医用物理学：ch7-1-5静电场

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1、第七章第七章第七章第七章静静静静 电电电电 场场场场本章教学基本要求本章教学基本要求 一、一、掌握描述静电场的两个物理量掌握描述静电场的两个物理量电场强度电场强度E E和电势和电势U U的概念，的概念， 二、二、理解静电场两条基本规律理解静电场两条基本规律高斯定理及静高斯定理及静电场的环路定理电场的环路定理 三、三、掌握电场强度与电势梯度的关系掌握电场强度与电势梯度的关系 四、四、掌握计算电场强度和电势的基本方法掌握计算电场强度和电势的基本方法五、五、理解静电场与电介质之间的相互作用理解静电场与电介质之间的相互作用一、两种电荷一、两种电荷 静电的基本现象和基本规律：静电的基本现象和基本规律：1

2、、定义：带电的物体叫电荷。、定义：带电的物体叫电荷。 （或能够参与电磁相互作用的物体）（或能够参与电磁相互作用的物体）2、电荷的种类：正电荷和负电荷；、电荷的种类：正电荷和负电荷；3、电量：电荷带电的多少或参与电磁相互作用的强弱。、电量：电荷带电的多少或参与电磁相互作用的强弱。4、电量的单位：、电量的单位：C（库仑）库仑）5、电荷的基元性（量子性）：任何电荷的电量总是电子、电荷的基元性（量子性）：任何电荷的电量总是电子电量的正负整数倍。电量的正负整数倍。 例如，电流的连续性，基尔霍夫定律，微观粒子例如，电流的连续性，基尔霍夫定律，微观粒子的衰变等都证明了电荷的守恒。的衰变等都证明了电荷的守恒。

3、 电荷守恒定律的表述：电荷守恒定律的表述： 电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的。也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的。 二、电荷守恒定律二、电荷守恒定律电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律三、库仑定律三、库仑定律1785年，库仑通过扭称实验得到。年，库仑通过扭称实验得到。 1. 表述：表述： 在真空中，在真空中， 两个静止点电荷两个

4、静止点电荷q1及及q2之间的相互作之间的相互作用力的大小和用力的大小和q1与与q2的乘积成正比，和它们之间距离的乘积成正比，和它们之间距离r的的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。斥，异号电荷相吸。2、库仑定律的数学表达式：、库仑定律的数学表达式：q1q2rF ( Coulomb Law)( Coulomb Law) 点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。3、讨论：、讨论： 库仑定律只适合于真空中的点电荷相互作用。库仑定律只适合于真空中的点电荷相互作用。 比例系数比例系数

5、k可以表示为：可以表示为：这里这里0称为真空中的介电常数。称为真空中的介电常数。 实验发现：在实验发现：在10-15米至米至103米范围内库仑定律都成立。这米范围内库仑定律都成立。这表明库仑力是长程力。表明库仑力是长程力。 库仑力遵守牛顿第三定律。库仑力遵守牛顿第三定律。 4、静电力的叠加原理：、静电力的叠加原理：离散状态离散状态连续分布连续分布 作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。用于该电荷的静电力的矢量和。7-1 电场电场 电场强度电场强度 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，实验证实了两静

6、止电荷间存在相互作用的静电力，但其相互作用是怎样实现的？但其相互作用是怎样实现的？电电 荷荷电电 场场电电 荷荷场是一种特殊形态的物质，具有能量、质量、动量。场是一种特殊形态的物质，具有能量、质量、动量。实物实物物物 质质 场场一、电场（一、电场（electric field)electric field)静电场静电场相对于观察者静止且电量不随时间变化的电荷相对于观察者静止且电量不随时间变化的电荷 产生的电场。产生的电场。电场对场中电荷施以电场力作用。电场对场中电荷施以电场力作用。电场可以脱离电荷而独立存在，在空间具可叠加性。电场可以脱离电荷而独立存在，在空间具可叠加性。二、电场强度二、电场强

7、度 (electric field strength)电场强度电场强度场源场源电荷电荷试验试验电荷电荷描述电场性质的物理量之一，反映力的作用。描述电场性质的物理量之一，反映力的作用。引入引入试验电荷试验电荷 点电荷（电量足够小，不影响原点电荷（电量足够小，不影响原电场分布电场分布;线度足够小。）线度足够小。）1. 定义：定义： 电场中某点的电场中某点的电场强度电场强度，其，其大小等于单位电荷放在该大小等于单位电荷放在该处所受的电场力的大小，其方向与正电荷在该处所受电场处所受的电场力的大小，其方向与正电荷在该处所受电场力的方向一致。力的方向一致。 单位：牛顿单位：牛顿/库仑库仑 或伏特或伏特/米

8、米2. 点电荷电场：点电荷电场：根据库仑定律，有根据库仑定律，有+q-q三、电场强度叠加原理三、电场强度叠加原理由力的叠加原理得由力的叠加原理得 所受合力所受合力 点电荷点电荷 对对 的作用力的作用力 故故 处总电场强度处总电场强度 电场强度的叠加原理电场强度的叠加原理点电荷系在某点产生的场点电荷系在某点产生的场强，等于各点电荷单独存强，等于各点电荷单独存在时在该点分别产生的场在时在该点分别产生的场强的矢量和。强的矢量和。场强叠加原理场强叠加原理 电荷连续分布情况电荷连续分布情况电荷电荷体体密度密度点点 处电场强度处电场强度电荷电荷面面密度密度电荷电荷线线密度密度例例1 1 求求电偶极子连线上

9、一点电偶极子连线上一点A A 和中垂线上一点和中垂线上一点B B 的场强。的场强。解：解：两个相距为两个相距为 l 的等量异号点电荷的等量异号点电荷 + +q q 和和 - -q q 组成的点电荷组成的点电荷系，当讨论的场点到两点电荷系，当讨论的场点到两点电荷连线中点的距离远大于连线中点的距离远大于 l 时，称时，称这一带电系统为这一带电系统为电偶极子电偶极子。称为该电偶极子的称为该电偶极子的电偶极矩（电矩）电偶极矩（电矩）。（方向如图）（方向如图），式中式中为一常数，为一常数，为半径为半径R R与与x x轴轴 所成的所成的夹角，如角，如图所示所示试求求环心心O O处的电场强度处的电场强度。

10、例例2 带电细线弯成半径为带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为的半圆形，电荷线密度为解：解：如图，如图， 考考虑到到对称性，有称性，有：方向沿方向沿Y Y轴负向。轴负向。解题思路：解题思路：(1) 选取选取 dq(3) 统一变量，计算积分统一变量，计算积分(2) 建立恰当的坐标系，将建立恰当的坐标系，将 投影，写出投影，写出 确定确定7-2 高斯定理（高斯定理（Gauss theorem) 1 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向曲线上每一点切线方向为该点电场方向, , 2 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场强度的大小该点电场强度的

11、大小. .1.1.规定规定一、电场线一、电场线2.电力线的性质电力线的性质 1)电力线起始于正电荷电力线起始于正电荷(或无穷远处或无穷远处)，终止于负电荷，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；不会在没有电荷处中断； 2)两条电力线不会相交；两条电力线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。电力线不会形成闭合曲线。 4)电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。 +-+-几几种种电电荷荷分分布布的的电电力力线线图图带电平行板电容器的电场带电平行板电容器的电场+二、电通量（二、电通量（electric flux)electric flux)1、定义：垂直穿过某

12、一有向曲面的电场线条数，用、定义：垂直穿过某一有向曲面的电场线条数，用e表示。表示。2、电场强度通量的计算公式：、电场强度通量的计算公式：均匀电场，均匀电场，S 法线方向与法线方向与电场强度方向成电场强度方向成 角角电场不均匀，电场不均匀，S为任意曲面为任意曲面 通量有正负之分！通量有正负之分！小于小于90度，即电场线顺着法向穿过曲面，通量为正；度，即电场线顺着法向穿过曲面，通量为正；等于等于90度，即电场线顺着平面，通量为零；度，即电场线顺着平面，通量为零；大于大于90度，即电场线逆着法向穿过曲面，通量为负；度，即电场线逆着法向穿过曲面，通量为负； 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通

13、量规定规定：法线的正方向为指向：法线的正方向为指向 闭合曲面的外侧。闭合曲面的外侧。 在真空中在真空中,通过任一通过任一闭合闭合曲面的电场强度通量曲面的电场强度通量,等等 于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 .（与（与面外面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）电荷无关，闭合曲面称为高斯面）请思考：请思考：1）高斯面上的高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？三、高斯定理三、高斯定理（Gauss theorem)1. 1. 内容：内容：2. 2. 推证：推证：+ 点电荷位于球面中心点电荷位于球

14、面中心高斯定理的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理+ 点电荷在任意封闭曲面内点电荷在任意封闭曲面内其中其中立体角立体角 点电荷在封闭曲面之外点电荷在封闭曲面之外 由多个点电荷产生的电场由多个点电荷产生的电场高斯定理高斯定理1）高斯面上的电场强度为高斯面上的电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度.4）仅高斯面仅高斯面内内的电荷对高斯面的电场强度的电荷对高斯面的电场强度通量通量有贡献有贡献.2）高斯面为封闭曲面高斯面为封闭曲面.5）静电场是静电场是有源场有源场.3）穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负穿进高斯面的电场强度通量为正

15、，穿出为负.总总 结结 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，的静电场中，做如下的三个闭合面做如下的三个闭合面 求求通通过各闭合面的电通量过各闭合面的电通量 .讨论讨论 将将 从从 移到移到 点点 电场强度是否变化电场强度是否变化？穿过高斯面穿过高斯面 的的 有否变化有否变化？*例例3 均匀带电球面均匀带电球面根据电荷分布的对称性，根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面选取合适的高斯面(闭合面闭合面)解解:取取过场点的过场点的 以球心以球心 o 为心的球面为心的球面总电量为总电量为半径为半径为求：电场强度分布求：电场强度分布 先从高斯定理等式的左方入手先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电

16、通量先计算高斯面的电通量四、高斯定理的应用四、高斯定理的应用再根据高斯定理解方程再根据高斯定理解方程过场点的高斯面内电量代数和过场点的高斯面内电量代数和? ?rEOR+电场分布曲线如图电场分布曲线如图E=0结果表明，结果表明，均匀带电球面均匀带电球面内部的场强处处为零；球内部的场强处处为零；球面外的场强分布，好像球面外的场强分布，好像球面上的电荷都集中在球心面上的电荷都集中在球心时形成的点电荷产生的场时形成的点电荷产生的场强分布一样。强分布一样。例例4 均匀带电球体，半径为均匀带电球体，半径为R，电荷体密度为，电荷体密度为 R+解解 球外球外( r R )r电场强度分布电场强度分布求求 球内球

17、内 ( r R )电场分布曲线电场分布曲线REOr 沿球面法线方向。沿球面法线方向。+ 取同心球面取同心球面为高斯面，电通量为为高斯面，电通量为r“无限长无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为均匀带电直线，电荷线密度为+ 解解例例5电场强度电场强度分布分布求求电场分布具有轴对称性电场分布具有轴对称性“无限长无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为均匀带电直线，电荷线密度为+ 解解 电场分布具有轴对称性电场分布具有轴对称性 , 以高为以高为l 的同轴圆柱面为高斯面，电通量的同轴圆柱面为高斯面，电通量例例5电场强度电场强度分布分布求求根据高斯定理根据高斯定理rrEl例例6 6 求无限大均匀带电薄板的场强

18、分布，设电荷面密度为求无限大均匀带电薄板的场强分布，设电荷面密度为。解：解：由对称性分析，平板两侧离由对称性分析，平板两侧离该板等距离处场强大小相等，方该板等距离处场强大小相等，方向均垂直平板。向均垂直平板。 取一轴垂直带电平面，高为取一轴垂直带电平面，高为 2 2 r r 的圆柱面为高斯面，通过它的的圆柱面为高斯面，通过它的电通量为电通量为xOEx由高斯定理由高斯定理所以得所以得S 内包围的电荷为内包围的电荷为总结总结静电场的高斯定理适用于一切静电场；静电场的高斯定理适用于一切静电场；高斯定理并不能求出所有静电场的分布。高斯定理并不能求出所有静电场的分布。两种计算电场的方法两种计算电场的方法

19、电场叠加原理电场叠加原理高斯定理高斯定理高斯定理求解电场分布高斯定理求解电场分布场强场强 E 能否提出积分号能否提出积分号带电体带电体电荷分布电荷分布的对称性的对称性建立的建立的高斯面高斯面是否合适是否合适球面、球体球面、球体无限长圆柱面、圆柱体无限长圆柱面、圆柱体无限大平面、平板无限大平面、平板电荷电荷均匀均匀分布分布球面球面圆柱面圆柱面圆柱面圆柱面用高斯定理求电场强度的步骤：用高斯定理求电场强度的步骤：(1) 分析电荷对称性；分析电荷对称性； (2) 根据对称性取高斯面；根据对称性取高斯面； 高斯面必须是闭合曲面高斯面必须是闭合曲面 高斯面必须通过所求的点高斯面必须通过所求的点(3) 根据

20、高斯定理求电场强度根据高斯定理求电场强度。 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算 110作作 业业一、静电场力做功：与路径无关一、静电场力做功：与路径无关静电场力是保守力静电场力是保守力用库仑定律和叠加原理证明用库仑定律和叠加原理证明7-3 7-3 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能点电荷的场中移动点电荷点电荷的场中移动点电荷 从从 到到 , ,电场做的电场做的功：功：点电荷点电荷 从从 A A 到到 B B 点，电场点，电场所做的功为：所做的功为：对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续

21、带电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。看成是由无数电荷元组成的点电荷系。结论：静电场力作功，仅与试验电荷电量及路径的起点结论：静电场力作功，仅与试验电荷电量及路径的起点和终点的位置有关，而与路径的形状无关静电场力为保和终点的位置有关，而与路径的形状无关静电场力为保守力。守力。上式中每一项都与路径无关，所以它们的代数和也必然上式中每一项都与路径无关，所以它们的代数和也必然与路径无关。与路径无关。由由场强叠加原理场强叠加原理:任意点电荷系的电场力所作的功，等于组成此点电荷系的各任意点电荷系的电场力所作的功，等于组成此点电荷系的各点电荷的电场力所作功的代数和点电荷的电场力所作功的代数和，即静电

22、场的保守性表述为：静电场的保守性表述为：静电场中，场强沿任意闭合路径的线静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零称为积分等于零称为静电场的环路定理静电场的环路定理或环流定理。或环流定理。二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理运动电荷的场不是保守场运动电荷的场不是保守场，而是非保，而是非保守场，将在磁场部分讨论。守场，将在磁场部分讨论。(Circuital theorem of electrostatic field)静电场力为保守力静电场力为保守力: :静电场为保守场静电场为保守场三、电势能三、电势能（electric potential energy)静电力将电荷静电力将电荷 从电场中从

23、电场中 点移点移到到 点静电场力做正功时，静电场点静电场力做正功时，静电场的电势能减少。的电势能减少。若选若选 在点在点B B处的电势能为零，即处的电势能为零，即 ，则有：则有：试验电荷试验电荷 在电场中某点处的电势能，在数值上就在电场中某点处的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。通常规定无限远处为电势能零点（通常规定无限远处为电势能零点（ ）在国际单位制中，电势能的单位在国际单位制中，电势能的单位: :焦耳，符号为焦耳，符号为J J如图所示如图所示, 在带电量为在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有的点电荷所产生的静

24、电场中，有一带电量为一带电量为q 的点电荷的点电荷解解选选无穷远为电势能零点无穷远为电势能零点bacQq 在在a 点和点和 b 点的电势能点的电势能求求例例7选选 C 点为电势能零点点为电势能零点两点间的电势能差为：两点间的电势能差为：一、电势一、电势定义：定义：场点场点A A的电势为：的电势为：将单位正电荷从将单位正电荷从A A点沿任意路径移到电势为点沿任意路径移到电势为零的点时，静电力所做的功。零的点时，静电力所做的功。7-4 7-4 电势电势 (electric potential) 依电势能（依电势能（ ）当电荷只分布在有限区域时，零点当电荷只分布在有限区域时，零点通常选在无穷远处。通

25、常选在无穷远处。与场中试验电荷与场中试验电荷 无关，描述了静电场中无关，描述了静电场中A A点的性质的物理量。点的性质的物理量。注意：注意：电势为电势为标量，仅有大小、正负之分，而无方向可言。标量，仅有大小、正负之分，而无方向可言。 取决于取决于 ，不能认为仅取决于，不能认为仅取决于A A点的电场点的电场强度强度 。二、电势差（二、电势差（ electric potential diference）定义：定义：静电场中静电场中A A、B B两点的电势差两点的电势差，在数值上等于把单位在数值上等于把单位正试验电荷从点正试验电荷从点A A移到点移到点B B时，静电场力所作的功。时，静电场力所作的功

26、。静电力将电荷静电力将电荷 从电场中从电场中 点移到点移到 点静电场力点静电场力作的功为：作的功为：电势与电势的零点选取有关；而电势差与电势的零点选取电势与电势的零点选取有关；而电势差与电势的零点选取无关。无关。 电场力电场力 对对 作正功作正功 电场力电场力 对对 作负功作负功 电场力电场力 对对 不作功不作功 电势差和电势的单位相同电势差和电势的单位相同在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。任何导体接地在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。任何导体接地后，就认为它的电势也为零。后，就认为它的电势也为零。也称为也称为: : 伏特伏特 (Volt,V)(Volt,V)国际单位制国际单位

27、制(SI(SI制制) )单位为：焦耳单位为：焦耳/ /库仑库仑 记作记作: :二、点电荷电场的电势二、点电荷电场的电势用场强分布和电势的定义直接积分。用场强分布和电势的定义直接积分。 电势的电势的正负与源电荷正负与源电荷q q正负有关正负有关负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电势越高。负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电势越高。正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电势越低。正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电势越低。场强总是从电势高处指向电势低处场强总是从电势高处指向电势低处。三、电势的叠加原理三、电势的叠加原理由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。由场强叠加原理和电

28、势的定义，直接得出电势叠加原理。当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元组成，将每个当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电势的叠加就是总的电势。可电荷元看成点电荷，它产生的电势的叠加就是总的电势。可写为：写为：表述：表述：一个电荷系的电场中一个电荷系的电场中, ,任一点的电势等于每一个任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。表达式：表达式： 电荷体密度为电荷体密度为 的的带电体产生的电势：带电体产生的电势： 电荷面密度为电荷面密度为 的的带电体产生的电势带电体产生的电势： 电荷线密度为电

29、荷线密度为 的的带电体产生的电势：带电体产生的电势： 四、电势的计算（两种基本方法）四、电势的计算（两种基本方法）1.1.场强积分法（由定义求）场强积分法（由定义求）确定确定 分布分布选零势点和便于计算的积分路径选零势点和便于计算的积分路径由电势定义由电势定义注意：注意：若路径上各段若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。的表达式不同，应分段积分。选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 一般一般, ,场源电荷有限分布场源电荷有限分布: :选选场源电荷无限分布场源电荷无限分布: :不选不选许多实际问题中选许多实际问题中选2.2.电势叠加法电势叠加法将带电

30、体划分为电荷元将带电体划分为电荷元选零势点，写出选零势点，写出 在场点的电势在场点的电势由叠加原理：由叠加原理： 例例8 8 如图，正电荷如图，正电荷q q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R R的细圆环上，计算在环的细圆环上，计算在环的轴线上与环心的轴线上与环心O O相距为相距为x x处点处点P P的电势。的电势。在圆环上取点电荷在圆环上取点电荷 , ,令令解：解： 例例9 9 计算一计算一半径为半径为R均匀带电均匀带电Q Q的薄圆盘，在通过盘心且垂的薄圆盘，在通过盘心且垂直盘面的轴线上任意点的电势。直盘面的轴线上任意点的电势。把圆盘分成许多个小圆环。把圆盘分成许多个小圆环。解：解：半径为

31、半径为r r，宽为宽为drdr的小圆环的的小圆环的电荷为电荷为 例例10 10 求均匀带电球面的电场中的电势分布。求均匀带电球面的电场中的电势分布。令令 沿径向积分沿径向积分解：解：由高斯定理由高斯定理结果表明：结果表明：均匀带电球面内电势均匀带电球面内电势与球面处电势相等；球面外电势与球面处电势相等；球面外电势与电量集中于球心的点电荷情况与电量集中于球心的点电荷情况相同。相同。1.1.定义：定义： 将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做等等势面势面。即。即 的空间曲面称为等势面。的空间曲面称为等势面。一、等势面一、等势面7-5 7-5 电场强度与电势

32、梯度电场强度与电势梯度等势面上的任一曲线叫做等势面上的任一曲线叫做等势线等势线或或等位线等位线。2.2.等势面的性质：等势面的性质：证明：证明：因为将单位正电荷从等势面上因为将单位正电荷从等势面上M M 点移到点移到N N 点，电场力做功为零，而路径不为零点，电场力做功为零，而路径不为零对任何静对任何静电场，电场，电场线与等势面正交电场线与等势面正交。电场线的方向指向电势降落的方向。电场线的方向指向电势降落的方向。沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。为了能使等势面表示出电场的强弱，规定：为了能使等势面表示出电场的强弱，规定：两个相邻等势面

33、两个相邻等势面的电势差相等的电势差相等结论：结论：静静电场，电场线是与等势面正交的线族。电场，电场线是与等势面正交的线族。静静电场中，沿着等势面移动电荷时，电场力做功为零；电场中，沿着等势面移动电荷时，电场力做功为零；等势面较密集的地方，等势面较密集的地方，场强较大。场强较大。等势面较稀疏的地方，等势面较稀疏的地方，场强较小。场强较小。二、电场强度与电势梯度二、电场强度与电势梯度邻近等势面：邻近等势面：电势：电势：A A、B B两点的间距：两点的间距： ，则有，则有：若沿着场强方向，电势由高沿着场强方向，电势由高低；逆着场强方向，电势由低低；逆着场强方向，电势由低高高考虑特定方向，等势面的法向

34、考虑特定方向，等势面的法向上式表明上式表明：任意一场点任意一场点A A处处场强的大小等于沿过该场强的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势梯度的负值，负号表示点等势面法线方向上电势梯度的负值，负号表示沿电场强度的方向电势是降低的，如图所示。沿电场强度的方向电势是降低的，如图所示。场强等于电势梯度的负值。场强等于电势梯度的负值。上式为场强与电势的微分关系上式为场强与电势的微分关系电势电势U U是标量，与矢量是标量，与矢量 相比，相比，U U比较容易计算。比较容易计算。实际计算时，先计算电势实际计算时，先计算电势U U，再用上式来求出，再用上式来求出电场强度电场强度 的单位：伏特的单位：伏特/ /米

35、，米，1 1伏特伏特/ /米米=1=1牛顿牛顿/ /库仑库仑例如，求点电荷场强的大小例如，求点电荷场强的大小与用库仑定律所得结果完全相同与用库仑定律所得结果完全相同 例例1111 计算电偶极子场中任一点计算电偶极子场中任一点A A的电势和电场强度的电势和电场强度解：解：求求电偶极子场中电偶极子场中A A点的电势点的电势其电偶极矩其电偶极矩为：为：在在A A点产生的电势：点产生的电势：在在A A点产生的电势：点产生的电势：当当 可做如下近似：可做如下近似：当 可做如下近似：由电偶极子的电势公式，求其电场的分布。由电偶极子的电势公式，求其电场的分布。已知电偶极子已知电偶极子的电势为：的电势为：电偶

36、极子中垂线上一点的场强。电偶极子中垂线上一点的场强。电偶极子联线上一点的场强。电偶极子联线上一点的场强。当 时当 时1.1.外电场为匀强电场时的情况外电场为匀强电场时的情况外电场对电偶极子的力矩和取向作用外电场对电偶极子的力矩和取向作用三、三、 静电场中的电偶极子静电场中的电偶极子作用在电偶极子上的合力为作用在电偶极子上的合力为电偶极子所受的力矩：电偶极子所受的力矩：电偶极子的电偶极子的电电偶极矩偶极矩为：为：电偶极子将作顺时针转动电偶极子将作顺时针转动讨论：讨论：当当 时时当 时：电偶极子的稳定平衡位置电偶极子的稳定平衡位置电偶极子处于非稳定平衡电偶极子处于非稳定平衡只要稍微偏离此处，只要稍

37、微偏离此处，2.2.外电场为非匀强电场时的情况外电场为非匀强电场时的情况作用在电偶极作用在电偶极子上的合力为子上的合力为: :在非均匀电场中，电偶极子不仅要转动，而且在非均匀电场中，电偶极子不仅要转动，而且还会在电场力作用下发生移动。还会在电场力作用下发生移动。外电场为匀强电场时，电偶极子的电势能：外电场为匀强电场时，电偶极子的电势能：二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置讨论：讨论：电偶极子的稳定平衡位置电偶极子的稳定平衡位置当当 时：时：当当 时时当当 时时电偶极子处于非稳定平衡电偶极子处于非稳定平衡从能量的观点：从能量的观点：能量越低，系统的状态越稳

38、定。能量越低，系统的状态越稳定。结论结论：在电场中的电偶极子，一般情况下总具有使自在电场中的电偶极子，一般情况下总具有使自己的电偶极矩转向与外电场强度方向平行的趋势。己的电偶极矩转向与外电场强度方向平行的趋势。五、电偶层五、电偶层（Dipole layer） 电偶层是指：电偶层是指：相距很近，互相平行相距很近，互相平行具有等值异号电荷均具有等值异号电荷均匀分布的带电表面匀分布的带电表面。 在生物体内，电偶层（在生物体内，电偶层（Dipole layerDipole layer）是一种很常见）是一种很常见的电荷分布情况。的电荷分布情况。 电偶层在其周围电偶层在其周围空间产生的电势，也空间产生的电

39、势，也可用电势叠加原理来可用电势叠加原理来计算。计算。如右图所示，如右图所示， 图图 电偶层电偶层 取电偶层中一个面积元取电偶层中一个面积元S S，设上、下表面的面电荷密度为，设上、下表面的面电荷密度为和和，厚度为，厚度为，则该面积元上的电量为，则该面积元上的电量为S S，由于，由于S S极小，极小，也很小，可把它看成为电偶极距为也很小，可把它看成为电偶极距为S S的电偶极子，在空间的电偶极子，在空间任一点任一点P P的电势为的电势为恰好是面元恰好是面元S S对对P P点所张的立体角，以点所张的立体角，以dd表示，故上式又可写成表示，故上式又可写成所以面积为所以面积为S S的电偶层在的电偶层在

40、P P点的电势为点的电势为 式中式中式中式中是面积是面积S S对对P P点所张的立体角，上式表明：点所张的立体角，上式表明： 当单位面积的电偶极矩相等时，不同形状的当单位面积的电偶极矩相等时，不同形状的电偶层在空间某点的电势只决定于电偶层对该点电偶层在空间某点的电势只决定于电偶层对该点所张的立体角的大小，而与电偶层的形态无关。所张的立体角的大小，而与电偶层的形态无关。 根据这一结论，我们可以算出具有电荷均匀根据这一结论，我们可以算出具有电荷均匀分布的闭合曲面的电偶层（例如静息状态的细分布的闭合曲面的电偶层（例如静息状态的细胞，膜外表面带正电荷，膜内表面带负电荷）胞，膜外表面带正电荷，膜内表面带

41、负电荷）在闭合曲面外空间的电势为零，而在曲面内的在闭合曲面外空间的电势为零，而在曲面内的电势为一负值。电势为一负值。 在图中，不管闭合面的形状如何，整个闭合在图中，不管闭合面的形状如何，整个闭合面可以分为面可以分为MRNMRN和和MQNMQN两部分。两部分。 显然，这两个部分电偶层的电矩方向相反，并且显然，这两个部分电偶层的电矩方向相反，并且对于同一点对于同一点P P所张的立体角相等，设为所张的立体角相等，设为。 电偶层电偶层MRNMRN在在P P点的电势是正值，即点的电势是正值，即电偶层电偶层MQNMQN在在P P点形成负电势，其值为点形成负电势，其值为 根据电势叠加原理根据电势叠加原理 ：

42、Up=U+U-=0 即即 P P点的电势为零。点的电势为零。 在闭合面内任取一点在闭合面内任取一点P P图（图（a a），），由于由于P P对闭合曲面电偶层所张的对闭合曲面电偶层所张的立体角为立体角为44，因此有：，因此有：上式表明，该闭合曲面内电势为一负值。上式表明，该闭合曲面内电势为一负值。 如果闭合曲面外表面均匀带负电，内表面均匀带正电，如如果闭合曲面外表面均匀带负电，内表面均匀带正电，如图（图（b b），利用上面的方法进行分析，这时闭合曲面外电势仍为），利用上面的方法进行分析，这时闭合曲面外电势仍为零，而闭合面内电势为正值。零，而闭合面内电势为正值。 实验证实，实验证实，细胞在静息状态

43、时，不论细胞形态如何，电荷细胞在静息状态时，不论细胞形态如何，电荷都是沿着膜内外表面均匀分布的，形成一个闭合曲面的电偶层，都是沿着膜内外表面均匀分布的，形成一个闭合曲面的电偶层，膜外表面带正电，膜内表面带负电。膜外表面带正电，膜内表面带负电。 不同种类的细胞，不同种类的细胞，膜内电势一般在膜内电势一般在-10-10V V-100-100V V之间之间。 需指出，当静息状态的细胞受到剌激时，不管剌激性质是电需指出，当静息状态的细胞受到剌激时，不管剌激性质是电的、化学的、热的还是机械的，只要剌激达到一定强度（阈值），的、化学的、热的还是机械的，只要剌激达到一定强度（阈值），受到剌激的细胞膜的内外表面上的电荷就要发生变化，且这种变受到剌激的细胞膜的内外表面上的电荷就要发生变化，且这种变化随时间的推移而传播，形成一个大小和方向都变化的电矩向量。化随时间的推移而传播，形成一个大小和方向都变化的电矩向量。该向量就是形成心电向量的基础，即心电图的基础。该向量就是形成心电向量的基础，即心电图的基础。