《函数的单调性与导数2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的单调性与导数2（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组（4 4）对数函数的导数）对数函数的导数: :（5 5）指数函数的导数）指数函数的导数: : （3 3）三角函数）三角函数 ： （1 1）常函数：）常函数：(C)(C)/ / 0 0, (c, (c为常数为常数) )； （2 2）幂函数）幂函数 ： (x(xn n) )/ / nx nxn n 1 1复习回顾：复习回顾：基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1
2、）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数；上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数；上是减函数；G = ( a , b )岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组若若 f(x) f(x) 在在G G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) f(x) 在在G G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G G 称为称为单调区间单调区间(1)(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2) (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局函数的单
3、调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。部概念。这个区间是定义域的子集。(3)(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组 以前以前, ,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性. . 在假设在假设x x1 1xx2 2的前提下的前提下, , 比较比较f(xf(x1 1)f(x) 0，那么，那么 y=f(x)在这个区间（在
4、这个区间（a, b)内单调递增；内单调递增； (2) 如果恒有如果恒有 f (x)0f (x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 f (x)=0 , 则则f(x) 为常数为常数.岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组 当当1 x 0, 可知可知 f(x) 在此区间内单在此区间内单调递增调递增; 例例1 已知导函数已知导函数f (x)的下列信息的下列信息: 当当1 x 0; 当当 x 4 或或 x 1时时, f (x) 4 或或 x 1时时, f (x)1 时时, 函数函数单调递增单调递增, 所以函数递增区间为所以函数递增区间为(1, + );当当 , 即即 x0 (或或f (x) 0) (3
5、) 确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数、证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法： (1) 求求f (x) (2) 确认确认f (x)在在(a,b)内的符号内的符号 (3) 作出结论作出结论岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组练习练习1. 1. 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, , 并求出单调区间并求出单调区间: :岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组 例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积即单位时间内注入水的体积相同相同) )注入下面四种底面积相同的容器中注入下面四种底面积相同的容
6、器中, , 请分别找出请分别找出与各容器对应的水的高度与各容器对应的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(B)(C)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO(1)(2)(3)(4)岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组(A)(B)(C)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO(1)(2)(3)(4)解解: (1) (B), (2) (A), (3) (D), (4) (C). 岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数的绝如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大对值较大, , 那么
7、函数在这个范围内那么函数在这个范围内变化得快变化得快, , 这时这时, , 函数的函数的图象就比较图象就比较“陡峭陡峭”( (向上或向下向上或向下); ); 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象平缓内的图象平缓. .岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组练习练习 2. 函数函数y=f(x) 的图象如图所示的图象如图所示, 试画出导函数试画出导函数 f (x) 图象的大致形状图象的大致形状岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组练习练习3.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.解
8、解: 由由 , 得得 , 即函数即函数f(x) 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是 由由 , 得得 , 即函数即函数f(x) 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组即函数即函数f(x) 在在 内是减函数内是减函数.练习练习4.求证求证: 函数函数 在在 内是减函数内是减函数.解解: 由由 , 解得解得 , 所以函数所以函数 f(x) 的递减区间是的递减区间是 .岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组导数在函数单调性方面的应用再举例导数在函数单调性方面的应用再举例 例例4. 求参数范围求
9、参数范围 若函数若函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在在(- ,+ )上单调递增上单调递增, 求求实数的取值范围实数的取值范围.岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组解：解：由已知得由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组 点评点评: 在某个区间上，在某个区间上， f (x)0 (或或 0 ) ，且，且f(x)不可能在这个区间的某一段上恒为常数不可能在这个区间的某一段上恒为常数, 则则f(x)在这在这个区间上还是单调递增个区间上还是单调递增(递减递减).即即 a= -1时时, 函数在（函数在（0，1上也单调递增上也单调递增.本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组 例例6 方程根的问题方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根只有一个根.证明证明: 岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组 例例7 不等式的证明问题不等式的证明问题岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组作业：作业： 已知函数已知函数 f(x)=ax+3x-x+1 在在R上是减函数，求上是减函数，求a的的取值范围取值范围.岳阳市三中数学组岳阳市三中数学组作业
