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1、 4 4 泰勒公式与极值问题首页首页泰勒公式的讲解一、高阶偏导数一、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导函数仍存在偏导数，若这两个偏导函数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z = f ( x , y )的二阶偏导数的二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列有下列四个二阶偏导数四个二阶偏导数:首页首页泰勒公式的讲解类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.z = f (x , y) 的三阶偏导数共有八的三阶偏导数共有八 ( 23 ) 种情形：种情形：首页首页泰勒公式的讲解又如又如 z = f (x ,
2、y) 关于关于 x 的的 n 1 阶偏导阶偏导数数 , 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .再关于再关于 y 的一阶偏导数为的一阶偏导数为首页首页泰勒公式的讲解例例1 求函数求函数 解解 的二阶偏导数及的二阶偏导数及 首页首页泰勒公式的讲解注意注意 从上面两个例子看到，有从上面两个例子看到，有但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .首页首页.arctan2的所有二阶偏导数的所有二阶偏导数求函数求函数例例xyz = =泰勒公式的讲解例如例如二二者者不不等等首页首页泰勒公式的讲解定理定理17.7例如例如 对三元函数对三元函数 u = f (x ,
3、 y , z) ,说明说明 本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有而初等而初等今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关从而混合偏导数与求导顺序无关.首页首页泰勒公式的讲解例例6
4、 证明函数证明函数 证证 利用对称性 , 有满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程方程首页首页泰勒公式的讲解注意注意 多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号与常用导数符号.首页首页泰勒公式的讲解得得首页首页.),(3222yxzxzyxxfz = =，求，求设设例例泰勒公式的讲解首页首页泰勒公式的讲解首页首页泰勒公式的讲解例例 设设 f 具有二阶连续偏导数,求解解 首页首页泰勒公式的讲解二、中值定理和泰勒公式二、
5、中值定理和泰勒公式 凸区域凸区域 若区域若区域 D D 上任意两点的连线都含上任意两点的连线都含于于 D D若若 D D 为区域，则对任何为区域，则对任何 恒有恒有凸凸区区域域非非凸凸区区域域 内，则称内，则称 D 为凸区域为凸区域. 首页首页泰勒公式的讲解一元函数中值定理回顾一元函数中值定理回顾首页首页泰勒公式的讲解证证令令由定理的条件知由定理的条件知 (t) 在在 0, 1 上连续，在上连续，在 ( 0, 1 ) 内可微内可微. 由复合函数的求导法则由复合函数的求导法则于是于是由于由于 D 为凸区域，所以为凸区域，所以从而有从而有于是根据一元函数中值定理，于是根据一元函数中值定理，存在存在
6、 使得使得首页首页泰勒公式的讲解首页首页泰勒公式的讲解二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式一元函数泰勒公式回顾一元函数泰勒公式回顾首页首页泰勒公式的讲解其中其中 一般地, 表示表示首页首页泰勒公式的讲解这正是二元函数的拉格朗日中值公式这正是二元函数的拉格朗日中值公式. . Rn 称为其拉格称为其拉格朗日型余项朗日型余项 .首页首页泰勒公式的讲解证证 令其中其中 由定理的假设，由定理的假设， 在在 0, 1 在满足在满足一元函数泰一元函数泰勒定理条件，于是有勒定理条件，于是有下面计算下面计算 首页首页泰勒公式的讲解利用多元复合函数求导法则可得利用多元复合函数求导法则可得: : 首页首页泰
7、勒公式的讲解一般地一般地, 将上述导数代入公式：将上述导数代入公式： 即得二元函数泰勒公式即得二元函数泰勒公式. 首页首页泰勒公式的讲解若在泰勒公式中只要求余项若在泰勒公式中只要求余项 首页首页泰勒公式的讲解首页首页 在泰勒公式中在泰勒公式中 , ,如果取如果取0, 000= = =yx, ,则则称为称为n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. . 泰勒公式的讲解带入型余项的泰勒公式中：带入型余项的泰勒公式中：首页首页( () ).08. 141),(496. 3它计算它计算（到二阶为止），并用（到二阶为止），并用）的泰勒公式）的泰勒公式，在点（在点（求求例例yxyxf= =泰勒公式的讲解首页首页泰勒
8、公式的讲解即即令令 x = 1.08 , y = 3.96 , 则有则有x -1= 0.08 , y -1= -0.04 , 把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比较，这个结果更接近于真值较，这个结果更接近于真值 1.356307 .首页首页泰勒公式的讲解三三 极值问题极值问题定义定义 若函数若函数则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值(极小值极小值).极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有的某邻域内有 注意：函数的极值点只可能是定义域的内点注意：函数的
9、极值点只可能是定义域的内点.首页首页泰勒公式的讲解例如例如 在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.首页首页泰勒公式的讲解若若例如例如,定理定理17.10 (必要条件必要条件) 函数函数存在存在偏导数偏导数,证证取得极值 ,取得极值，取得极值，取得极值，取得极值， 稳定点不一定是极值点稳定点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值 , 则有则有故则称则称 ( x0 , y0 ) 为为 f 的稳定点或驻点的稳定点或驻点 . 所以所以所以所以首页首页泰勒公式的讲解在原点在原点 (0,
10、0) (0,0) 没有偏导数，但它在原点有极小没有偏导数，但它在原点有极小值值; ;所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数不存在的点取得不存在的点取得. .首页首页泰勒公式的讲解时时, 具有极值具有极值 定理定理17.11 (充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数的某邻域内具有二阶连续偏导数, 令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当 3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数且且首页首页泰勒公式的讲解证证 由二元函数的泰勒公式, 并注意则有所以首页首页泰勒公式的讲解其中其中 ,
11、, 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是(1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号, 可见 ,从而z0 , 因此 的正负号可由 确定。首页首页泰勒公式的讲解从而 z0,(2) 当 ACB2 0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A0, 则 时, 有异号;同号.可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 首页首页泰勒公式的讲解+若 AC 0 , 则必有 B0 ,不妨设 B0 , 此时 可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当ACB2 0 时, 若 A0, 则若 A0 , 则 B0 ,为零或非零首页首页泰勒公式的讲解此时因此 不能断定
12、(x0 , y0) 是否为极值点 . 首页首页泰勒公式的讲解并求出偏导数不存在的点并求出偏导数不存在的点.求出二阶偏导数的值：求出二阶偏导数的值：首页首页泰勒公式的讲解例例求函数求函数解解 第一步第一步 求稳定点求稳定点得稳定点得稳定点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别. 在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数 故故 f 在在( 1, 0 ) 有有极值极值, , 又因又因首页首页泰勒公式的讲解在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不
13、是极值;故故 f 在在( -3, 2 ) 有有极值极值, ,又因又因首页首页泰勒公式的讲解例例 讨论函数讨论函数 及及在点在点 ( 0,0 ) 是否取得极是否取得极值值.解解 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取点邻域内的取值值, 因此因此 (0,0) 不不是是因此因此为极小值为极小值. .正正负负0并且在并且在 (0,0) 都有都有 可能为可能为的极值点的极值点.首页首页泰勒公式的讲解例例8 8 求 在原点是否有极值。 首页首页泰勒公式的讲解最大值最小值（简称最值）问题最大值最小值（简称最值）问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f
14、在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 稳定点、偏导数不存在的点稳定点、偏导数不存在的点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时, 为极小为极小 值值为最小为最小 值值( (大大) ) ( (大大) ) 依据依据首页首页泰勒公式的讲解例例解解 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y 米米 ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2 米米3 的有盖的有盖根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定
15、义域内应存在,长方体水箱，长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸问当长、宽、高各取怎样的尺寸因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.时时,才能使用料最省才能使用料最省?米米 ,首页首页泰勒公式的讲解例例 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解解 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 , 积最大. 为问怎样折法才能使断面面首页首页泰勒公式的讲解令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.首页首
16、页泰勒公式的讲解问题的提出问题的提出: 已知一组实验数据已知一组实验数据求它们的近似函数关系求它们的近似函数关系 yf (x) .需要解决两个问题需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景根据问题的实际背景2. 确定近似函数的标准确定近似函数的标准 实验数据有误差实验数据有误差, ,不能要求不能要求最小二乘法最小二乘法 首页首页泰勒公式的讲解 偏差偏差有正有负有正有负, 值都较小且便于计算值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对为使所有偏差的绝对来确定近似函数来确定近似函数
17、f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据设有一列实验数据分布在某条曲线上分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式找出的函数关系称为经验公式 . , 它们大体它们大体 首页首页泰勒公式的讲解特别特别, 当数据点分布近似一条直线时当数据点分布近似一条直线时,问题为确定问题为确定 a, b 令满足满足:使得解此线性方程组解此线性方程组 即得即得 a, b首页首页泰勒公式的讲解例例为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀具的厚度, 得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适
18、合的经验公式. 解解 通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7首页首页泰勒公式的讲解得法方程组解得 故所求经验公式为0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下: 首页首页泰勒公式的讲解称为均方误差, 对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24
19、.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 首页首页泰勒公式的讲解称为均方误差, 对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 首页首页泰勒公式的讲解作业：作业：P.141 1 首页首页泰勒公式的讲解设设 f 在在 a, b 连续，在连续，在 ( a, b ) 可导，则存可导，则存在在使得使得中值公式也可表示为：中值公式也可表示为：一元函数中值定理一元函数中值定理首页首页泰勒公式的讲解一元函数一元函数的泰勒公式的泰勒公式:设函数设函数在在 x0 的某邻域的某邻域首页首页泰勒公式的讲解
