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1、 13.6 13.6 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入要点梳理要点梳理1.1.复数的有关概念复数的有关概念 (1) (1)复数的概念复数的概念 形如形如a a+ +b bi (i (a a, ,b bR R) )的数叫做复数，其中的数叫做复数，其中a a, ,b b分分 别是它的别是它的 和和 . .若若 ，则，则a a+ +b bi i为实数为实数, , 若若 ，则，则a a+ +b bi i为虚数为虚数, ,若若 ，则，则a a+ +b bi i 为纯虚数为纯虚数. . (2) (2)复数相等复数相等: :a a+ +b bi=i=c c+ +d di i ( (a a, ,b
2、 b, ,c c, ,d dR R).).实部实部虚部虚部b b=0=0b b00a a=0=0且且b b00a a= =c c且且b b= =d d基础知识基础知识 自主学习自主学习(3)(3)共轭复数共轭复数: :a a+ +b bi i与与c c+ +d di i共轭共轭 ( (a a, ,b b, ,c c, ,d dR R).).(4)(4)复平面复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面. . 叫做实轴，叫做实轴， 叫做虚轴叫做虚轴. .实轴上的点都表示实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各象
3、限内的点都表示各象限内的点都表示 . .(5)(5)复数的模复数的模向量向量 的模的模r r叫做复数叫做复数z z= =a a+ +b bi i的模，记作的模，记作 或或 ，即，即| |z z|=|=|a a+ +b bi|=i|= . .a a= =c c, ,b b=-=-d dx x轴轴y y轴轴实数实数纯虚数纯虚数非纯虚数非纯虚数| |z z| | |a a+ +b bi|i|2.2.复数的几何意义复数的几何意义 (1) (1)复数复数z z= =a a+ +b bi i 复平面内的点复平面内的点Z Z( (a a, ,b b) ) ( (a a, ,b bR R).). (2) (2
4、)复数复数z z= =a a+ +b bi i ( (a a, ,b bR R).).3.3.复数的运算复数的运算 (1) (1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则 设设z z1 1= =a a+ +b bi,i,z z2 2= =c c+ +d di (i (a a, ,b b, ,c c, ,d dR R),),则则 加法加法: :z z1 1+ +z z2 2=(=(a a+ +b bi)+(i)+(c c+ +d di)=i)= ; ; 减法减法: :z z1 1- -z z2 2=(=(a a+ +b bi)-(i)-(c c+ +d di)=i)= ; ; 乘
5、法乘法: :z z1 1z z2 2=(=(a a+ +b bi)i)( (c c+ +d di)=i)= ; ;( (a a+ +c c)+()+(b b+ +d d)i)i( (a a- -c c)+()+(b b- -d d)i)i( (acac- -bdbd)+()+(adad+ +bcbc)i)i除法除法: := = .(.(c c+ +d di0)i0)(2)(2)复数加法的运算定律复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z z1 1、z z2 2、z z3 3C C, ,有有z z1 1+ +z z2 2= = ,(,(z z
6、1 1+ +z z2 2)+)+z z3 3= = . .z z2 2+ +z z1 1z z1 1+(+(z z2 2+ +z z3 3) )基础自测基础自测1.1.(2009(2009北京理，北京理，1)1)在复平面内在复平面内, ,复数复数z z=i(1+2i)=i(1+2i) 对应的点位于对应的点位于( )( ) A. A.第一象限第一象限 B. B.第二象限第二象限 C. C.第三象限第三象限 D. D.第四象限第四象限 解析解析 z z=i(1+2i=i(1+2i）=-2+i,=-2+i,复数复数z z在复平面内在复平面内 对应的点为对应的点为Z Z（-2-2，1 1），该点位于第
7、二象限），该点位于第二象限. .B2.2.下列命题正确的是下列命题正确的是( )( ) (-i) (-i)2 2=-1;i=-1;i3 3=-i;=-i;若若a a b b, ,则则a a+i+ib b+i;+i; 若若z zC C，则，则z z2 20.0. A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 虚数不能比较大小，故虚数不能比较大小，故错误；错误； 若若z z=i,=i,则则z z2 2=-10,=-10,故故错误错误. .A3.3.（20082008浙江理，浙江理，1 1）已知已知a a是实数，是实数， 是纯虚是纯虚 数，则数，则a a等于等于( )( ) A.1A.1
8、 B.-1B.-1 C.C. D.-D.- 解析解析 因为该复数为纯虚数，所以因为该复数为纯虚数，所以a a=1.=1.A4.4.（20092009山东理，山东理，2 2）复数复数 等于等于( )( ) A.1+2i B.1-2i A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i C.2+i D.2-i 解析解析 C5.5.设设 为复数为复数z z的共轭复数，若复数的共轭复数，若复数z z同时满足同时满足 z z- =2i- =2i， =i=iz z，则，则z z= = . . 解析解析 =i=iz z, ,代入代入z z- - =2i=2i，得，得z z-i-iz z=2i,=2i,-1+
9、i-1+i题型一题型一 复数的概念及复数的几何意义复数的概念及复数的几何意义 已知复数已知复数 试求实数试求实数a a分别取什么值时，分别取什么值时，z z分别为：分别为： （1 1）实数；（）实数；（2 2）虚数；（）虚数；（3 3）纯虚数）纯虚数. . 根据复数根据复数z z为实数、虚数及纯虚数的为实数、虚数及纯虚数的 概念概念, ,利用它们的充要条件可分别求出相应的利用它们的充要条件可分别求出相应的a a值值. . 解解题型分类题型分类 深度剖析深度剖析（2 2）当）当z z为虚数时，为虚数时，a a-1-1且且a a66且且a a1.1.a a1 1且且a a6.6.当当a a(-,-
10、1)(-1,1)(1,6)(6,+)(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时，时，z z为虚数为虚数. .（3 3）当）当z z为纯虚数时，有为纯虚数时，有不存在实数不存在实数a a使使z z为纯虚数为纯虚数. . (1) (1)本题考查复数集中各数集的分类，本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解应先化为代数形式，再依据概念求解. .(2)(2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数形式的一般表达式形式的一般表达式. .如：对应点在直线如：
11、对应点在直线x x=1=1上，则上，则z z=1+=1+b bi i（b bR R）; ;对应点在直线对应点在直线y y= =x x上，则上，则z z= =a a+ +a ai i( (a aR R) )，在利用复数的代数形式解题时经常用到，在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点这一点. .知能迁移知能迁移1 1 已知已知m mR R，复数，复数 -3)i, -3)i,当当m m为何值时为何值时,(1),(1)z zR R；(2)(2)z z是纯虚数；是纯虚数； (3) (3)z z对应的点位于复平面第二象限；对应的点位于复平面第二象限；(4)(4)z z对应的对应的 点在直线点在直线x x
12、+ +y y+3=0+3=0上上. . 解解 (1) (1)当当z z为实数时为实数时, ,则有则有m m2 2+2+2m m-3=0-3=0且且m m-10-10 解得解得m m=-3,=-3,故当故当m m=-3=-3时，时，z zR R. . （2 2）当）当z z为纯虚数时为纯虚数时, ,则有则有 解得解得m m=0=0或或m m=2.=2. 当当m m=0=0或或m m=2=2时，时，z z为纯虚数为纯虚数. .（3 3）当）当z z对应的点位于复平面第二象限时对应的点位于复平面第二象限时, ,解得解得m m-3-3或或11m m22，故当，故当m m-3-3或或11m m22时，时
13、，z z对应对应的点位于复平面的第二象限的点位于复平面的第二象限. .（4 4）当）当z z对应的点在直线对应的点在直线x x+ +y y+3=0+3=0上时上时, ,当当m m=0=0或或m m=-1=-1 时，时，z z对应应的点在直线在直线x x+ +y y+3=0+3=0上上. .题型二题型二 复数相等复数相等 已知集合已知集合MM=(=(a a+3)+(+3)+(b b2 2-1)i-1)i，88，集合，集合 N N=3i,(=3i,(a a2 2-1)+(-1)+(b b+2)i+2)i同时满足同时满足MMN NMM，MMN N ，求整数，求整数a a、b b. . 解解 依题意得
14、（依题意得（a a+3+3）+ +（b b2 2-1-1）i=3i i=3i 或或8=(8=(a a2 2-1)+(-1)+(b b+2)i +2)i 或或a a+3+(+3+(b b2 2-1)i=-1)i=a a2 2-1+(-1+(b b+2)i +2)i 由由得得a a=-3,=-3,b b= =2,2, 经检验，经检验，a a=-3,=-3,b b=-2=-2不合题意，舍去不合题意，舍去. .判断两集合元素的关系判断两集合元素的关系列方程组列方程组分别解方程组分别解方程组检验结果是是否符合条条件a a=-3=-3，b b=2.=2.由由得得a a= =3,3,b b=-2.=-2.又
15、又a a=-3,=-3,b b=-2=-2不合题意不合题意.a a=3,=3,b b=-2.=-2.由由得得此方程组无整数解此方程组无整数解. .综合综合、得得a a=-3,=-3,b b=2=2或或a a=3,=3,b b=-2.=-2. 两复数相等的充要条件是：实部与实部两复数相等的充要条件是：实部与实部相等，虚部与虚部相等相等，虚部与虚部相等. .构建方程，解方程组体现构建方程，解方程组体现了方程的思想了方程的思想. .本题中，复数与集合的知识相结合本题中，复数与集合的知识相结合, ,体现了题目的灵活性体现了题目的灵活性. .知能迁移知能迁移2 2 已知复数已知复数z z的共轭复数是的共
16、轭复数是 ，且满足，且满足 z z+2i+2iz z=9+2i.=9+2i.求求z z. . 解解 设设z z= =a a+ +b bi (i (a a, ,b bR R) )，则，则 = =a a- -b bi,i, z z +2i +2iz z=9+2i=9+2i， （a a+ +b bi i）（）（a a- -b bi i）+2i+2i（a a+ +b bi i）=9+2i=9+2i 即即a a2 2+ +b b2 2-2-2b b+2+2a ai=9+2ii=9+2i 由由得得a a=1=1代入代入得得b b2 2-2-2b b-8=0-8=0 解得解得b b=-2=-2或或b b=4
17、.=4. z z=1-2i=1-2i或或z z=1+4i.=1+4i.题型三题型三 复数的代数运算复数的代数运算 计算计算(1)(1) 利用复数的运算法则及特殊复数的运利用复数的运算法则及特殊复数的运 算性质求解算性质求解. .解解（3 3）方法一方法一方法二方法二 （技巧解法） 复数代数形式的运算是复数部分的重复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算点，其基本思路就是应用运算法则进行计算. .复数复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算（合并同类项），复数的乘除运算是复数运算的（合并同类项），复数的乘除运算是复数运算的
18、难点，在乘法运算中要注意难点，在乘法运算中要注意i i的幂的性质，区分的幂的性质，区分( (a a+ +b bi)i)2 2= =a a2 2+2+2ababi-i-b b2 2与与( (a a+ +b b) )2 2= =a a2 2+2+2abab+ +b b2 2; ;在除法运在除法运算中，关键是算中，关键是“分母实数化分母实数化”（分子、分母同乘以（分子、分母同乘以分母的共轭复数），此时要注意区分分母的共轭复数），此时要注意区分( (a a+ +b bi i）( (a a- -b bi)=i)=a a2 2+ +b b2 2与与( (a a+ +b b)()(a a- -b b)=)=
19、a a2 2- -b b2 2, ,防止实数中的相关防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误公式与复数运算混淆，造成计算失误. .知能迁移知能迁移3 3 计算：计算：解解题型四题型四 复数的几何意义复数的几何意义 (12 (12分分) )如图所示如图所示, ,平行四边形平行四边形 OABCOABC，顶点，顶点O O，A A，C C分别表示分别表示0 0， 3+2i,-2+4i 3+2i,-2+4i，试求：，试求： (1) (1) 所表示的复数；所表示的复数； (2) (2)对角线对角线 所表示的复数所表示的复数; ; (3) (3)求求B B点对应的复数点对应的复数. . 结合图形和已
20、知点对应的复数，根据结合图形和已知点对应的复数，根据 加减法的几何意义，即可求解加减法的几何意义，即可求解. .解解4 4分分8 8分分1212分分 根据复平面内的点、向量及向量对应根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数, ,只要找出所求向量的始点和终点只要找出所求向量的始点和终点, ,或者用向量相等或者用向量相等直接给出结论直接给出结论. . 知能迁移知能迁移4 4 设复数设复数z z的共轭复数为的共轭复数为 ，且，且4 4z z+2+2 =3 +i, =3 +i,=sin =sin -icos -icos , ,
21、复数复数z z- -对应复对应复 平面内的向量为平面内的向量为 求求z z的值和的值和 的取值范围的取值范围. . 解解 设设z z= =a a+ +b bi (i (a a, ,b bR R) )，则，则 = =a a- -b bi,i, 由由4 4z z+2 =3 +i+2 =3 +i得得 4( 4(a a+ +b bi)+2(i)+2(a a- -b bi)=3 +ii)=3 +i， 即即6 6a a+2+2b bi=3 +i,i=3 +i,根据复数相等的充要条件有根据复数相等的充要条件有思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧1.1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、
22、除复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除 及求低次方根及求低次方根. .除法实际上是分母实数化的过程除法实际上是分母实数化的过程. .2.2.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的 三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往 和加法、减法相结合和加法、减法相结合. .3.3.要记住一些常用的结果，如要记住一些常用的结果，如i i、 的有关的有关 性质等可简化运算步骤提高运算速度性质等可简化运算步骤提高运算速度. . 失误与防范失误与防范1.1.判定复数是实数，仅注重虚部等于判定复数是实数，仅注重虚部等于0 0是不
23、够的，是不够的， 还需考虑它的实部是否有意义还需考虑它的实部是否有意义. .2.2.对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方 程的求解，判别式不再成立程的求解，判别式不再成立. .因此解此类方程因此解此类方程 的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等 的条件进行求解的条件进行求解. .3.3.两个虚数不能比较大小两个虚数不能比较大小. .4.4.利用复数相等利用复数相等a a+ +b bi=i=c c+ +d di i列方程时，注意列方程时，注意a a, ,b b, ,c c, , d dR R的前提条件的前提条件
24、. .5.5.z z2 200在复数范围内有可能成立，例如在复数范围内有可能成立，例如: :当当z z=3i=3i时时 z z2 2=-90. =-90. 一、选择题一、选择题1.1.（20092009陕西理，陕西理，2 2）已知已知z z是纯虚数，是纯虚数， 是实数，那么是实数，那么z z等于等于( )( ) A.2i B.i C.-i D.-2i A.2i B.i C.-i D.-2i 解析解析 设设z z= =b bi(i(b bR R, ,b b0),0),D定时检测定时检测2.2.复数复数 （i i是虚数单位）的实部是是虚数单位）的实部是( )( ) A. B. C. D. A. B
25、. C. D. 解析解析A3.3.已知已知i i为虚数单位，则复数为虚数单位，则复数 对应的点位对应的点位 于于 ( ) ( ) A. A.第一象限第一象限 B. B.第二象限第二象限 C. C.第三象限第三象限 D. D.第四象限第四象限 解析解析C4.4.（20092009辽宁理，辽宁理，2 2）已知复数已知复数z z=1-2i,=1-2i,那么那么 ( ) ( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析D5.5.在复平面内在复平面内, ,若若z z= =m m2 2(1+i)-(1+i)-m m(4+i)-6i(4+i)-6i所对应的点所对应的点 在第二象限在第二象限,
26、 ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是 ( ) ( ) A. A.（0 0，3 3） B. B.（-，-2-2） C. C.（-2-2，0 0） D. D.（3 3，4 4） 解析解析 整理得整理得z z= =（m m2 2-4-4m m）+(+(m m2 2- -m m-6)i-6)i，对应，对应 点在第二象限，则点在第二象限，则D6.6.已知已知a a是实数，是实数， 是纯虚数，则是纯虚数，则a a等于等于 ( ) ( ) A.1 B.-1 C. D.- A.1 B.-1 C. D.- 解析解析A二、填空题二、填空题7.7.已知已知z z1 1=2+i,=2+i,z z2 2=1-
27、3i,=1-3i,则复数则复数 的虚部为的虚部为 . . 解析解析-1-18.8.已知复数已知复数z z1 1=-1+2i,=-1+2i,z z2 2=1-i=1-i，z z3 3=3-2i=3-2i，它们所对应的，它们所对应的 点分别为点分别为A A，B B，C C. .若若 则则x x+ +y y的值的值 是是 . . 解析解析 得（得（3-2i3-2i）= =x x(-1+2i)(-1+2i) + +y y(1-i)=(-(1-i)=(-x x+ +y y)+(2)+(2x x- -y y)i)i， 5 59.9.（20092009福建理，福建理，1111）若若 (i (i为虚为虚 数单
28、位，数单位，a a, ,b bR R) )，则，则a a+ +b b= = . . 解析解析 1+i=1+i=a a+ +b bi,i,a a=1,=1,b b=1,=1,a a+ +b b=2.=2.2 2三、解答题三、解答题10.10.计算：计算： =i+=i+（-i-i）1 6021 602 =i+i=i+i2 2=i-1=-1+i.=i-1=-1+i.解解11.11.已知已知x x, ,y y为共轭复数，且（为共轭复数，且（x x+ +y y）2 2-3-3xyxyi=4-6ii=4-6i， 求求x x, ,y y. . 解解 设设x x= =a a+ +b bi (i (a a, ,
29、b bR R) )，则，则y y= =a a- -b bi,i, x x+ +y y=2=2a a, ,xyxy= =a a2 2+ +b b2 2, , 代入原式，得代入原式，得(2(2a a) )2 2-3(-3(a a2 2+ +b b2 2)i=4-6i,)i=4-6i,12.12.已知已知z z是复数，是复数，z z+2i+2i、 均为实数（均为实数（i i为虚数单为虚数单 位），且复数（位），且复数（z z+ +a ai i）2 2在复平面上对应的点在第在复平面上对应的点在第 一象限，求实数一象限，求实数a a的取值范围的取值范围. .解解 设设z z= =x x+ +y yi (i (x x、y yR R),),z z+2i=+2i=x x+(+(y y+2)i,+2)i,由题意得由题意得y y=-2.=-2.由题意得由题意得x x=4,=4,z z=4-2i.=4-2i.（z z+ +a ai i）2 2=(12+4=(12+4a a- -a a2 2)+8()+8(a a-2)i,-2)i,实数实数a a的取值范围是（的取值范围是（2 2，6 6）. . 返回返回
