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1、第第2 2课时课时 指数函数及其性质的应用指数函数及其性质的应用 1.1.复习回顾指数函数的概念、图象和性质；复习回顾指数函数的概念、图象和性质；2.2.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题中的应用；通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题中的应用；3.3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解题中的应用通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解题中的应用 一般地，函数一般地，函数y=ay=ax x（a且且a），叫做指数），叫做指数函数函数. .1.1.指数函数的定义指数函数的定义复习回顾底数底数图象图象定义域定义域R R值域值域性质性质（1 1）过定点（）过定点（0 0，1
2、1），），x=0x=0时，时，y=1y=1（2 2）R R上减函数上减函数（2 2）R R上增函数上增函数2.2.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质探究点探究点1 1 指数函数在实际问题中的应用指数函数在实际问题中的应用例例8.8.截止到截止到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿。如果今后能将人口年平均增长率控亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在制在1%1%，那么经过，那么经过2020年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）分析：分析：可以从经过可以从经过1 1年后、年后、2 2年后、年后、3 3年后等具体的人口数入手，归纳
3、经过年后等具体的人口数入手，归纳经过x x年年后的人口数的函数关系式，再把经过后的人口数的函数关系式，再把经过2020年后的人口数表示出来，进行具体的年后的人口数表示出来，进行具体的计算。计算。解：解：设今后人口的年平均增长率是设今后人口的年平均增长率是1%1%，经过，经过x x年后，我国的人口数为年后，我国的人口数为y y亿亿. .经过经过1 1年即年即20002000年，人口数为年，人口数为经过经过2 2年即年即20012001年，人口数为年，人口数为（亿）；（亿）；（亿）（亿）. .经过经过3 3年即年即20022002年，人口数为年，人口数为所以，经过所以，经过x x年，人口数为年，人
4、口数为当当x=20x=20时，时， （亿）。（亿）。所以，经过所以，经过2020年后，我国的人口数最多为年后，我国的人口数最多为1616亿。亿。（亿）；（亿）；【点评】【点评】在实际问题中，经常会遇到类似例在实际问题中，经常会遇到类似例8 8的指数增长的指数增长模型：设原有量为模型：设原有量为N N，每次的增长率为，每次的增长率为p p，经过，经过x x次增长，该量增长到次增长，该量增长到y y，则，则 形如形如 的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。探究点探究点2 2 人口增长率问题的进一步探究人口增长率问题的进一步探究（1 1）如果
5、人口增长率提高一个百分点，利用计算器分别计算）如果人口增长率提高一个百分点，利用计算器分别计算2020年，年，3333年后年后我国的人口数。我国的人口数。这时函数模型是这时函数模型是所以，所以，2020年后的人口数是年后的人口数是3333年后人口数是年后人口数是以以19991999年的年的1313亿为基准。亿为基准。（2 2）如果人口年平均增长率保持在）如果人口年平均增长率保持在2%2%，利用计算器分别计算，利用计算器分别计算20202020到到21002100年，年，每隔每隔5 5年相应的人口数。年相应的人口数。以例题中计算的以例题中计算的20202020年我国的人口数年我国的人口数1616
6、亿为基准。亿为基准。这时函数模型是这时函数模型是20252025年的人口数是年的人口数是20302030年的人口数是年的人口数是20352035年的人口数是年的人口数是20402040年的人口数是年的人口数是20452045年的人口数是年的人口数是20502050年的人口数是年的人口数是20552055年的人口数是年的人口数是20602060年的人口数是年的人口数是20652065年的人口数是年的人口数是20702070年的人口数是年的人口数是20752075年的人口数是年的人口数是20802080年的人口数是年的人口数是20852085年的人口数是年的人口数是20902090年的人口数是年的
7、人口数是20952095年的人口数是年的人口数是21002100年的人口数是年的人口数是（3 3）你看到人口的增长成什么趋势？）你看到人口的增长成什么趋势？我们使用软件画出函数我们使用软件画出函数 的图象的图象从这个图象上可以看出随着从这个图象上可以看出随着x x的的增大，函数值的增长非常迅速，增大，函数值的增长非常迅速，呈现一种呈现一种“爆炸式爆炸式”的增长趋势。的增长趋势。（4 4）你是如何看待我国的计划生育政策的？）你是如何看待我国的计划生育政策的？计划生育是我国的基本国策，是千年大计！计划生育是我国的基本国策，是千年大计！探究点探究点3 3 指数函数在解题中的应用指数函数在解题中的应用
8、例例9.9.将下列各数值按从小到大的顺序排列将下列各数值按从小到大的顺序排列分析：分析：根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，注意采用中间值根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，注意采用中间值0 0和和1 1进行比较。进行比较。解：解：所以，所以，例例10.10.解下列不等式：解下列不等式：分析：分析：根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数不等式。根据指数函数的单调性把指数不等式转化为代数不等式。解解：（1 1）由由 ，得，得根据指数函数的单调性得根据指数函数的单调性得解这个不等式得解这个不等式得（2 2）当）当0a10a1a1时，根据指数函数的单调性得不等式时，根据指数函数的单调
9、性得不等式3x-12x-43x-12x-4解这个不等式得解这个不等式得x-3.x-3.所以，当所以，当0a10a1a1时，不等式的解是时，不等式的解是x-3.x-3.【点评】【点评】本题的不等式通常称为指数不等式，解这类不等式的基本方法是根本题的不等式通常称为指数不等式，解这类不等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代数不等式，在底数不确定时要注意分类讨论。据指数函数的单调性转化为代数不等式，在底数不确定时要注意分类讨论。1.1.某工厂现在的年利润是某工厂现在的年利润是10001000万元，该工厂年利润的增长率是万元，该工厂年利润的增长率是20%20%，则，则1010年年后该工厂的年利润是
10、多少万元？（精确到万元）后该工厂的年利润是多少万元？（精确到万元）答案：答案：2.2.比较下列各数的大小：比较下列各数的大小：答案：答案：3.3.解方程解方程解析：解析：解方程得解方程得x=1x=1答案：答案：1.1.指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模型，当指数函数的底数大于指数型函数模型是应用十分广泛的一类函数模型，当指数函数的底数大于1 1时，随着自变量的增加，函数值呈现时，随着自变量的增加，函数值呈现“爆炸式爆炸式”增长。增长。2.2.根据指数函数性质进行数值的大小比较时，要注意采用中间值根据指数函数性质进行数值的大小比较时，要注意采用中间值0 0、1 1进行归进行归类比较。类比较
11、。3.3.解指数不等式或者指数方程时，要注意根据指数函数的单调性进行转化，解指数不等式或者指数方程时，要注意根据指数函数的单调性进行转化，转化为代数不等式或者代数方程求解，在底数不确定时要注意分类讨论，这转化为代数不等式或者代数方程求解，在底数不确定时要注意分类讨论，这里体现了化归转化思想和分类讨论思想。里体现了化归转化思想和分类讨论思想。除了人格以外，人生最大的损失，莫过于失掉自信心了。 例题讲解例题讲解比较幂大小的方法比较幂大小的方法(1)(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断利用指数函数的单调性来判
12、断. .(2)(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断指数函数的图象的变化规律来判断. .(3)(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来比较中间值来比较. .幂值大小的比较幂值大小的比较【例【例1 1】比较下列各组数的大小：】比较下列各组数的大小：(1)1.5(1)1.52.52.5和和1.51.53.23.2;(2)0.6;(2)0.6-1.2-1.2和和0.60.6-1.5-1.5;(3)1.5;(3)1.50.30.3和和0.8
13、0.81.21.2; ;【审题指导】【审题指导】本题中本题中(1)(2)(1)(2)的底数相同可依据指数函数的的底数相同可依据指数函数的单调性来比较，而单调性来比较，而(3)(3)中底数不同且指数不同，可借助中间中底数不同且指数不同，可借助中间值来比较值来比较. .【规范解答】【规范解答】设设y= u=xy= u=x2 2+2x-3.+2x-3.y= y= 在在R R上为减函数上为减函数. .u=xu=x2 2+2x-3=(x+1)+2x-3=(x+1)2 2-4-4在在(- ,-1(- ,-1上为减函数，在上为减函数，在-1-1，+)+)上为增函数上为增函数. .根据复合函数的性质知，原函数
14、根据复合函数的性质知，原函数y=f(x)y=f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是-1-1，+),+),单调递增区间是单调递增区间是(-,-1(-,-1. . 课堂练习课堂练习【解析】【解析】2.2.已知已知0a1,b-10a1,b-1，则函数，则函数y=ay=ax x+b+b的图象必定不经过的图象必定不经过( )( )(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限【解析】【解析】选选A.0a1,y=aA.0a1,y=ax x的图象不经过三、四象限，的图象不经过三、四象限，b-1,y=ab0x0时，时，(a-1)(a-1)x
15、x12(A)a2(B)1a2(B)1a1(C)a1(D)aR(D)aR【解析】【解析】选选B.x0B.x0时，时，(a-1)(a-1)x x11恒成立，恒成立，0a-11,0a-11,即即1a2.1a2.4.4.函数函数y= (x0)y= (x0)的值域是的值域是_._.【解析】【解析】x0,0 =1x0,00.50.5x-1x-1的解集为的解集为_(_(用区间表示用区间表示).).【解析】【解析】y=0.5y=0.5x x在在R R上单调递减，上单调递减，又又0.50.52x2x0.50.5x-1x-1,2xx-1,x-1.,2xx-1,x-1.答案：答案：(-,-1)(-,-1)6.6.已
16、知已知 求函数求函数y=2y=2x x的值域的值域. .【解析】【解析】由由 得得2 22x2x224-2x4-2x, ,2x4-2x,2x4-2x,解得解得x1,02x1,0( )( )b b，则，则a a、b b的大小关系是的大小关系是( )( )(A)1ab0(A)1ab0(B)ab(B)ab(C)ab(D)1ba0(D)1ba0【解析】【解析】选选B.0 1,y=( )B.0 ( )( )b b,ab.,af(m)f(n)f(n)，则，则m m、n n的大小关系为的大小关系为_._.【解析】【解析】0a= 10a= f(n)f(m)f(n)，得，得mn.mn.答案：答案：mnmn6.(
17、20116.(2011南漳高一检测南漳高一检测) )定义运算定义运算a*b= a*b= 则函数则函数f(x)=1*2f(x)=1*2x x的最大值为的最大值为_._.【解析】【解析】当当x0x0时，时，2 2x x1;1;当当x0x0时，时，2 2x x1.1.f(x)=1f(x)=1* *2 2x x= = f(x)f(x)的最大值是的最大值是1.1.答案：答案：1 1三、解答题三、解答题( (每小题每小题8 8分，共分，共1616分分) )7.7.已知函数已知函数f(x)=af(x)=ax x在在xx-2,2-2,2上恒有上恒有f(x)2f(x)1a1时，函数时，函数f(x)=af(x)=
18、ax x在在-2-2，2 2上单调递增，上单调递增，此时此时f(x)f(2)=af(x)f(2)=a2 2, ,由题意可知由题意可知a a2 22,2,即即a a ，所以，所以1a .1a .当当0a10a1时，函数时，函数f(x)=af(x)=ax x在在-2-2，2 2上单调递减，此时上单调递减，此时f(x)ff(x)f(-2)=a(-2)=a-2-2, ,由题意可知由题意可知a a-2-22, a ，所以，所以 a1. a1.综上所述，所求综上所述，所求a a的取值范围是的取值范围是( ( ，1)(11)(1， ). ).8.8.设设0x20x2，求函数，求函数y=4y=4x x-2-2
19、2 2x+1x+1+1+1的值域的值域. .【解析】【解析】设设2 2x x=t,=t,因为因为0x2,0x2,所以所以1t4.1t4.所以原函数可化为所以原函数可化为y=ty=t2 2-4t+1=(t-2)-4t+1=(t-2)2 2-3,1t4.-3,1t4.因为对称轴因为对称轴t=2t=21,41,4, ,所以当所以当t=2t=2，即，即2 2x x=2,x=1=2,x=1时，时，y y有最小值有最小值-3.-3.又因为端点又因为端点t=4t=4较较t=1t=1离对称轴离对称轴t=2t=2远，远，所以当所以当t=4t=4，即，即2 2x x=4,x=2=4,x=2时，时，y y有最大值有
20、最大值1.1.故函数的值域为故函数的值域为-3-3，1 1. . 【方法技巧】【方法技巧】关于指数型函数的最值的求法关于指数型函数的最值的求法: :指数型函数的最值问题常见类型有：化为指数函数型，化指数型函数的最值问题常见类型有：化为指数函数型，化为二次函数型，化为反比例函数型等为二次函数型，化为反比例函数型等. .形如形如y=ay=af(x)f(x)型的最值型的最值问题，通常将问题，通常将f(x)f(x)换元，化为指数型的最值问题换元，化为指数型的最值问题( (求出求出f(x)f(x)的范围后利用指数函数图象求解的范围后利用指数函数图象求解) )；形如；形如y=(ay=(ax x) )2 2-ka-kax x+b+b型的型的最值问题通常将最值问题通常将a ax x换元，化为二次函数型最值问题换元，化为二次函数型最值问题( (求出求出a ax x的范围后利用二次函数图象求解的范围后利用二次函数图象求解).).【挑战能力】【挑战能力】(10(10分分) )设函数设函数f(x)= - ,f(x)= - ,(1)(1)证明函数证明函数f(x)f(x)是奇函数；是奇函数；(2)(2)证明函数证明函数f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)内是增函数；内是增函数；(3)(3)求函数求函数f(x)f(x)在在1 1，2 2上的值域上的值域. .【解析】【解析】
