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1、8.3直线、平面平行的判定与性质高考理数高考理数1.直线与平面的位置关系位置关系公共点个数直线在平面内若直线上有两个点在平面内,则所有点都在平面内直线不在平面内直线与平面相交直线与平面有且仅有一个公共点直线与平面平行直线与平面没有公共点知识清单2.直线和平面平行(1)定义:直线与平面没有公共点,则称此直线l与平面平行,记作l.(2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行线面平行”).(3)性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行线线平行”).3.两个平面平行
2、(1)定义:如果平面与平面无公共点,则平面与平面平行,记作.(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.用符号表示为a,b,ab=P,a,b.(3)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.用符号表示为,=a,=bab.【知识拓展】【知识拓展】1.平行问题的转化如图所示:2.应用判定定理和性质定理的注意事项在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.(1)定义法:证明直
3、线与平面没有公共点,通常要借助于反证法来证明.(2)判定定理法:在平面内找到一条直线与已知直线平行.(3)利用面面平行的性质定理a.直线在一平面内,由两平面平行,推得线面平行.b.直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一平面平行.(4)利用直线的方向向量与平面的法向量垂直进行判定.例例1(2014河南开封模拟,20,12分)正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ平面BCE.证明证法一:如图所示.作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,连结MN.突破方法方法方法1证明直线与平面平行的方法证明直线与平面平行的方法
4、正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,AE=BD.又AP=DQ,PE=QB,又PMABQN,=,=,=,PM QN,即四边形PMNQ为平行四边形,PQMN.又MN平面BCE,PQ平面BCE,PQ平面BCE.证法二:如图,连结AQ并延长交BC的延长线于K,连结EK,AE=BD,AP=DQ,PE=BQ,=,又ADBK,=,=,PQEK.又PQ平面BCE,EK平面BCE,PQ平面BCE.证法三:如图,在平面ABEF内,过点P作PMBE,交AB于点M,连结QM.PM平面BCE,且=,又AE=BD,AP=DQ,PE=BQ,=,=,MQAD,又ADBC,MQBC,MQ平面BCE,又PMMQ=M,平面
5、PMQ平面BCE,又PQ平面PMQ,PQ平面BCE.1-1(2016山西晋城4月模拟,19,12分)如图所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BECF,求证:AE平面DCF.证明证明证法一:由于ABCD,BECF,故平面ABE平面DCF.而直线AE在平面ABE内,根据面面平行的性质,得AE平面DCF.证法二:如图所示,过点E作直线EGBC交CF于点G,连结DG,又BECF,故四边形BEGC为平行四边形,所以EG BC.又四边形ABCD为矩形,故AD BC,所以AD EG,所以四边形AEGD为平行四边形,所以AEDG.由线面平行的判定定理,得AE平面DCF.平面与平面平行的判定方法:
6、(1)定义法:两个平面没有公共点;(2)判定定理法:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面;(3)转化为线线平行:平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行,则;(4)利用平行平面的传递性:若,则.(5)利用两个平面的法向量的数量积等于0.例例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点,求证:(1)直线EG平面BDD1B1;(2)平面EFG平面BDD1B1.方法方法2面面平行的判定面面平行的判定解题导引解题导引(1)连结SB证EGSB结论(2)连结SD证FGSD证FG面BDD1B1结合(1)可证得结论证明证明(1)如图
7、,连结SB,E、G分别是BC、SC的中点,EGSB.又SB平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,直线EG平面BDD1B1.(2)连结SD,F、G分别是DC、SC的中点,FGSD.又SD平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,FG平面BDD1B1,又EG平面EFG,FG平面EFG,EGFG=G,平面EFG平面BDD1B1.2-1如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,点G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.(1)求证:E,B,F,D1四点共面;(2)求证:平面A1GH平面BED1F.证明证明(1)AE=B1G=1,BG=A
8、1E=2,又BGA1E,四边形A1GBE是平行四边形,A1G BE.又C1F B1G,四边形C1FGB1是平行四边形,FG C1B1 D1A1,四边形A1GFD1是平行四边形,A1G D1F,D1F EB,E,B,F,D1四点共面.(2)H是B1C1的中点,B1H=.又B1G=1,=.又=,且GB1H=FCB=90,B1HGCBF,B1GH=CFB,又CFB=FBG,B1GH=FBG,HGFB.又由(1)知A1GBE,且HGA1G=G,FBBE=B,平面A1GH平面BED1F.1.线面平行和面面平行的性质都体现了转化思想.2.对较复杂的综合结论问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来
9、进行证明,有如下方法:线线平行找过直线的平面线面平行找出或作出经过直线且与平面相交的平面,从而找出交线线线平行方法方法3平行关系的综合应用平行关系的综合应用BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形;(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.解析解析(1)证明:由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1.由于BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,例例3(2014陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BCFG,BCEH,FGE
10、H.同理,EFAD,HGAD,EFHG,四边形EFGH是平行四边形.又ADDC,ADBD,AD平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形.(2)解法一:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),EFAD,FGBC,n=0,n=0,得取n=(1,1,0),sin=|cos|=.解法二:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E是AB的中点,F,
11、G分别为BD,DC的中点,得E,F(1,0,0),G(0,1,0).=,=(-1,1,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),则n=0,n=0,得取n=(1,1,0),sin=|cos|=.3-1如图所示,已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、CC1的中点,求证:四边形BED1F是平行四边形.证明证明取D1D的中点G,连结EG,GC,E是A1A的中点,G是D1D的中点,EG AD.由正方体性质知AD BC,EG BC,四边形EGCB是平行四边形,EB GC.又G、F分别是D1D、C1C的中点,D1G FC,四边形D1GCF为平行四边形,D1F GC.由得EB D1F.四边形BED1F是平行四边形.
