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1、22.1等差数列的概念及通项公式等差数列的概念及通项公式 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接情情 景景 导导 入入相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算123100的故事的故事，不过不过，这很可能是一个不真实这很可能是一个不真实的传说的传说，据对高斯素有研究的数学史家据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔贝尔(E.T.Bell)考证考证，高斯的老师布特纳当时给孩子们出的高斯的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：是一道更难的加法题：81 29781 49581 693100 899.当布特纳刚写完这道题时
2、当布特纳刚写完这道题时，高斯也算完了高斯也算完了，并把答案写在了小石板上你知道高斯是如何计算的并把答案写在了小石板上你知道高斯是如何计算的吗？吗？ 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接课课 标标 点点 击击 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接1理解等差数列的概念理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题并能运用公式解决一些简单的问题2掌握等差数列的常用性质掌握等差数列的常用性质，并能灵活地运用这些并能灵活地运用这些性质性质，使解题过程简捷准确使解题过程简捷准确 学习目标学
3、习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接要要 点点 导导 航航知识点知识点1等差数列等差数列 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差应当注意的是：数列，这个常数叫做等差数列的公差应当注意的是：(1)在定义中，之所以说在定义中，之所以说“从第从第2项起项起”，首先是因为，首先是因为首项没有首项没有“前一项前一项”，其次是如果一个数列
4、，不是从，其次是如果一个数列，不是从第第2项起，而是从第项起，而是从第3项起，每一项与它的前一项的差项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数是同一个常数(an1and，nN*，且，且n2)，那么这，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起项起(即去掉第即去掉第1项后项后)是一个等差数列例如，数列是一个等差数列例如，数列1，4，5，6，7，8，9，10就不是等差数列，而去掉第就不是等差数列，而去掉第1项后，项后，剩下的数组成的数列就是等差数列剩下的数组成的数列就是等差数列 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接
5、(2)如果一个数列，从第如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一项的差都是常数，那么这个数列不一定是等差数列，项的差都是常数，那么这个数列不一定是等差数列，因为这个常数可能不唯一因为这个常数可能不唯一(3)一个等差数列的公差一个等差数列的公差d是这个数列的后一项与前是这个数列的后一项与前一项的差因为等差数列具有一项的差因为等差数列具有dan1ananan1a2a1的特点，所以求公差可以用的特点，所以求公差可以用an1an，也可以用，也可以用anan1，还可以用，还可以用a2a1等公差等公差d可可以是任何实数，当以是任何实数，当d0时，数列是常数列；当时，数列是常数列；当
6、d0时，数列为递增数列；当时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列时，数列为递减数列(4)等差数列的定义还可表述为：在数列等差数列的定义还可表述为：在数列an中，若中，若an1and(nN*)，d为常数，则为常数，则an是等差数列，是等差数列，常数常数d为公差为公差知识点知识点2等差数列的判定方法等差数列的判定方法 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 (1)an1and(常数常数)an是等差数列是等差数列(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列是等差数列(3)anknb(k，b为常数为常数)an是等差数列是等差数列知识点知识点3等差数列的常用性质
7、等差数列的常用性质 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 (6)an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1ana2an1aiani1.(7)下标成等差数列且公差为下标成等差数列且公差为m的项的项ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成公差为组成公差为md的等差数列的等差数列(8)若若bn为等差数列，则为等差数列，则anbn，kanbn(k，b为为非零常数非零常数)也是等差数列
8、也是等差数列知识点知识点4解答等差数列有关问题时应注意的问解答等差数列有关问题时应注意的问题题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 (1)首项与公差，是解决等差数列问题的关键首项与公差，是解决等差数列问题的关键(2)等差数列的通项公式涉及等差数列的通项公式涉及4个量个量a1，an，n，d，知道任，知道任意三个就可以列方程求另外一个意三个就可以列方程求另外一个(3)熟练掌握并灵活运用定义、通项公式是解决等差数列熟练掌握并灵活运用定义、通项公式是解决等差数列问题的基础问题的基础(4)寻求条件与结论的共用式以便进行整体代换，使运算寻求条件与结论的共用式以便进行整体
9、代换，使运算更为迅速和准确更为迅速和准确(5)学会运用函数的思想和方法解题学会运用函数的思想和方法解题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接典典 例例 解解 析析题型题型1等差数列定义及其应用等差数列定义及其应用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接例例1在等差数列中，在等差数列中，amn，anm(mn)，则，则amn为为()AmnB0Cm2Dn2分析分析：a1，d是等差数列的基本元素是等差数列的基本元素，可先求出基，可先求出基本元素，再用它们去构成其他元素进行解答，或利本元素，再用它们去构成其他元素进行解答，或利用数列是特殊
10、的函数这一点进行求解，或利用选择用数列是特殊的函数这一点进行求解，或利用选择题的特点进行求解题的特点进行求解 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接题型题型2利用利用“对称值对称值”解题解题 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接例例2等差数列等差数列an中，已知中，已知a2a3a10a1136，求，求a5a8.分析分析：利用等差数列的性质求解利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题或整体考
11、虑问题，求求出出2a111d的值的值解析解析：方法一方法一根据题意根据题意，有有(a1d)(a12d)(a19d)(a110d)36，4a122d36，故故2a111d18.而而 a5a8(a14d)(a17d)2a111d，因此因此，a5a818.方法二方法二根据等差数列性质根据等差数列性质，可得可得a5a8a3a10a2a1136218. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接名师点评名师点评：方法一设出了方法一设出了a1，d但并没有求出但并没有求出a1，d，事实上也求不出来事实上也求不出来，这种这种“设而不求设而不求”的方的方法在数学中常用法在数学中常用，
12、它体现了整体的思想；方法二它体现了整体的思想；方法二实际上运用了等差数列的性质：若实际上运用了等差数列的性质：若pqmn，p，q，m，nN*，则则apaqaman. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 变式迁移变式迁移2在等差数列在等差数列an中中，a4a816，则则a2a10(B)A12 B16 C20 D24解析解析：48210，根据等差数列性质根据等差数列性质，则则a2a10a4a816.题型题型3如何判断数列为等差数列如何判断数列为等差数列 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接例例3已知已知a，b，c成等差数列，那么
13、成等差数列，那么a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)是否成等差数列？是否成等差数列？分析分析：在在ac2b条件下条件下，是否有以下结果：是否有以下结果：a2(bc)c2(ab)2b2(ac)?解析解析：a，b，c成等差数列成等差数列，ac2b.a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2ba2cc2ac2b2b2c2b2aa2cc2aab(a2b)bc(c2b)a2cc2a2abcac(ac2b)0， 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)成等差数列成等差数列名师点评名师点评：如果如果a，b，c成等差数列成等差数列，常转化成常转化成ac2b的形式去运用；反之的形式去运用；反之，如果求证如果求证a，b，c成等差数列成等差数列，常改证常改证ac2b.有时应用概念解题有时应用概念解题，需要运用一些等值需要运用一些等值变形技巧变形技巧，才能获得成功才能获得成功 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏栏目目链链接接 变式迁移变式迁移3若若(zx)24(xy)(yz)0，求证：求证：x，y，z成成等差数列等差数列证明：证明：(zx)24(xy)(yz)(xz)222y(xz)4y2(xz2y)20，2yxz.x，y，z成等差数成等差数列列
