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1、学案学案5 5 复复 数数 填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读数系的扩充和复数的引入1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.考考考考 向向向向 预预预预 测测测
2、测 1.复数的有关概念是复数运算、复数应用的基础，复数的有关概念是复数运算、复数应用的基础，高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数几何意义以及解答涉及这些概念的两复数相等及复数几何意义以及解答涉及这些概念的复数运算，多以选择题、填空题的形式出现复数运算，多以选择题、填空题的形式出现. 2.以选择题或填空题的形式考查复数的四则运算，以选择题或填空题的形式考查复数的四则运算，特别是乘法和除法运算，与其他知识相结合考查运算特别是乘法和除法运算，与其他知识相结合考查运算能力和推理能力能力和推理能力.返回目录返回目录 1.（1）若）若
3、i为虚数单位，规定为虚数单位，规定i2= ;实数可以与实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立的加、乘法运算律仍然成立. （2）形如）形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，的数叫做复数，a ,b 分别分别叫做复数的叫做复数的 . 若若b=0,则复数则复数a+bi为为 ； 若若b0，则复数，则复数a+bi为为 ； -1 实部、虚部实部、虚部 实数实数 虚数虚数 返回目录返回目录 （3）若）若a,b,c,dR，则，则a+bi=c+di的充要条件的充要条件 是是 . （4）若）若a,b,c,dR，则，则a+bi与与c+di为共轭复数的充
4、为共轭复数的充 要条件是要条件是 . 2.（1）建立直角坐标系来表示复数的平面叫）建立直角坐标系来表示复数的平面叫 ， 叫做实轴，叫做实轴， 叫做虚轴叫做虚轴. （2）复数）复数z=a+bi(a,bR)与复平面内的点建立了与复平面内的点建立了 关系关系.一一对应一一对应 a=c且且b=d a=c且且b=-d 复平面复平面 x轴轴 y轴轴 若若b0，且，且a=0时，则复数时，则复数a+bi为为 .纯虚数纯虚数 返回目录返回目录 3.运算法则运算法则 设设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).（1）z1 z2= (a+bi)(c+di)= .（2） z1z2 = (a+bi)(c+d
5、i)= .（3） = .(ac)+(bd)i (ac-bd)+(ad+bc)i （4）zmzn= ,(zm)n= ,(z1z2)n= （其中（其中m,nZ）;zmn 返回目录返回目录 （5） =(a+bi)n= ;（6）求）求a+bi的平方根的平方根. x2-y2=a , 4.常见的运算规律（1）i的周期性：的周期性：i4n+1= ,i4n+2= ,i4n+3= ,i4n= (nZ);（2）(a+bi)(a-bi)= ;（3）（）（1i）2= ；求出求出x,y.设设(x+yi)2=a+bi，由，由2xy=b i -1 -i 1 a2+b2 2i 返回目录返回目录 （4） = , = ;（5）
6、= ;（6）b-ai=(a+bi)(-i),-b+ai=(a+bi)i.i i -i 返回目录返回目录 复数复数z= +(m2-2m-15)i，求实数，求实数m，使得，使得（1）z是实数；（是实数；（2）z是纯虚数；（是纯虚数；（3）z所对应的所对应的点在复平面的第二象限；（点在复平面的第二象限；（4）z是复数是复数.考点考点考点考点1 1 复数的基本概念复数的基本概念复数的基本概念复数的基本概念 【分析】【分析】【分析】【分析】根据复数的有关概念的定义，把此复数的根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义
7、的条件这一实数问题去求解条件这一实数问题去求解.返回目录返回目录 【解析】【解析】【解析】【解析】实部为实部为 = ,虚部为虚部为m2-2m-15=(m+3)(m-5). (m+3)(m-5)=0 m+30， m=-3或或m=5 m-3. 当当m=5时，时，z是实数是实数.(1)要使要使z为实数，则为实数，则 即即 返回目录返回目录 =0 (m+3)(m-5)0, m=-2或或m=3 m-3且且m5, 当当m=-2或或m=3时，时，z是纯虚数是纯虚数. （2）要使）要使z为纯虚数，则为纯虚数，则 即即返回目录返回目录 （3）由复数）由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件所对应的点在复平
8、面上第二象限的充要条件知知 0, m-3或或-2m5或或m-3. 当当m-3时，时，z所对应的点在第二象限所对应的点在第二象限. R (m+3)(m-5)R,当当m-3时，时，z为复数为复数.即即m0 m2-2m-80 得得-2m1或或2m0且且m2-3m-30,m= .)返回目录返回目录 考点考点考点考点4 4 复数代数形式的运算复数代数形式的运算复数代数形式的运算复数代数形式的运算 计算：计算：（1）（2）1+in+i2n+i2 000n (nN). 【分析】【分析】【分析】【分析】（1）利用）利用(1i)2=2i这一特点进行运这一特点进行运算算;（2）利用）利用in的周期性计算的周期性计
9、算.返回目录返回目录 【解析】【解析】【解析】【解析】（1）原式）原式= （2）当）当n=4k(kN)时，时， 原式原式=1+1+1 =2 001； 当当n4k(kN)时，时， 原式原式=2 001个个返回目录返回目录 （1）在计算过程中常出现一些比较有特）在计算过程中常出现一些比较有特点的式子点的式子.如（如（1i）2=2i, , 等，等，要抓住这一特点快速运算要抓住这一特点快速运算. （2）in的运算具有周期性的运算具有周期性.返回目录返回目录 1.2010年高考课标全国卷已知复数年高考课标全国卷已知复数z= , 是是z的共轭复数的共轭复数,则则zz=( )A. B. C.1 D.2【解析
10、】【解析】 故应选故应选A.返回目录返回目录 2.2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷复数复数 =( )A.I B.-I C.12-13i D.12+13i【解析】【解析】故应选故应选A.返回目录返回目录 考点考点考点考点5 5 简单的复数方程简单的复数方程简单的复数方程简单的复数方程【分析】【分析】以方程为载体以方程为载体,利用复数相等的条件建立方程利用复数相等的条件建立方程,再求解再求解.2010年高考辽宁卷设年高考辽宁卷设a,b为实数，若复数为实数，若复数 =1+i,则（则（ ）A.a= ,b= B.a=3,b=1C.a= ,b= D.a=1,b=3返回目录返回目录 利用复数相等实现
11、复数问题向实数问题的转化利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化,体体现了转化思想现了转化思想.【解析】【解析】 =1+i, a+bi= 故应选故应选A.返回目录返回目录 【解析】【解析】 =2-ai=b+i,由复由复数相等得数相等得b=2,a=-1,则则a+b=1.故应选故应选B.2010年高考山东卷已知年高考山东卷已知 (a,bR),其中其中i为虚数单位，则为虚数单位，则a+b=( )A.-1 B.1 C.2 D.3返回目录返回目录 1. 1.认清复数的表示形式认清复数的表示形式认清复数的表示形式认清复数的表示形式z=a+bi(a,bz=a+bi(a,bR)R)，分清实部、，分清实部、，分
12、清实部、，分清实部、虚部是认清复数的关键虚部是认清复数的关键虚部是认清复数的关键虚部是认清复数的关键. . 2. 2.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件的充要条件的充要条件的充要条件. . 3. 3.四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项四则
13、运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行. . 4. 4.复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否还适用否还适用否还适用否还适用. .返回目录返回目录
