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1、第四章第四章第四章第四章 不不不不 定定定定 积积积积 分分分分求原来那个函数的问题求原来那个函数的问题.已知某曲线的切线斜率为已知某曲线的切线斜率为2x, 本章研究微分运算的逆运算本章研究微分运算的逆运算已会求已知函数的导数和微分的运算已会求已知函数的导数和微分的运算.解决相反的问题解决相反的问题, 就是已知函数的导数或微分就是已知函数的导数或微分,例如例如某质点作直线运动某质点作直线运动,已知运动速度函数已知运动速度函数 求路程函数求路程函数.常要常要求此曲线的方程求此曲线的方程.1.2.不定积分不定积分. indefinite integral1第一节第一节 不定积分不定积分的概念与性质
2、的概念与性质原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式基本积分公式不定积分的性质不定积分的性质小结小结 思考题思考题 作业作业 indefinite integral第四章第四章 不定积分不定积分2一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念几何问题几何问题解解例例 设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点处横坐标的两倍处横坐标的两倍, ,求曲线的方程求曲线的方程. .设曲线方程为设曲线方程为满足此条件的函数有无穷多个满足此条件的函数有无穷多个, ,如如等都是等都是. .一般一般, , 所求曲线方程为所求曲线方程为C为为任意常数任意常数
3、. .不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质3定义定义1例例1. 原函数原函数如果在区间如果在区间I I上上, ,则称则称或或原函数原函数. .一个一个或由或由知知是是原函数原函数. .也是也是的原函数的原函数, ,其中其中 为任意常数为任意常数. .不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（ 为任意常数）为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？则它必有原函数则它必有原函数.连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.（3）原函数是否必为连续函数？）原函
4、数是否必为连续函数？5关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（ 为任意常数）为任意常数）证证（ 为任意常数）为任意常数）6只要找到只要找到f (x)的一个原函数的一个原函数, , 就知道就知道它的全部原函数它的全部原函数. .在区间在区间I I上的一个原函数上的一个原函数, ,则则f(x)在区间在区间I I上的任一原函数都可表为上的任一原函数都可表为其中其中C为为某一常数某一常数. .定理定理的的形式形式, ,不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质如何求其原函数？如何求其原函数？7积积分分变变量
5、量积积分分常常数数被被积积函函数数定义定义2被被积积表表达达式式2. 不定积分不定积分不定积分不定积分. .(1) 定义定义全部原函数的一般表达式全部原函数的一般表达式称为函数称为函数f (x)的的 总和总和(summa)记为记为不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质积积分分号号81. 被积函数是原函数的导数被积函数是原函数的导数,被积表达式是被积表达式是原函数的微分原函数的微分.2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所不定积分表示那些导数等于被积函数的所或说其微分等于被积表达式的所或说其微分等于被积表达式的所有有函数函数. .有函数有函数. .因此因此绝不能漏写积分常数绝不能漏写积分常数
6、C.3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算为积分运算, 它是微分运算的逆运算它是微分运算的逆运算.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质9例例 求求解解解解例例 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质10(2)不定积分的几何意义不定积分的几何意义积分曲线积分曲线称为称为的的积分曲线积分曲线.的图形的图形向平行于向平行于y 轴的方向任意轴的方向任意上下移动上下移动, 得出的无穷多条曲线得出的无穷多条曲线, 称为称为的图形是的图形是平面的一条曲线平面的一条曲线,是将曲线是将曲线族族.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质11 由于不论常数由
7、于不论常数C 取何值取何值,同一同一x处其导数等于处其导数等于f(x),各切线相互平行各切线相互平行.有积分曲线族有积分曲线族即即x不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质12不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质解解故所求曲线方程为故所求曲线方程为(3) 积分常数的确定积分常数的确定求通过点求通过点 且其切线斜率为且其切线斜率为2x曲线曲线.例例 在求原函数的实际问题中在求原函数的实际问题中,有时要从有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数的一个原函数,这时应根据这个特性确定这时应根据这个特性确定常数常数C的值的值,从而找出需要的原函数从
8、而找出需要的原函数.的曲线的曲线族族为为有有13解解例例所以所以不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质14 由不定积分的定义由不定积分的定义 结论结论微分微分运算与运算与求不定积分求不定积分的运算是的运算是如如(1)或或或或互逆互逆互逆互逆的的.二、不定积分的性质二、不定积分的性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质15证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(2)(2)，(3)称为线性性质称为线性性质. 思考思考: k = 0,等式是否成立等式是否成立?(3)不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质16实例实例启示启示 能否
9、根据求导公式得出积分公式能否根据求导公式得出积分公式结论结论 要判断一个不定积分公式是否正确要判断一个不定积分公式是否正确,只只要将右端的函数求导要将右端的函数求导,看是否等于被积函数看是否等于被积函数.求导公式求导公式积分公式积分公式.三、基本积分公式三、基本积分公式不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质积分运算和微分运算是互逆的，积分运算和微分运算是互逆的，17基基本本积积分分公公式式 (k是常数是常数)说明：说明：简写为简写为(不提不提倡倡)不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质18不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质19熟熟 记记不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质20例例
10、 求积分求积分解解出一些简单函数的不定积分出一些简单函数的不定积分,称为称为利用利用不定积分的性质不定积分的性质和和基本积分公式基本积分公式, 可求可求由公式由公式直接积分法直接积分法.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质21例例 求积分求积分解解不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质22例例 求积分求积分解解不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质23例例 求积分求积分解解 称为称为分项积分法分项积分法.分项积分法分项积分法 利用线性性质计算积分利用线性性质计算积分,上两例是将被积函数作恒等变形上两例是将被积函数作恒等变形,不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质24例例 求积分求积分
11、解解不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 以上几例中的被积函数都需要进以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形行恒等变形,才能使用基本积分表才能使用基本积分表.25解解例例 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质26解解所求曲线方程为所求曲线方程为不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质已知一曲线已知一曲线 y = f (x)在点在点( x, f (x)处的切线处的切线例例斜率为斜率为且此曲线与且此曲线与y轴的交点为轴的交点为(0,5), 求此曲线的方程求此曲线的方程.27不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质28不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质29熟记熟记基本积分公式基本积分公
12、式不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念原函数的概念不定积分的概念不定积分的概念求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结四、小结不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的几何意义不定积分的几何意义30应先将绝对值符号化掉应先将绝对值符号化掉,即将即将| x |化作分段函数化作分段函数:不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质思考题思考题解解由于分段函数在实数域内连续，由于分段函数在实数域内连续，所以原函数也在此区域存在所以原函数也在此区域存在31因此在因此在x = 0处必连续处必连续,由于原函数可导由于原函数可导,所以原函数必定连续所以原函数必定连续,于是有于是有不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质32作业作业习题习题4-1(1904-1(190页页) ) 1.(2) (12) (14 ) (18) (20) (21) (24) (25) 2. 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质33
