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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三节 柯西积分公式 一、柯西积分公式二、高阶导数公式三、小结与思考1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 问题的提出问题的提出两种特殊情况：两种特殊情况：由由积分定义积分定义得到得到一、柯西积分公式一、柯西积分公式2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由柯西定理柯西定理得到得到 ？3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分析：分析：由多连通区域的柯西定理得由多连通区域的柯西定理得结论结论1：积分值不随曲线改变：积分值不随曲线改变.4机动机动 目录目录 上页上页 下
2、页下页 返回返回 结束结束 结论结论2：结论结论3：5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理证证设函数设函数 f (z) 在简单闭曲线在简单闭曲线 C 所围成的区域所围成的区域 D内解析，内解析，在在D = D+C上连续，上连续，则对于则对于D内任一点内任一点 z, 有有以以 z 为中心，充分小的正数为中心，充分小的正数 为半径作圆为半径作圆C ：| z| = 使使得得C 及其内部完全含于及其内部完全含于 D 内，内， 所以所以6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 要证明定理成立，只需证明要证明定理成立，只需证明于是当于是当 时，时， 对于
3、圆周上的点对于圆周上的点 都满足都满足| z| ,所以所以7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 平均值公式平均值公式: :一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 1解解由由柯西积分公式柯西积分公式得得10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 2解解由柯西积分公式由柯西积分公式由于积分曲线内只有由于积分曲线内只有一个奇点一个奇点所以所以11机动机动 目录目录
4、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 4解解13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 4解解14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则解解 积分曲线内有积分曲线内有两个奇点两个奇点-11例例5 515机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 课堂练习课堂练习答案答案16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柯西积分公式的推广柯西积分公式的推广( (多连通多连通) )定理定理2
5、提示提示: : 仿照多连通区域的柯仿照多连通区域的柯西定理的证明方法西定理的证明方法, , 即添加即添加几条直线使成为几个单连通几条直线使成为几个单连通区域区域. .17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柯西积分公式的推广柯西积分公式的推广( (无界无界) )定理定理318机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( Cauchy, A.L., 17891857 ) 法国数学家法国数学家. . 近代微积近代微积分学的奠基者分学的奠基者; ; 单复变函数单复变函数理论的创立者理论的创立者. . 研究领域遍研究领域遍及当时所有数学分支及当时所有数学分支.
6、 .柯柯 西西 人总是要死的人总是要死的, , 但他们但他们的业绩应该永存的业绩应该永存. -. -柯西柯西19机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理设函数设函数 f (z) 在简单闭曲线在简单闭曲线 C 所围成的区域所围成的区域 D内解析，内解析，在在D = D+C上连续，上连续， 则则f (z) 在在D内有各阶导数，内有各阶导数，且且证证即证对即证对 D 内任一点内任一点 z, 有有由柯西积分公式得由柯西积分公式得二、高阶导数公式二、高阶导数公式20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 从而从而21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页
7、返回返回 结束结束 即存在正即存在正由于由于 f ()在在 D上连续，所以在上连续，所以在 D上有界，上有界，数数M, 使得使得|f ( )| M.则有则有| z| d( C).d22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有则有z + z D.从而对于从而对于C上任一点上任一点 ，有，有所以所以23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以当所以当 z0时，时，即即因为因为 z 为为 D 内任一点，所以内任一点，所以n = 1时，定理成立时，定理成立.24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 利用数学归纳法可证利用数学归纳法可
8、证推论：推论：设设f (z)在复平面上的区域在复平面上的区域 D 内处处解析，内处处解析， 则则f (z)在在 D 内具有各阶导数，内具有各阶导数， 并且它们也在并且它们也在 D 内解析内解析.25机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例8 8解解26机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据多连通区域的柯西积分定理根据多连通区域的柯西积分定理28机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9 9解解3
9、0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 31机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1010解解由柯西定理得由柯西定理得由柯西积分公式得由柯西积分公式得32机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 33机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 课堂练习课堂练习答案答案34机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1111解解35机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 圆圆|z|= r内有内有z = 0, z = 1两个奇点，两个奇点，在在 C 内分别以内分别以z = 0,
10、 z = 1为心作小圆为心作小圆 C1和和 C2, 则则36机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在在C内分别以内分别以 z = 0, z = 1以及以及z = 2为心，为心，作小圆作小圆C1，C2，C3，则，则37机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西定理它的证明基于柯西定理, 它的重要性在于它的重要性在于: 一个一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工所以它是研究解析函数的重要工具具.柯西积分公式柯西积分公式:三、小结与思考三、小结与思考38机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别.高阶导数公式高阶导数公式作业：作业：P46 6(2)(3)(4), 8, 10, 11, 1339
