴的原点
19、已知周期为T，振，振幅为幅为A(1)若若t=0时质点过时质点过x=0处且处且朝朝x轴正方向运动，则振动方程为轴正方向运动，则振动方程为 x=_(2)若若t=0时质点处于时质点处于处且向处且向x轴负方向运动，则振动方程为轴负方向运动，则振动方程为 x=_2021/3/11563562图中所画的是两个简谐振动的图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为动的初相为(A)(B)(C)(D)0xt O A/2 -Ax1x2B2021/3/11575190一质点同时参与了三个简谐振动，它一质点同时参与了三个简谐振动，它们
20、的振动方程分别为们的振动方程分别为其合成运动的运动方程为其合成运动的运动方程为x=_02021/3/11583838一个质点同时参与两个在同一直线上一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为的简谐振动，其表达式分别为 (SI) (SI)则其合成振动的振幅为则其合成振动的振幅为_，初相为初相为_ 110-2m /62021/3/11593271一简谐振子的振动曲线如图所示，一简谐振子的振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振动方程为则以余弦函数表示的振动方程为_2021/3/11605311一质点作简谐振动，已知振动周期一质点作简谐振动，已知振动周期为为T，则其振动动能变化的周期是
21、，则其振动动能变化的周期是(A)T/4(B)T/2(C)T(D)2T(E)4TB2021/3/11613270一简谐振动曲线如图所示则振动周期是一简谐振动曲线如图所示则振动周期是(A)2.62s(B)2.40s(C)2.20s(D)2.00sB2021/3/116224.一质量为一质量为0.20kg的质点作简谐的质点作简谐振动，其振动方程为振动，其振动方程为(SI)求：求：(1)质点的初速度；质点的初速度；(2)质点在正向最大位移一半处所质点在正向最大位移一半处所受的力受的力2021/3/1163解：解：(1)(SI)t0=0,v0=3.0m/s(2)时，时，F=-1.5N2021/3/1164
