《高中数学必修一第2讲函数的单调最值及奇偶性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修一第2讲函数的单调最值及奇偶性（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的单调性最值及奇偶性函数的单调性最值及奇偶性考点梳理考点梳理(1)单调函数的定函数的定义1函数的单调性函数的单调性增函数增函数减函数减函数定定义在函数在函数yf(x)的定的定义域内的一个区域内的一个区间A上，如果上，如果对于于任意两数任意两数x1，x2A当当x1x2时，都，都有有_，那么就那么就说函数函数f(x)在区在区间A上是增上是增加的加的当当x1x2时，都，都有有_，那那么就么就说函数函数f(x)在在区区间A上是减少的上是减少的f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)图像像描述描述自自左向右看左向右看图像是上升的像是上升的自自左向右看左向右看图像是下降的像是下降的(2)单调区区间的定
2、的定义如果如果yf(x)在区在区间A上是增加的或是减少的，那么称上是增加的或是减少的，那么称A为单调区区间3.判断函数单调性的方法 (1)定义法定义法:利用定义严格判断利用定义严格判断. (2)利用函数的运算性质利用函数的运算性质:如若如若f(x),g(x)为增函数为增函数,则则 f(x)+g(x)为增函数为增函数; 为减函数为减函数(f(x)0); 为增函数为增函数(f(x)0); f(x)g(x)为增函数为增函数(f(x)0,g(x)0); -f(x)为减函数为减函数.主要适用于抽象函数或已知函数主要适用于抽象函数或已知函数.复复合合函函数数fg(x)的的单单调调性性与与构构成成它它的的函
3、函数数u=g(x),y=f(u)的的单调性密切相关单调性密切相关,其规律如下：其规律如下：函数函数 单调性单调性 u=g(x)增增增增减减 减减 y=f(u)增增减减增增减减y=fg(x)增增减减减减增增（3 3）复合函数的单调性）复合函数的单调性同增异减同增异减 2函数的最值（数形结合）函数的最值（数形结合）前提前提设函数函数yf(x)的定的定义域域为D，如果存在如果存在实数数M满足足条件条件(1)对于任意于任意xD，都都有有_；(2)存在存在x0D，使得，使得_.(3)对于任意于任意xD，都都有有_；(4)存在存在x0D，使得，使得_.结论M为最大最大值M为最小最小值f(x)Mf(x0)M
4、f(x)Mf(x0)M两种形式两种形式设任意任意x1，x2a，b且且x1x2，那么，那么【助学助学微博微博】两条结论两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的开区间上的“单峰单峰”函数一定存在最大函数一定存在最大(小小)值值(1)定定义图像关于原点像关于原点对称的函数叫作奇函数称的函数叫作奇函数图像关于像关于y轴对称的函数叫作偶函数称的函数叫作偶函数(2)判断函数的奇偶性，一般都按照定判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格格进行，一般步行，一般步骤是
5、：是：考考查定定义域是否关于原点域是否关于原点对称称1奇、偶函数奇、偶函数考考查表达式表达式f(x)是否等于是否等于f(x)或或f(x)：若若f(x)_，则f(x)为奇函数；奇函数；若若f(x)_，则f(x)为偶函数；偶函数；若若f(x)f(x)且且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；既是奇函数又是偶函数；若若f(x)f(x)且且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数非偶函数f(x)f(x)相反相反(3)性质性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单
6、调性偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_相同相同(4)性质性质任何一个定义域关于原点对称的函数均可以任何一个定义域关于原点对称的函数均可以表示为一个奇函数表示为一个奇函数+一个偶函数一个偶函数（5）性质）性质(1)若奇函数若奇函数f(x)在在x0处有定义，则处有定义，则f(0)0. (2)设设f(x)，g(x)的定义域分别是的定义域分别是D1，D2，那，那么在它们的公共定义域上：么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶奇偶，偶偶偶，偶偶偶偶，奇偶，奇偶奇常数偶奇常数*奇奇=奇，常数奇，常数*偶偶=偶。偶。奇偶非奇非偶奇偶非奇非偶(1)周期函数：周期函数：对于函数于函数yf
7、(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得当，使得当x取定取定义域内的任何域内的任何值时，都有，都有_，那么就称函数那么就称函数yf(x)为周期函数，称周期函数，称T为这个函数的周期个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中_的正数，那么的正数，那么这个最小正数就叫作个最小正数就叫作f(x)的的最小正周期最小正周期2周期性周期性f(xT)f(x)存在一个最小存在一个最小Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)1，f(1)f(2)f(3)又函数又函数f(x)loga
8、|x|为偶函数，所以偶函数，所以f(2)f(2)，所以，所以f(1)f(2)0，得，得x1x2，故，故f(x1)f(x2)，即，即f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2)0，则f(x1)f(x2)的的值()A(1,0)B(1,0)(0,1C(0,1)D(0,1解析解析f(x)x22ax的的对称称轴为xa，要使，要使f(x)在在1,2上上为减函数，必减函数，必须有有a1，又，又g(x)(a1)1x在在1,2上是减函上是减函数，所以数，所以a11，即，即a0，故，故00时，f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2)，函数函数f(x)在在(1，1)上上递减；减；当当a0时，f(x1
9、)f(x2)0，即，即f(x1)0且且f(x)在在(1，)内内单调递减，求减，求a的取的取值范范围a0，x2x10.要使要使f(x1)f(x2)0，只需，只需(x1a)(x2a)0恒成立，恒成立，a1.综上所知上所知0x2，则x1x20.f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即，即f(x1)x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即，即f(x1)0的的x的取值范围：的取值范围：(1,0)(1，)5(2013铜川川模拟模拟)设函数函数
10、f(x)是定是定义在在R上的奇函数，若上的奇函数，若当当x(0，)时，f(x)lgx，则满足足f(x)0的的x的取的取值范范围是是_【例例1】(2013广州模拟广州模拟)判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：考向一考向一函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断审题视点审题视点确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是是否否关于原点对称若对称，再验证关于原点对称若对称，再验证f(x)f(x)或其等或其等价形式价形式f(x)f(x)0是是否否成立成立(3)当当x0，f(x)(x)2xx2xf(x)；当当x0时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(
11、x)f(x)是奇函数是奇函数(1)求求f(1)的的值；(2)判断判断f(x)的奇偶性并的奇偶性并证明你的明你的结论；(3)如果如果f(4)1，f(x1)2，且，且f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数，求求x的取的取值范范围审题视点审题视点利用函数奇偶性的定义判断根据已知，利用函数奇偶性的定义判断根据已知，恰恰当当赋赋值，变值，变换换出符合定义的条件出符合定义的条件解解(1)对于任意对于任意x1，x2D，有，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令令x1x21，得，得f(1)2f(1)，f(1)0.考向二考向二函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用【例例2】函数函数f(x)的定的定义域域为Dx|
12、x0，且，且满足足对于任于任意意x1，x2D，有，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(3)依依题设有有f(44)f(4)f(4)2，由由(2)知，知，f(x)是偶函数是偶函数f(x1)2f(|x1|)f(16)又又f(x)在在(0，)上是增函数上是增函数0|x1|16，解之得，解之得15x17且且x1.x的取的取值范范围是是x|15x17且且x1抽象函数奇偶性的判断方法抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，利用函数奇偶性的定义，找找准方向准方向(想想办办法出法出现现f(x)、f(x)；(2)巧妙赋巧妙赋值，合理、灵活地变形值，合理、灵活地变形配凑配凑；(3)找找出出f(x)与与
13、f(x)的关的关系系，得出结论，得出结论考向三考向三函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性3设f(x)是定是定义在在R上的奇函数，且上的奇函数，且对任意任意实数数x，恒有，恒有f(x2)f(x)当当x0，2时，f(x)2xx2.(1)求求证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)当当x2，4时，求，求f(x)的解析式；的解析式；(3)计算算f(0)f(1)f(2)f(2013)审题视点审题视点(1)只需证明只需证明f(xT)f(x)，即可说明，即可说明f(x)是是周期周期函数；函数；(2)由由f(x)在在0，2上的解析式求得上的解析式求得f(x)在在2，0上上的解析式，进而求得的解析式，进而
14、求得f(x)在在2，4上的解析式；上的解析式；(3)由由周期周期性求和的值性求和的值(1)证明证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期是周期为4的周期函数的周期函数(2)解解x2，4，x4，2，4x0，2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即即f(x)x26x8，x2，4(3)解解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又又f(x)是周期是周期为4的周期函数，的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)
15、f(1)f(2)f(2013)f(2012)f(2013)f(0)f(1)1.A2B2 C98D98解析解析f(x4)f(x)，f(x)是是周期周期为为4的函数，的函数，f(7)f(241)f(1)，又，又f(x)在在R上是奇函数，上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而当，而当x(0,2)时，时，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2，故选，故选A.【训练训练3】(2013榆林质检榆林质检)已知已知f(x)在在R上是奇函数，且上是奇函数，且满足足f(x4)f(x)，当，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于等于()答案答案A【真题探究真题探究1】(2
16、012陕西陕西)下列函数中，既是奇函数又下列函数中，既是奇函数又是增函数的是增函数的为()教你审题教你审题先确定奇函数，再确定函数单调递增先确定奇函数，再确定函数单调递增解法解法选项A为一次函数，不是奇函数，是增函数；一次函数，不是奇函数，是增函数；选项B是奇函数，不是增函数；是奇函数，不是增函数；选项C是反比例函数，是反比例函数，为奇函奇函数，不是增函数；数，不是增函数；选项D，去，去绝对值号，号，变为分段函数，分段函数，符合符合题意意答案答案D【试一试试一试1】(2012天津天津)下列函数中，既是偶函数，又在区下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的内是增函数的为() 答案答案B
