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1、第四章 根轨迹法 4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本规则4.3 广义根轨迹 4.4 线性系统性能的根轨迹分析法一、本章内容提要一、本章内容提要:1 1介介绍绍已已知知系系统统开开环环传传递递函函数数的的极极点点、零零点点的的条条件件下下确确定定闭闭环环系系统统的的根根轨轨迹迹法法，并并分分析系统参量变化时对闭环极点位置的影响；析系统参量变化时对闭环极点位置的影响；2 2根根据据闭闭环环特特征征方方程程得得到到相相角角条条件件和和幅幅值值条件由此推出绘制根轨迹的基本法则；条件由此推出绘制根轨迹的基本法则；3 3根根轨轨迹迹绘绘制制：常常规规根根轨轨迹迹、参参数数根根轨轨迹迹、根
2、轨迹曲线族、零度根轨迹根轨迹曲线族、零度根轨迹; ;4 4根轨迹法分析系统性能根轨迹法分析系统性能 二、本章教学目的及要求二、本章教学目的及要求:1 1掌掌握握根根轨轨迹迹的的基基本本概概念念；正正确确理理解解开开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义；环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义；2 2掌握控制系统根轨迹的绘制方法；掌握控制系统根轨迹的绘制方法；3 3正正确确绘绘制制出出不不同同参参量量变变化化时时系系统统的的根根轨迹图。轨迹图。4 4能能够够运运用用根根轨轨迹迹法法对对控控制制系系统统进进行行分分析；析；5 5更进一步体会闭环零、极点的分布和更进一步体会闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的
3、定性关系。系统阶跃响应的定性关系。 三、本章重点、关键、难点本章重点、关键、难点1重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹图分析控制系统2关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件3难点：广义根轨迹的绘制 四、本章学习方法四、本章学习方法通过具体习题练习和总结记忆掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对应根轨迹的大致图形。 切记：没有时域分析法的基础，根切记：没有时域分析法的基础，根轨迹法只是一个轨迹法只是一个“空中楼阁空中楼阁”。离。离开时域分析法来谈根轨迹方法是没开时域分析法来谈根轨迹方法是没有意义的，所以在学习根轨迹方法有意义的，所以在学习根轨迹方法的时候要注意联系
4、时域分析法的知的时候要注意联系时域分析法的知识和结果。事实上，根轨迹方法只识和结果。事实上，根轨迹方法只是时域分析方法的一种辅助图解法。是时域分析方法的一种辅助图解法。两者正好相辅相成，并共同创造了两者正好相辅相成，并共同创造了一个完美的组合。一个完美的组合。第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法项目内容教学目的理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实质目的，初步理解根轨迹的条件和作图方法。 教学重点掌握根轨迹的基本概念。根轨迹的定义及根轨迹方程，幅角条件和幅值条件。教学难点深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零极点的关系，根轨迹图上反映出的系统信息。讲授技巧及注意事项紧紧依
5、靠时域分析所建立起来的基本概念，尽可能地用已学过的知识导出新知识。4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念欠阻尼零阻尼负阻尼过阻尼临界阻尼思考：零极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系引言引言1.不同研究内容所需的传递函数：不同研究内容所需的传递函数：B(s)E(s)闭环传递函数：闭环传递函数：闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数误差传递函数误差传递函数闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程研究动态研究动态性能性能研究稳态性能研究稳态性能研究稳定性研究稳定性2.三大性能同各个传递函数的关系三大性能同各个传递函数的关系1）稳定性：用）稳定性：用 分析，分析， 只同开环传递函数有只同开环传
6、递函数有关；实质上是研究关；实质上是研究闭环极点闭环极点的分布。的分布。2）稳态性能：用）稳态性能：用 ，也是只于开环传，也是只于开环传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的极点极点个个数和数和开环增益开环增益。3）动态性能：用）动态性能：用 和和这时，不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函这时，不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函数中的前向通路传递函数相关。研究数中的前向通路传递函数相关。研究闭环系统的零极点闭环系统的零极点及及闭闭环增益。环增益。3.分析方法及思路分析方法及思路1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点：
7、）从数学模型的建立看开环传递函数的特点：物理元件物理元件典型环节典型环节开环结构开环结构闭环结构闭环结构系统数学模型系统数学模型（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极点，点，-很容易获得；很容易获得；（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利；这一点对分析系统和改造系统非常有利；（3）可以直接求取稳态误差；）可以直接求取稳态误差； (4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有
8、简单的关系。简单的关系。2)一个美好的愿望：一个美好的愿望：开环零极点图开环零极点图+开环增益开环增益闭环零极点全部可能的分布图闭环零极点全部可能的分布图分分析系统的三大类性能。析系统的三大类性能。一、根轨迹定义（纯数学定义）：一、根轨迹定义（纯数学定义）：设方程设方程(注意这个方程的形式同特征方程的关系注意这个方程的形式同特征方程的关系)。式中，式中， 为实常数，为实常数， 为可变参数。为可变参数。4.1 根轨迹法的基本概念 为该方程的为该方程的n个根，每选择个根，每选择一个一个K*值，就有一组根与之对应，在自变量值，就有一组根与之对应，在自变量s平面上平面上就会有一组极点与之对应，换一个就
9、会有一组极点与之对应，换一个K*值，会有一组值，会有一组新的极点与之对应，当新的极点与之对应，当K*在实数范围内连续变化时，在实数范围内连续变化时，对应的对应的n个根就会在个根就会在s平面内形成平面内形成n条轨迹线，这些轨条轨迹线，这些轨迹线就称为该方程的根轨迹。迹线就称为该方程的根轨迹。设设1.当当 时，特征方程根形成的时，特征方程根形成的轨迹称为常规根轨迹。轨迹称为常规根轨迹。2.当当 时，特征方程根形成的时，特征方程根形成的轨迹称为补根轨迹或余根轨迹。轨迹称为补根轨迹或余根轨迹。3.当当 时，特征方程根形成的时，特征方程根形成的轨迹称为完全根轨迹（简称全根轨迹），他轨迹称为完全根轨迹（简
10、称全根轨迹），他是根轨迹与补根轨迹的总称。是根轨迹与补根轨迹的总称。4.当特征方程有一个以上的参数在变化时，当特征方程有一个以上的参数在变化时，方程的根轨迹形成族。称作广义根轨迹或根方程的根轨迹形成族。称作广义根轨迹或根轨迹族。轨迹族。并且：并且：例4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函数为 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在s平面上全部可能的分布情况。 解解 系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根是特征方程的根是设设 的变化范围是的变化范围是0, 0, ），当当 时时, , （正好是开环极点）（正好是开环极点）; ;当当 时，时， 与与
11、 为不相等的两个负实根；为不相等的两个负实根；当当 时，时， 为等实根；为等实根；讨论： 当1/2 mnm时，就等于时，就等于 。n=mn=m时，时， 对于单位反馈，对于单位反馈，注注意意闭闭环环传传递递函函数数三三要要素素说明：说明：比较比较和提问：n=m时如何？ 三、根轨迹增益 与开环增益K的关系 由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为 （4-6） 式中 是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（ ）,型系统（ ）或型系统（ ）等。 将（4-4）代入（4-6）可得 开环系统的根轨迹增益 与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点
12、和极点有关。 由式（4-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系统的开环传递函数的分子分母的最高阶次项的系数为1时的比例因子。在例4-1中系统的开环传递函数为 其开环增益为 对于本系统，根轨迹增益 与开环增益K间的关系为 ，它们之间仅相差一个比例常数2。 四、根轨迹与系统性能 以图4-1为例进行说明 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则可
13、由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 动态性能 当0 1时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。 根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点随着开环根轨迹增益的变化而变化的全部可能分布,并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析。一旦闭环极点确定，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由式（4-5）直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。4.2 绘制根轨迹的规则 一、绘制根轨迹的依
14、据 在上节已指出，根轨法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。由例4-1可看出，根轨迹是系统的开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程为 基本公式：基本公式：幅值条件：幅值条件：相角条件：相角条件：基本公式：为已知。可变参数。可变参数。S为试探研究点。为试探研究点。 综上分析，可以得到如下结论： 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值 的大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。 绘制根轨
15、迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关。即 值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。 在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。 由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。用角度表示的相角条件为：用角度表示的相角条件为：这就是绘制根轨迹图的钥匙和关键：这就是绘制根轨迹图的钥匙和关键：以以试试探探点点s s为为交交点点，以以相相角角条条件件为为依依据据，寻寻找找并并确确定定所所有有满满足足相相角角条条件件的的点点的的集合，即根轨迹曲线族。集合，即根轨迹曲线族。绘图
16、基本思想绘图基本思想1.根据相角条件确定根轨迹上的一个点；2.由幅值条件确定根轨迹该点对应的增益；3.重复1.和2. 注意：凡是满足根轨迹方程相角条件的注意：凡是满足根轨迹方程相角条件的s s平平面上的点都是根轨迹上的点，凡是不满足相面上的点都是根轨迹上的点，凡是不满足相角条件的点都不是根轨迹上的点。角条件的点都不是根轨迹上的点。二、绘制根轨迹的基本规则二、绘制根轨迹的基本规则 通通常常，我我们们把把以以开开环环根根轨轨迹迹增增益益 为为可可变变参参数数绘绘制制的的根根轨轨迹迹叫叫做做普普通通根根轨轨迹迹（或或一一般般根根轨轨迹迹）。绘绘制普通根轨迹的基本规则主要有制普通根轨迹的基本规则主要有
17、7 7条：条：1.1.根轨迹的起点与终点；根轨迹的起点与终点；2.2.根轨迹的分支数；根轨迹的分支数；3.3.实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；4.4.根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；5.5.根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点；6.6.根轨迹的起始角和终止角；根轨迹的起始角和终止角；7.7.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。 规则一规则一 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 幅值条件可写成幅值条件可写成 当当 ，必须有，必须有 此此时时，系系统统的的闭闭环环极极点点与与开开环环极极点点相相同同( (重重合合) )，我我们们把把开开环环极极点点称称为为根根轨轨迹迹的的起起点点，
18、它它对对应应于于开开环环根根轨轨迹迹增益增益 。 当当 时时，必必须须有有 ，此此时时，系系统统的的闭闭环环极极点点与与开开环环零零点点相相同同( (重重合合) )，我我们们把把开开环环零零点点称称为为根根轨轨迹迹的的终终点点，它它对对应应于于开开环环根根轨轨迹迹增增益益 。注意：离开公式不推导 下面分三种情况讨沦。下面分三种情况讨沦。 1 1当当m=nm=n时时，即即开开环环零零点点数数与与极极点点数数相相同同时时，根根轨迹的起点与终点均为有限的值。轨迹的起点与终点均为有限的值。 2 2当当mnmnmn时时，即即开开环环零零点点数数大大于于开开环环极极点点数数时时，除除有有n n条条根根轨轨
19、迹迹起起始始于于开开环环极极点点( (称称为为有有限限极极点点) )外外，还还有有m-nm-n条条根根轨轨迹迹起起始始于于无无穷穷远远点点( (称称为为无无限限极极点点) )。这这种种情情况况在在实实际际的的物物理理系系统统中中虽虽不不会会出出现现，但但在在参参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。结结论论：根根轨轨迹迹起起始始于于开开环环极极点点 ，终终止止于于开开环环零零点点（ ) )；如如果果开开环环极极点点数数n n大大于于开开环环零零点点数数m m，则则有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于s s平平面面的的无无穷穷远远处处(
20、(无无限限零零点点) )，如如果果开开环环零零点点数数m m大大于于开开环环极极点点数数n n，则则有有m-nm-n条条根根轨轨迹迹起起始始于于s s平面的无穷远处平面的无穷远处( (无限极点无限极点) )。 规则二规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 根根轨轨迹迹的的分分支支数数即即根根轨轨迹迹的的条条数数。既既然然根根轨轨迹迹是是描描述述闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的根根（即即闭闭环环极极点点）在在S S平平面面上上的的分分布布，那那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由由例例4-14-1看看出
21、出，系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益 ( (实实变变量量）与与复复变变量量s s有有一一一一对对应应的的关关系系，当当 由由零零到到无无穷穷大大连连续续变变化化时时，描描述述系系统统特特征征方方程程根根的的复复变变量量s s在在平平面面上上的的变变化化也也是是连连续续的的，因此，根轨迹是因此，根轨迹是n n条连续的曲线。条连续的曲线。 由由于于实实际际的的物物理理系系统统的的参参数数都都是是实实数数，若若它它的的特特征征方方程程有有复复数数根根，一一定定是是对对称称于于实实轴轴的的共共轭轭复复根根，因因此此，根根轨轨迹迹总总是对称于实轴的。是对称于实轴的。 结结论论：根根轨轨迹迹的的分分支
22、支数数等等于于系系统统的的闭闭环环极极点点数数。根根轨轨迹迹是是连续且对称于实轴的曲线。连续且对称于实轴的曲线。例例4-3 4-3 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 其中其中 、 、 、 、 为实极点和实零点，为实极点和实零点， 为共轭复数零、极点，它们为共轭复数零、极点，它们在在s s平面上的分布如图平面上的分布如图4-44-4所所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。 实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即 规则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 若若实实轴轴上上
23、某某线线段段右右侧侧的的开开环环零零、极极点点的的个个数数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。图4-4 实轴上的根轨迹 选选择择s so o作作为为试试验验点点。开开环环极极点点到到s s0 0点点的的向向量量的相角为的相角为开开环环零零点点到到s s0 0点点的的向向量量的相角为的相角为 在在确确定定实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹上上时时，可可以以不不考考虑虑复复数数开开环环零零、极极点点对对相相角的影响。角的影响。 实实轴轴上上，s s0 0点点左左侧侧的的开开环环极极点点P P3 3和和开开环环零零点点z z2 2构构成成的的向向量量的的夹夹角角均均
24、为为零零度度，而而s s0 0点点右右侧侧的的开开环环极极点点P P1 1 、P P2 2和和开开环环零零点点z z1 1构构成成的的向向量量的的夹夹角角均均为为180180o o。若若s s0 0为为根根轨轨迹迹上上的点，必满足相角条件。的点，必满足相角条件。 结论：只有结论：只有s s0 0点右侧实轴上的点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。奇数时，才满足相角条件。 注意这里用的方法注意这里用的方法p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0131424323 规则四规则四 渐近线渐近线 当当开开环环极极点点数数n n大大于于开开
25、环环零零点点数数m m时时，系系统统有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于S S平平面面的的无无穷穷远远处处，这这n-mn-m条条根根轨轨迹迹变变化化趋趋向向的的直直线线叫叫做做根根轨轨迹迹的的渐渐近近线线，因因此此，渐渐近近线线也也有有n-mn-m条条，且且它它们们交交于于实实轴轴上上的的一一点。点。 渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向和与实轴正方向的交角的交角 分别为分别为证明：式中式中用多项式用多项式除法可得除法可得当当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：值非常大时，开环传递函数可以近似为：由特征方程由特征方程1+G(s)H(s)=0得渐进线方程为：得渐
26、进线方程为：二项式定理：二项式定理：当当s值非常大时，近似有值非常大时，近似有则则渐近线方程变为渐近线方程变为渐近线方程的几何表示：渐近线方程的几何表示：得得渐近线与实轴的交点和同正实轴的夹角渐近线与实轴的交点和同正实轴的夹角 在例在例4-14-1中，开环传递函数为中，开环传递函数为 开环极点数开环极点数n=2,n=2,开环零点开环零点数数m=0,n-m=2,m=0,n-m=2,两条渐近线两条渐近线在实轴上的交点位置为在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为它们与实轴正方向的交角分别为 和和 ，两条渐近线正好与，两条渐近线正好与 时的根轨迹重合。时的根轨迹重合。 图例图例 例例4-
27、-2 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。解解 对于该系统有对于该系统有n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三条渐近线与三条渐近线与 实轴交点位置为实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是它们与实轴正方向的交角分别是 渐近线如图渐近线如图4-34-3所示。所示。 图4-3 根轨迹的渐近线 规则五规则五 根轨迹的分离点根轨迹的分离点 分分析析例例4-14-1，当当系系统统开开环环增增益益 由由零零到到无无穷穷大大变变化化时时，两两 条条 根根 轨轨 迹迹 先先 在在 实实 轴轴 上上 相相 向向 运运 动动
28、(0 (0 1), 1), 相相 遇遇 在在 点点 ，当当 1 1后后，离离开开实实轴轴进进入入s s平平面面，且且离离开开实实轴轴时时，根根轨轨迹迹与与实实轴轴正正交交。我我们们称称该该点点为为根根轨轨迹迹的的分分离离点点。实实际际上上, , 点点是是例例4-14-1系系统统特特征征方方程程的的等等实实根根。一一般般，常常见见的的根根轨轨迹迹分分离离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。 若若根根轨轨迹迹位位于于实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环极极点点之之间间（其其中中一一个个可可以以是是无无限限极极点点），则则在在这这两两个个极极点点之之间间至
29、至少少存存在在一一个个分分离离点点；若若根根轨轨迹迹位位于于实实轴轴上上两两个个相相邻邻的的开开环环零零点点之之间间（其其中中一一个个可可以以是是无无限限零零点点），则则在在这这两两个个零零点点之之间间也也至至少少有有一一个个分分离离点点。如如图图4-54-5上上的的分分离离点点 和和 。分分离离点点也也可可能能以以共共轭轭形形式式成成对对出出现现在在复复平平面面上上，如如图图4-64-6中中的的分分离离点点A A和和B B。显显然然，复复平平面面上上的的分分离离点点表表明明系系统统特特征征方方程程的的根根中中至至少少有有两两对对相相等等的的共轭复根存在。共轭复根存在。图4-5 实轴上根轨迹的
30、分离点 图4-6复平面上的分离点 由由上上面面分分析析可可知知，根根轨轨迹迹的的分分离离点点，实实质质上上就就是是系系统统特特征征方方程程的的重重实实根根（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。 系统的特征方程可写成系统的特征方程可写成 （4-224-22） 对式对式（4-224-22）求导可得）求导可得 （4-234-23） 式式（4-234-23）称称为为分分离离点点方方程程。对对于于一一个个n n阶阶系系统统，解解式式（4-234-23）可可得得到到n-1n-1个根个根 分离点方程的另一种形式为分离点方程的另一种形式为 （4
31、-244-24） 式中，式中， 为开环零点的数值，为开环零点的数值， 为开环极点的数值。为开环极点的数值。当开环系统无有限零点时，则在方程（当开环系统无有限零点时，则在方程（4-244-24）中，应取）中，应取 。此时，分离点方程即为。此时，分离点方程即为 （4-254-25） 只只有有那那些些在在根根轨轨迹迹上上的的解解才才是是根根轨轨迹迹的的分分离离点点。若若在在这这些些根根中中有有共共轭轭复复根根，如如何何判判断断是是否否在在根根轨轨迹迹上上，是是一一个个比比较较复复杂杂的的问问题题，由由于于只只有有当当开开环环零零、极极点点分分布布非非常常对对称称时时，才才会会出出现现复复平平面面上上
32、的的分分离离点点（如如图图4-64-6所所示示）. .因因此此，用用观观察察法法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。对于例对于例4-14-1，由式（，由式（4-234-23）可得分离点方程）可得分离点方程 即即 解解得得 ， 位位于于实实轴轴根根轨轨迹迹上上（由由0 0到到-2-2的的线线段段上），故它是实轴上的分离点。上），故它是实轴上的分离点。例例4- -4 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点试求出系统根轨迹与实轴的交点。 解解 本系统无有限开环零点，由式（本系统无有限开环零点，由
33、式（4-254-25） 可得可得 即即 解出解出 ， 由由规规则则五五知知，实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹为为-1-1到到-2-2线线段段和和-3-3到到-线段。线段。 不在上述两线段上，应舍去。不在上述两线段上，应舍去。 是是实实轴轴根根轨轨迹迹上上的的点点，所所以以是是根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分离离点点。运运用用前前面面的的六六条条规规则则，可可绘绘制制如如图图4-74-7所所示示的的根根轨迹图轨迹图。图4-7 根轨迹的分离点 规则六规则六 起始角与终止角起始角与终止角 当当开开环环传传递递函函数数中中有有复复数数极极点点或或零零点点时时，根根轨轨迹迹是是沿沿着着什什么么方方向向离
34、离开开开开环环复复数数极极点点或或进进入入开开环环复复数数零零点点的的呢呢？这这就就是是所所谓谓的的起起始始角角和和终终止止角角问题问题, 先给出定义如下：先给出定义如下： 起始角起始角 根轨迹离开开环复数极点根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-4-8 8（a a）中的中的 和和 。 终止角终止角 根轨迹进入开环复数零点根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-4-8 8（b b）中的中的 和和 。图4-8(a) 根轨迹的起始角和终止角 图4-8(b)根轨迹的起始角和终
35、止角通过例通过例4-54-5来分析起始角与终止角的大小来分析起始角与终止角的大小。例例4-5 4-5 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 且且p p1 1和和p p2 2为一对共轭复数极点，为一对共轭复数极点，p p3 3和和 z z1 1分别为实极点分别为实极点和实零点，它们在和实零点，它们在s s平面上的分布如平面上的分布如图图4-94-9所示。试依所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p p1 1和和p p2 2 的起的起始角始角 和和 。图4-9 起始角 的求取 对于根轨迹上无限靠近对于根轨迹上无限靠近p p1 1的点的点A A
36、，由相角条件可得由相角条件可得 由于由于A A点无限靠近点无限靠近 点，点， 推广为一般情况可得求起始角的关系式为推广为一般情况可得求起始角的关系式为同理，可得到求终止角的关系式为同理，可得到求终止角的关系式为规则七规则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点就就是是闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的纯纯虚虚根根（实部为零）。这时，用（实部为零）。这时，用 代入特征方程可得代入特征方程可得 即即由此可得虚部方程和实部方程为由此可得虚部方程和实部方程为 解解虚虚部部方方程程可可得得角角频频率率 ，即即根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点的的坐坐标标值值；用
37、用 代代入入实实部部方方程程，可可求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 。 的的物物理理含含义义是是使使系系统统由由稳稳定定（或或不不稳稳定定）变变为为不不稳稳定定（或或稳稳定定）的的系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值。它它对对如如何何选选择择合合适适的的系系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。例例4-6 4-6 试求出试求出例例4-44-4中根轨迹与虚轴的交点中根轨迹与虚轴的交点 及相及相应的开环根轨迹增益的临界值应的开环根轨迹增益的临界值 。解解 由例由例4-44-4知系统的开环传递函数为知系统的
38、开环传递函数为其特征方程是其特征方程是令令 并代入特征方程得并代入特征方程得其虚部和实部方程分别为其虚部和实部方程分别为 解虚部方程得解虚部方程得 由于由于 不是根轨迹上的点，应舍去不是根轨迹上的点，应舍去. . 故故 为根轨迹与虚轴的两个交点。为根轨迹与虚轴的两个交点。 将将其其代代入入实实部部方方程程便便可可求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临界值临界值 。 系统的根轨迹如图系统的根轨迹如图4-104-10所示。所示。 当当系系统统的的阶阶次次较较高高时时，解解特特征征方方程程将将会会遇遇到到困困难难，此此时时可可用用劳劳斯斯判判据据求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益
39、益的的临界值临界值 和根轨迹与虚轴的交点和根轨迹与虚轴的交点 。图4-10 根轨迹与虚轴的交点 js1p2p3p-1-2-30)60( 3 . 3=rcKjrKdsrK)60( 3 . 3=rcK-j 以以上上七七条条规规则则是是绘绘制制根根轨轨迹迹图图所所必必须须遵遵循循的的基基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 根根轨轨迹迹的的起起点点（开开环环极极点点 ) )用用符符号号“ “ ”标标示；根轨迹的终点示；根轨迹的终点( (开环零点开环零点 ) )用符号用符号“ “ o ”o ”标示。标示。 根根轨轨迹迹由由起起点点到到终终点点是是随随系系统统
40、开开环环根根轨轨迹迹增增益益 值值 的的增增加加而而运运动动的的，要要用用箭箭头头标标示示根根轨轨迹迹运运动动的的方向方向。要要标标出出一一些些特特殊殊点点的的 值值，如如起起点点（ ) )，终终点点（ ) )；根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分离离点点d d ( ( ) )；与与虚虚轴轴的的交交点点 （ ）。还还有有一一些些要要求求标标出出的的闭闭环环极极点点 及及其其对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益 ，也也应应在在根根轨轨迹迹图图上上标标出出，以以便便于于进进行行系系统统的的分分析析与与综综合。合。例例4- -7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整
41、的根轨迹图试绘制该系统完整的根轨迹图。 解解 该系统的特征方程为该系统的特征方程为 这这是是一一个个三三阶阶系系统统，由由规规则则一一知知，该该系系统统有有三三条条根根轨轨迹在迹在s s平面上。平面上。三、绘制根轨迹图示例三、绘制根轨迹图示例由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴。 根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 由于没有开环零点（由于没有开环零点（m=0m=0）, , 三条根轨迹的终点均在无穷远处。三条根轨迹的终点均在无穷远处。 当当k=0k=0时时 当当k=1k=1时时 当当k=2k=2时时 由由规规则则
42、四四知知，可可求求出出根根轨轨迹迹三三条条渐渐近近线线的的交交点点位位置置和和它们与实轴正方向的交角。它们与实轴正方向的交角。 由由规规则则五五知知，实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹为为实实轴轴上上 到到 的的线段和由线段和由 至实轴上负无穷远线段。至实轴上负无穷远线段。 由由规规则则六六知知，根根轨轨迹迹与与实实轴轴的的交交点点（分分离离点点）是是方程方程 解的合理值，解得解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为离点应为 。 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。解虚部方程得解虚部方程得其其中
43、中 是是开开环环极极点点 对对应应的的坐坐标标值值，它它是是根根轨轨迹的起点之一。合理的交点应为迹的起点之一。合理的交点应为将将 代代入入实实部部方方程程得得到到对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 。绘绘制制出出该该系系统统的的根根轨轨迹迹图图如如图图4-114-11所示。所示。 由由规规则则八八，可可求求出出根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点 及及对对应应的的 开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 。用用 代代入入特特征征方方程得程得图4-11例4-7系统根轨迹图 解解 是是一一个个二二阶阶系系统统，在在S S平平面面上上有有两两条条连连续续且且对对称称于实轴
44、的根轨迹。于实轴的根轨迹。由由 开开 环环 传传 递递 函函 数数 可可 知知 ， 该该 系系 统统 有有 一一 个个 开开 环环 实实 零零 点点 和和一一对对开开环环共共轭轭复复数数极极 , , 根根轨轨迹迹的的起起点点为为 和和 ，其其终终点点为为 和和无穷远点无穷远点 。 由由规规则则五五知知，实实轴轴上上由由-2-2至至-的的线线段段为为实实轴轴上上的根轨迹的根轨迹。 例例4-8 4-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。由由规规则则六六，可可求求出出根根轨轨迹迹与与实实轴轴的的交交点点（分分离点）。分离点方程是离点）。
45、分离点方程是 即即 解方程可得解方程可得 不不在在实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹上上，舍舍去去，实实际际的的分离点为分离点为 。由由规规则则七七，可可求求出出开开环环复复数数极极点点（根根轨轨迹迹的的起起点）的起始角。点）的起始角。 证明证明 已知系统的开环零点和极点分别为已知系统的开环零点和极点分别为 ， ，令，令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，为根轨迹的任一点，由相角条件可得由相角条件可得 将将s s、 、 和和 代入得代入得 即即应用三角公式应用三角公式为为准准确确地地画画出出S S平平面面上上根根轨轨迹迹的的图图形形，运运用用相相角角条条件件可可证证明明本本系系统统在在S S平
46、平面面上上的的根根轨轨迹迹是是一一个个半半径径为为 ，圆心位于点，圆心位于点 的圆弧。的圆弧。 将上式等号左边合并可得到将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有将上式等号两边取正切，则有 方程表示在方程表示在S S平面上的根轨迹是一个圆心位于点平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径为、半径为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-124-12所示。所示。图4-12 例4-8系统的根轨迹图 由由本本例例不不难难发发现现，由由两两个个开开环环极极点点（实实极极点点或或复复数数极极点点）和和一一个个开开环环实实零零点点组组成成的的二二阶阶系系
47、统统，只只要要实实零零点点没没有有位位于于两两个个实实极极点点之之间间，当当开开环环根根轨轨迹迹增增益益 由由零零变变到到无无穷穷大大时时，复复平平面面上上的的闭闭环环根根轨轨迹迹，是是以以实实零零点点为为圆圆心心，以以实实零零点点到到分分离离点点的的距距离离为为半半径径的的一一个个圆圆（当当开开环环极极点点为为两两个个实实极极点点时时）或或圆圆的的一一部部分分（当当开开环环极极点点为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点时时）。这这个个结结论论在在数数学学上上的的严严格格证证明可参照本例进行。明可参照本例进行。将上例与图例比较将上例与图例比较 例例4- -9 已知系统的开环传递函数为已知系统的开
48、环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图试绘制该系统的根轨迹图。 解解 由由已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数可可得得到到它它的的特征方程为特征方程为 由由规规则则一一和和规规则则二二知知，该该系系统统的的根根轨轨迹迹共共有有4 4条条分分支（支（n=4n=4），），4 4条根轨迹连续且对称于实轴。条根轨迹连续且对称于实轴。由规则三知，由规则三知，4 4条根轨迹的起点分别是系统的条根轨迹的起点分别是系统的4 4个开环极点个开环极点, ,即即 ， 。由于系统无有。由于系统无有限开环零点（限开环零点（m=0m=0），），4 4条根轨迹的终点均在条根轨迹的终点均在S S平面的无穷远处平面的无穷
49、远处（无穷零点）。（无穷零点）。 渐近线与实轴正方向的交角为渐近线与实轴正方向的交角为 当当k = 0k = 0时，时， 当当k = 1k = 1时，时， 当当k = 2k = 2时，时， 当当k = 3k = 3时，时， 由规则四可求出由规则四可求出4 4条根轨迹渐近线与实轴的交点为条根轨迹渐近线与实轴的交点为 由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由0 0到到-2-2的线段。的线段。由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是离点方程是 即即 解方程得到解方程得到由规则七可求出复数极点由规则七可求出复
50、数极点 和和 的起始角的起始角 该该系系统统为为4 4阶阶系系统统，用用解解析析法法求求根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点 和和对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 比比较较困困难。下面采用劳斯判据求出难。下面采用劳斯判据求出 和和 的值。的值。 根据系统的特征方程列出劳斯表如下：根据系统的特征方程列出劳斯表如下： 1 6 4 4 0 5 0 0 令劳斯表中令劳斯表中 行的首项系数为零，求得行的首项系数为零，求得 ， 由由 行系数写出辅助方程为行系数写出辅助方程为 令令 ，并并将将 代代入入辅辅助助方方程程可可求求出出 。系统的根轨迹如图。系统的根轨迹如图4-134-13
51、所示。所示。0图4-13例4-9系统的根轨迹图4.3 广义根轨迹 前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益 为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便起见，或着重研究某个系统参数(如时间常数、反馈系数等)对系统性能的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益 作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹(或广义根轨迹)。一.参数根轨迹例4-10 已知系统的开环传递函数为 试绘制以时间常数 T 为可变参数的根轨迹。 解 系统的特征方程 或 用 除等式两边得 令 （4-35） 则有 （4-36） 称 为系统的等效开环传递函数。在等效开
52、环传递函数中，除时间常数T取代了普通根轨迹中开环根轨迹增益 的位置外，其形式与绘制普通根轨迹的开环传递函数完全一致，这样便可根据绘制普通根轨迹的七条基本规则来绘制参数根轨迹。 系统特征方程的最高阶次是3，由规则一和规则二知，该系统有三条连续且对称于实轴的根轨迹，根轨迹的终点(T=)是等效开环传递函数的三个零点，即 ；本例中，系统的等效开环传递函数的零点数m=3,极点数n=2，即mn。在前面已经指出，这种情况在实际物理系统中一般不会出现，然而在绘制参数根轨迹时，其等效开环传递函数却常常出现这种情况。 与nm情况类似，这时可认为有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处（无限极点）。因此，本例的三条根
53、轨迹的起点(T=0)分别为 ， 和无穷远处（无限极点）。 由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上-1至-线段。 由规则六可求出两个起始角分别为 由规则七可求出根轨迹与虚轴的两个交点，用 代入特征方程得 由此得到虚部方程和实部方程分别为 解虚部方程得 的合理值为 ， 代入实部方程求得 秒，所以 为根轨迹与虚轴的两个交点。图4-14 例4-10系统的根轨迹图 由根轨迹图可知，时间常数 秒时，系统处于临界稳定状态，T1秒时，根轨迹在S平面右半部，系统不稳定。由此可知，参数根轨迹在研究非开环根轨迹增益 对系统性能的影响是很方便的。 由上面的例子，可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下述两个步骤： 先根据系统的特
54、征方程 求出系统的等效开环传递函数 ，使 与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即其中 为除开环根轨迹增益 以外的任何参数，它是绘制参数根轨迹的可变参数。 根据绘制普通根轨迹的七条基本规则和等效开环传递函数 绘制出系统的参数根轨迹。（4-37）（注：此处的零极点是等效开环传递函数的零极点） 二 正反馈系统的根轨迹 正反馈系统的特征方程是 （4-38） 即 （4-39） 由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为 （4-40） （4-41） 与负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件相比知，正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同； 负反馈系统的根轨迹遵循180相角条件，而正反馈系统
55、的根轨迹遵循0相角条件。故正反馈系统根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应修改，这些规则是： 正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应为 （4-42） 正反馈系统在实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。 正反馈系统的起始角和终止角应为 下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹的绘制方法。例4-11 已知正反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 解：由系统的开环传递函数与例4-7相同。 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是由0至+线
56、段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向的夹角分别是0（k = 0）、120（k = 1）和-120（k = 2）。 在例4-7中，由规则五求出的极值方程的解有两个，即 和 ，对于例4-7的负反馈系统， 是根轨迹与实轴交点的合理值，因为它是实轴上根轨迹上的一点； 不在实轴的根轨迹上，故在例4-7中被舍去。 这种情况在本例中正好相反，由于是正反馈系统，实轴上的根轨迹改变了， 在实轴的根轨迹上，它是根轨迹与实轴交点（分离点）的合理值，而 不在实轴的根轨迹上，应舍去。由此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分离点时，应考虑规则三变化的影响。 本例无共轭复数开环零、极点，不存在起始
57、角和终止角问题，根轨迹与虚轴也无交点。本例的根轨迹如图4-16所示。由图4-16可看出，三条根轨迹中，有一条从起点到终点全部位于S平面右半部，这就意味着无论 为何值，系统都存在S平面右半部的闭环极点，该正反馈系统总是不稳定的。而有相同开环传递函数的负反馈系统(例4-7，图4-1l)，它的临界根轨迹增益 ，即当 时系统是不稳定的，当 时系统是稳定的。图4-16 正反馈系统的根轨迹三 非最小相位系统的根轨迹 所谓非最小相位系统，是指那些在S平面右半部有开环极点和（或开环零点）的控制系统。所有开环零点和极点都位于S平面左半部的系统叫最小相位系统。本章前面介绍的示例都是最小相位系统。非最小相位系统一词
58、源于对系统频率特性的描述，即在正弦信号的作用下，具有相同幅频特性的系统（或环节），最小相位系统的相位移最小，而非最小相位系统的相位移大于最小相位系统的相位移。 例4-12 已知负反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 解 该系统有一位于s平面右半部的开环极点（ ），是非最小相位系统。系统特征方程的最高阶次是4，由规则一、二知该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹。四条根轨迹的起点分别是它的四个开环极点: 根轨迹的一个终点是有限开环零点，即 ，其余三个终点均在无穷远处（无限零点）。 由规则四知，根轨迹的三条渐近线与实轴的交点为 渐近线与实轴正方向的夹角分别是60(k=0), 180(k
59、=1)和-60(k=2)。 由规则三知，实轴上的根轨迹是由0至1线段和-1至-线段。 由规则五的分离点方程可求出根轨迹与实轴的交点，即由方程 得 ，解方程得到4个根分别为 ， ， , 显然， 和 为根轨迹与实轴交点的合理值，即 和 为根轨迹的分离点。 由规则六可求出共轭复数极点 和 的起始角分别为 根轨迹与虚轴无交点。该系统的根轨迹如图4-17所示。 该非最小相位系统除了有位于s平面右半部的开环零、极点外，其绘制根轨迹的规则和步骤与最小相位系统完全相同。需要指出的是，如果非最小相位系统是正反馈系统，在绘制根轨迹时应遵循前面介绍的0相角条件。图4-17 非最小相位系统的根轨迹若某负反馈系统的开环
60、传递函数为系统的特征方程为根轨迹方程与正反馈系统的一样，其幅值条件和相角条件分别为4.4 线性系统的根轨迹分析法 自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定，其动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析必须首先要解决的问题。解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但对四阶以上的高阶系统是很困难的。 根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它是在已知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究某个和某些参数的变化对系统闭环极点
61、分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。下面通过示例简要介绍用根轨迹分析控制系统的方法。 例4-13 已知单位反馈系统的开环传递函数为 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性和计算闭环主导极点具有阻尼比 时系统的动态性能指标。 解 先根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。 系统的特征方程是 或 由规则一、二知该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹，起点分别是系统的四个开环极
62、点，即 ， ， ， ；且四条根轨迹都趋向无穷远处。 由规则三知实轴上的根轨迹是由0至-1线段和由-2至-3线段。 由规则四可求出四条渐近线与实轴的交点为-1.5，它们与实轴正方向的夹角分别是 和 。 由规则六可求出根轨迹与实轴的两个交点（分离点）分别为，。 由劳斯判据求根轨迹与虚轴的交点，先根据特征方程列出劳斯表 1 11 6 6 0 10 0 0 由行的首项系数求得，用和代入行辅助方程得到根轨迹与虚轴的交点为。绘制出根轨迹的大致图形如图4-18所示。图4-18 例4-13的根轨迹图系统稳定性分析 由根轨迹图知，有两条从S平面左半部穿过虚轴进入S平面右半部，它们与虚轴的交点 ，且交点处对应的临
63、界开环根轨迹增益 。由开环根轨迹增益与系统开环放大系数K之间的关系可求出系统稳定的临界开环放大系数系统动态性能指标首先求出满足阻尼比时系统的主导极点的位置（假定、满足主导极点的条件）。方法是作等阻尼比线oA，使oA与实轴负方向的夹角 等阻尼比线oA与根轨迹的交点 即为满足阻尼比 系统的一个闭环极点（即系统特征方程的 一 个 根 ） 。 测 得 在 s平 面 上 的 坐 标 位 置 为 , 由 根 轨 迹 的 对 称 性 得 到 另 一 共 轭 复 数 极 点 为 。 由幅值条件可求出闭环极点 所对应的系统开环根轨迹增益 为将、和代入特征方程，由根和系数之间关系很容易得到另外两个闭环极点、，它们
64、也是一对共轭复数极点由此可计算出 共轭复数极点 与虚轴的距离是共轭复数极点 与虚轴的距离的九倍，且闭环极点 附近无闭环零点，这说明 、 满足主导极点的条件。 该系统可近似成由闭环主导极点构成的一个二阶系统，其闭环传递函数为此时对应的系统开环放大系数过渡过程时间 超调量 峰值时间 由此可求出系统的各项动态指标如下： 根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。 由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益 为何值，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右半部，则说明无论开环根轨迹增益 如
65、何改变，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨迹增益 大于临界值 时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨迹增益 的临界值 。这为分析和设计系统的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。通过上面的示例可以将用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤归纳如下： 根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法 （如作等阻尼比线
66、等）求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。二. 附加开环零、极点对根轨迹的影响 1.附加开环零点对根轨迹的影响 例4-14 已知系统的开环传递函数为 （a0）试用根轨迹法分析系统的稳定性。如果给该系统增加一个开环零点，试分
67、析附加开环零点对根轨迹的影响。解原系统的根轨迹如图4-19所示。由于根轨迹的两条分支全部位于s平面的右半部，故该系统无论为何值都是不稳定的。图4-19 原系统的根轨迹若给原系统增加一个负开环实零点 （b0），则开环传递函数为 当ba时，根轨迹渐近线与实轴的交点为 ，它们与实轴正方向的夹角分别为90和-90，三条根轨迹均在s平面左半部（如图4-20（a）所示）。这时，无论根轨迹增益 为何值，系统都是稳定的。当 b a时 ， 根 轨 迹 的 渐 近 线 与 实 轴 的 交 点 为 ，根轨迹如图4-20（b）所示，与原系统比较，虽然根轨迹的形状发生了变化，但仍有两条根轨迹全部位于s平面右半部，系统仍
68、然是不稳定的。图4-20(a) 附加开环零点对根轨迹的影响图4-20(b) 附加开环零点对根轨迹的影响sjs1P2P3P1Z)0(=rK2ab-b-a-ba0 由上面的分析可以看出，附加开环零点可使原来不稳定的系统变成稳定系统，但附加零点的取值要适当，否则便达不到预期的目的。例4-15已知系统的开环传递函数为试分析附加开环零点对系统性能的影响。解原系统的根轨迹如图4-21所示，由图4-21可看出，当系统开环根轨迹增益时，该系统有两条根轨迹进入S平面右半部成为不稳定系统。图4-21 例4-15原系统根轨迹 给原系统增加一附加负实零点 （ ），系统的开环传递函数为 此时，开环传递函数分子与分母的最
69、高阶次分别为n=3，m=1；n-m=2。因此根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角分别为90和-90，两条渐近线垂直于实轴，它们与实轴的交点坐标位置视附加零点的取值而改变，分别讨论如下。 （）当 时 ，渐近线与实轴的交点 渐近线位于S平面右半部，根轨迹如图4-22（a）所示。比较原系统的根轨迹（图4-21），虽然右边两条根轨迹形状发生了变化，但它们仍进入了平面右半部，当 时( 为增加了开环零点后的开环根轨迹与虚轴交点对应的临界值)，系统仍是不稳定的系统。图4-22(a) 例4-15中不同附加开环零点对根轨迹的影响（）当 时，渐近线与实轴的交点 渐近线位于S平面左半部，根轨迹如图4-22（b）所示。此时
70、系统的三条根轨迹全部位于S平面左半部，无论 为何值，系统都是稳定的系统。 （）当 时，渐近线与实轴的交点也小于零，根轨迹如图4-22（c）所示。 图4-22(b) 例4-15中不同附加开环零点对根轨迹的影响图4-22(c) 例4-15中不同附加开环零点对根轨迹的影响 比较图4-22（b）和4-22（c）会发现，前者的渐近线离虚轴的距离较后者近。因此，虽然从系统的稳定性角度看，二者是一样的，即无论 为何值系统都是稳定的。但从简化系统以便于分析系统的瞬态性能的角度看，条件（）所对应的图4-22（b）则优于条件（）所对应的图4-22（c）。这是因为图4-22（b）右边两条进入复平面的根轨迹离虚轴较近
71、，容易在其上面找到一对满足主导极点条件的共轭复数极点 （对应 ），这时便可将系统简化成闭环传递函数为 的二阶系统，而图4-22（c）所示系统不能满足这样的简化条件。 如图4-22（c）所示，如果 、 、 分别为对应的系统参数 的三个闭环极点，由于 ，共轭复数极点 、 不满足主导极点条件，系统不能简化成二阶系统。但如果在图4-22（c）中，闭环实极点 到虚轴的距离比闭环共轭复数极点 到虚轴的距离小五倍以上，也可将系统简化为由闭环实极点 决定的一阶系统。 综上分析，我们可以得到如下两点结论： 附加负实零点具有将S平面上的根轨迹向左“拉”的作用，且附加零点愈靠近虚轴，这种“拉力”愈强，反之亦然。因此
72、选择合适的附加零点有可能将系统的根轨迹从平面的右半部全部“拉”到S平面左半部，有利于改善系统的稳定性。 适当选择附加零点的大小，不仅可改善系统的稳定性，还可改善系统的动态性能和简化系统分析。如上例中满足条件（）的附加零点可使三阶系统简化成由主导极点 、 所确定的二阶系统，适当选择附加零点的大小，就可以使由 、 所确定的二阶系统满足响应速度和阻尼比的要求，这在工程实践上是很有用的。 例4-16 已知系统的开环传递函数为 （a0）其中 为附加开环极点，试分别绘制原系统（无附加开环极点）和a=0.5、a=2和a=6时系统的根轨迹图。 2 附加开环极点对根轨迹的影响 增加开环极点会使系统的阶次升高，一
73、般来说这是不希望的。但有时为了改善系统的某项性能指标（如限制频带宽度或减小稳态误差），附加开环极点也不失为一种有效途径。下面通过一个示例分析附加开环极点对根轨迹的影响。 解 根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则，将无附加开环极点的原系统和不同附加开环极点（不同a值）所对应的根轨迹的有关数据的计算结果列入表4-1中其对应的根轨迹图分别如图4-2（a）、（b）、（c）、（d）所示。 由四个根轨迹图可以看出，附加开环极点的大小不同（即不同的a值）对根轨迹的形状会产生很大的影响，即开环极点（同样也包括开环零点）在S平面上位置的微小变化，有可能引起根轨迹形状的重大变化，这一点务必给予足够的重视。
74、正是这种根轨迹形状的变化为系统的分析和设计提供了多种选择的可能。 表4-1 例4-16计算结果a项目无附加开环极点a=0.5a=2a=6起点终点渐近线交点：交角：、交点：交角：、交点：交角：、交点：交角：、根 轨 迹 与实 轴 的 交点无实 轴 上 的根轨迹0-0-0.50-20-6出射角根 轨 迹 与虚 轴 的 交点图4-23(a) 例4-16题图(附加开环极点对根轨迹的影响)图4-23(b) 例4-16题图(附加开环极点对根轨迹的影响)图4-23(c) 例4-16题图(附加开环极点对根轨迹的影响)j1图4-23(d) 例4-16题图 (附加开环极点对根轨迹的影响)1. 反馈控制系统的结构图
75、所示，试画出闭环系统的根轨迹在 和 两种情况下的大致根轨迹，并分析系统的稳定性。 课堂练习R(s)C(s)_2.已知单位负反馈系统的开环传递函数为要求（1）绘制系统的根轨迹，并由根轨迹分析系统的性能；（2）求出当时系统的单位阶跃响应，并说明响应有无超调。1.解系统的开环传递函数为式中，当时，闭环特征方程为按相角条件绘制根轨迹。根轨迹分布在实轴上，当时，闭环特征方程为其幅值条件和相角条件与正反馈系统的相同，故应按零度根轨迹的规则作图。实轴上的根轨迹为，复平面上的根轨迹为一圆。根轨迹与虚轴的交点及交点处的值可由劳斯判据求得。2.系统的根轨迹在复平面上的一部分是一个以有限零点-1为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的圆，分离点的坐标为，与它们对应的值为可由根轨迹分析系统的稳定性和振荡性。时系统的闭环传递函数为对于单位阶跃函数，系统的输出响应为其拉氏反变换为系统的闭环极点为-2，-5。系统虽无振荡特性，但由于系统存在的零点，所以响应有超调现象。当时间为0.4秒时，超调量为40%。可由 求得 的最大值和对应的时间。
