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1、第四章第四章 若干数学观点中的数学文化若干数学观点中的数学文化第二节第二节 “ 类比类比”的观点的观点 1一、什么是类比一、什么是类比 类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。同的一种推理方法，也是一种观点。 类比的推理是一种类比的推理是一种“合情推理合情推理”，不是证明，它，不是证明，它无无法保证法保证已知相同的属性与推出的属性之间有已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系必然的联系。但是，它是获得新思路，新发现
2、的一种观点、一种手段。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。2二、插值问题中的类比二、插值问题中的类比 1. 1.问题问题：有函数不知其式，在有函数不知其式，在x处取值处取值a，在，在y处取处取b值，值，在在z处取值，问函数（解析式）为何？处取值，问函数（解析式）为何？ 2. 2.类比类比：有物不知其数，三三数之剩有物不知其数，三三数之剩a，五五数之剩，五五数之剩b，七七数之剩，七七数之剩c，问物几何？，问物几何？ 这是我们在前面这是我们在前面“韩信点兵与中国韩信点兵与中国 剩余定理剩余定理”一节一节中已经解决的问题。当时我们有一种成功的方法中已经解决的问题。当时我们有一种成功的方
3、法, ,叫叫“单单因子构件凑成法因子构件凑成法”。这种方法是：对每个要素分别做出一。这种方法是：对每个要素分别做出一个构件，叫单因子构件，再把它们凑在一起，从而解决问个构件，叫单因子构件，再把它们凑在一起，从而解决问题。题。3 具体说是：先找到用具体说是：先找到用3 3除余除余1 1、用、用5 5和和7 7除均能除尽的数除均能除尽的数7070；再找到用；再找到用5 5除余除余1 1、用、用3 3和和7 7除均能除尽的数除均能除尽的数2121；找；找到用到用7 7除余除余1 1、用、用3 3和和5 5除均能除尽的数除均能除尽的数1515；然后算出；然后算出33，5 5，7 = 105 7 = 1
4、05 。最后令。最后令 即为所求。即为所求。4 3插值问题的解法插值问题的解法 通过类比，发现插值问题（有函数不知其式的问题）通过类比，发现插值问题（有函数不知其式的问题）与与“有物不知其数的问题有物不知其数的问题”结构相同，因此可以考虑用结构相同，因此可以考虑用“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”： 先作函数先作函数p(x)在在 处值为处值为1 1，在，在 处值均为处值均为0 0 ； 再作函数再作函数q(x)在在 处值为处值为1 1，在，在 处值均为处值均为0 0 ； 再作函数再作函数r( (x) )在在 处值为处值为1 1，在，在 处值均为处值均为0 0 。 , ;, ; , ;, ; ，
5、 ； 那么，那么， 就是所求的函数。就是所求的函数。即即5 现问题现问题：有函数不知其式，在有函数不知其式，在 处取值处取值a，在在 处取处取b值值，在在 处取值处取值c，问函数（解析式）为何？问函数（解析式）为何？ 原问题的解原问题的解 现问题的解现问题的解 原问题：原问题： 有物不知其数，三三数之剩有物不知其数，三三数之剩a ，五五数之剩，五五数之剩b ，七，七七数之剩七数之剩c，问物几何？，问物几何？6 下面求下面求 最简单的是用多项式的方法。比如设最简单的是用多项式的方法。比如设p( (x) )是一个多项式，是一个多项式，则据条件则据条件 知，它有两个一次因式，可令，知，它有两个一次因
6、式，可令， , ,再用条件再用条件 去求去求 。同理，可求出同理，可求出7于是得于是得: : 经验证，它符合要求，称为经验证，它符合要求，称为插值公式插值公式。 即该函数在即该函数在a, ,b, ,c 三点，插进去的都是预先指定的值三点，插进去的都是预先指定的值 。 它简单，明快，可顺利地推广到任意有限多个点插值它简单，明快，可顺利地推广到任意有限多个点插值的情况。这样，就可以的情况。这样，就可以用用一个一个连续连续的的函数函数去去拟合离散拟合离散的的测测量结果。量结果。8 华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。正是他把上述解决问题的基
7、本思想称为正是他把上述解决问题的基本思想称为“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”，并概括成如下的，并概括成如下的“合成原则合成原则”：要做出具有平行的、类要做出具有平行的、类似的几个性质似的几个性质A A，B B，C C的一个数学结构，而的一个数学结构，而A A，B B，C C分别以某分别以某种种 量刻划量刻划，这时，可用，这时，可用“单因子构件凑成法单因子构件凑成法”：先：先作作B B，C C不发生作用，而不发生作用，而A A取单位量的构件，再作取单位量的构件，再作C C，A A不发生不发生作用，作用，B B取单位量的构件；再作取单位量的构件；再作A A、B B不发生作用，不发生作用，C C
8、取单位量取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有的的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有的书里称为书里称为“孙子孙子华原则华原则”。 体现了体现了“化繁为简化繁为简”的思想。的思想。9 现问题现问题：有函数不知其式，在有函数不知其式，在 处取值处取值a，在在 处取处取b值值，在在 处取值处取值c，问函数（解析式）为何？问函数（解析式）为何？ 原问题的解原问题的解 现问题的解现问题的解 原问题：原问题：有物不知其数，三三数之剩有物不知其数，三三数之剩a ，五五数之，五五数之剩剩b ，七七数之剩，七七数之剩c，问物几何？，问物几何？ 思考题：思考题：如何用如何用“类比
9、类比”的观点，推广的观点，推广 “ “现问题现问题”的上述解答：的上述解答：10三、分割问题中的类比三、分割问题中的类比 1问题问题：5个平面最多把空间分为几个部分？个平面最多把空间分为几个部分？ 平面互相尽可能平面互相尽可能多多地相交，才能分割最多。如果地相交，才能分割最多。如果5 5个平个平面全都平行，那末空间分成的是面全都平行，那末空间分成的是6 6部分，就较少。但部分，就较少。但5 5个平个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从起从“抓三堆抓三堆”趣味问题中学到的数学思想，先把问题一趣味问题中学到的数学思想，先把问题一
10、般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。 2问题一般化：问题一般化：n个平面最多把空间分为几个部分？个平面最多把空间分为几个部分？ 记分为记分为F(nF(n) ) 个部分个部分; ;再令再令n=1,2,3,n=1,2,3,把问题特殊化。把问题特殊化。11 3问题特殊化：问题特殊化： 从简单的情况做起，以便从简单的情况做起，以便“类比类比” 由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展成四个平面，是否就能把空间分为最多的部
11、分呢？成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？ 到底现在把空间分成了几个部分呢？到底现在把空间分成了几个部分呢？ 暂难想象。由此我们想到去类比暂难想象。由此我们想到去类比 “ “直线分割平面直线分割平面”的情形。的情形。13 4 类比类比3条直线分割平面的情形条直线分割平面的情形 这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线，看这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线，看这这3 3条直线把平面分为几部分。数一数，是条直线把平面分为几部分。数一数，是7 7部分。这对我部分。这对我们有什么启示？们有什么启示？14 我们分析一下这我们分析一下这7 7个部分的特点：个部分的特点： 一个是有限的部分
12、，在三角形内部，即一个是有限的部分，在三角形内部，即 ；其余六个；其余六个是无限的部分，其中是无限的部分，其中，与三角形有公共顶点，与三角形有公共顶点，与三角形有公共边。与三角形有公共边。 把它们加起来，于是把它们加起来，于是1+3+3=71+3+3=7。 所以所以3 3条直线分割平面，最多分为条直线分割平面，最多分为7 7个部分。个部分。 15 5 类比考虑四面体的四个面延展成类比考虑四面体的四个面延展成4 4个平面，把空间分为个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为几个部分：有限部分（四面体内部）数为1 1；无限部分与原；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有四面体或有一个公
13、共顶点（有4 4个部分），或有一条公共棱个部分），或有一条公共棱（有（有6 6个部分），或有一个公共面（有个部分），或有一个公共面（有4 4个部分），于是所个部分），于是所分空间总的部分数为分空间总的部分数为 1+4+6+4 = 15 1+4+6+4 = 15 。 以下仍要考虑以下仍要考虑 这就是一开始提出的问题：这就是一开始提出的问题：5 5个平面最多把空间分为几个平面最多把空间分为几个部分？个部分？16 这一问题在平面上的类似问题是什么？是这一问题在平面上的类似问题是什么？是5 5条还是条还是4 4条条直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。
14、对我们来说，不如在不如在“一般情形一般情形”下考虑问题下考虑问题：n n个平面分割空间和个平面分割空间和n n条条直线分割平面。直线分割平面。 n n条直线条直线“处于一般位置处于一般位置”的要求也可以说是：任何的要求也可以说是：任何两条直线都相交；任何三条直线都不共点。两条直线都相交；任何三条直线都不共点。 n n个平面个平面“处于一般位置处于一般位置”的要求是：任两平面都相的要求是：任两平面都相交，且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以交，且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以外任意三个平面的交点。外任意三个平面的交点。17 进而，我们再类比直线上的问题进而，我们再类比直线
15、上的问题:n :n 个一般位置的点分个一般位置的点分割直线的问题。割直线的问题。 这一问题的结论比较清楚：这一问题的结论比较清楚： n n个点最多把直线分为个点最多把直线分为n+1n+1个部分。个部分。 这对我们会有启发。这对我们会有启发。 如果我们把极端情况如果我们把极端情况有零个分割元素的情况有零个分割元素的情况也考虑在内，那么被也考虑在内，那么被“分割分割”成的部分数是成的部分数是1 1。 下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。已取得的结果。18 6.类比一般化类比一般化（解释记号（解释记号 ，然后看图），然后看图） 分
16、割元素分割元素 个个 数数 被分成的部分数被分成的部分数 点分直线点分直线 直线分平面直线分平面 平面分空间平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 15 5 6 19 于是，我们得到了一系列待解决的问题。弧立的问题于是，我们得到了一系列待解决的问题。弧立的问题有时难于理解，而有时难于理解，而解决系列问题有时比解决弧立问题好入解决系列问题有时比解决弧立问题好入手手。 现在，原问题现在，原问题 “ “F(5)=? ” F(5)=? ” 已处在系列问题之中，比已处在系列问题之中，比之原来的情形，求解已有进展。之原来的情形，求解已有进展。20 7（用类比的观
17、点）猜想（用类比的观点）猜想 观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中有什么规律性？联系？其中有什么规律性？ 从最右一列，先以为有从最右一列，先以为有“2 2的方幂的方幂”的规律，但的规律，但8 8后边后边的的 表明这个猜想不对。反复求索的结果，我们可表明这个猜想不对。反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有能忽然看到表中有 3 43 4； 7 8 7 8 7 15 7 15 ， 以及联想到以及联想到 3 + 4 = 73 + 4 = 7，7 + 8 = 157 + 8 = 15。 这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它这是一
18、个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上头上”的数与的数与“左肩左肩”上的数相加而得到。上的数相加而得到。21 表中已出现的每个数都可由它表中已出现的每个数都可由它“头上头上”的数与的数与“左肩左肩”上的数相加而得到。上的数相加而得到。 分割元素分割元素 个个 数数 被分成的部分数被分成的部分数 点分直线点分直线 直线分平面直线分平面 平面分空间平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 15 5 6 22 这是我们解决原问题的钥匙吗？我们猜想它确是规律。这是我们解决原问题的钥匙吗？我们猜想它确是规律。那我们把表按此规律，顺沿到那我们把表按此规律，
19、顺沿到N=5N=5，原问题的解就是，原问题的解就是F(5)=26F(5)=26 ？ 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 （11） 15 5 6 （16） （26） 24类比不是证明类比不是证明 但这种类比不是证明，只是合理的猜测，是合情推理；但这种类比不是证明，只是合理的猜测，是合情推理；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去认定这一猜测，或者还需要用逻辑推理分析这一猜测，去认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比、归纳的方法去研究问题的否定这一猜测。这才是用类比、归纳的方法去研究问题的决定性
20、步骤。决定性步骤。25 8分析、推理分析、推理 我们的分析从我们的分析从 “ “ N=4 N=4 时直线分平面时直线分平面”入手，我们已入手，我们已经通过经通过“顺沿上表顺沿上表”猜想：猜想：4 4条直线最多把平面划分为条直线最多把平面划分为1111个个部分。它是正确的吗？我们在部分。它是正确的吗？我们在3 3条直线分平面条直线分平面 为为7 7个部分的个部分的基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来的基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如右图。每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如右图。我们数一下，现在确实把平面分成了
21、我们数一下，现在确实把平面分成了1111个部分。所以这猜个部分。所以这猜测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。2627 3 3条直线分平面为条直线分平面为7 7个部分；个部分；4 4条直线就分平面为条直线就分平面为1111个个部分了，即增加了部分了，即增加了4 4部分；从部分；从3 3条直线添一条直线，为什么条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出分割平面正好多出4 4部分？分析一下：新添的直线与原来部分？分析一下：新添的直线与原来3 3
22、条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交条直线每条都相交，而且交在与原交点不同的点，这就交出了出了3 3个新交点，这个新交点，这3 3点把新添的直线分为点把新添的直线分为4 4段，每一段把段，每一段把它穿过的（由前它穿过的（由前3 3条直线分成的）那个区域一分为二，因条直线分成的）那个区域一分为二，因此此“平面分割平面分割”增加了增加了4 4个部分，这就是个部分，这就是“4”4”的来历，而的来历，而且这个分析表明，这个且这个分析表明，这个“4”4”也正是也正是3 3点把直线分为点把直线分为4 4部分部分的的“4”4”，也就是，也就是“11”11”左肩上的左肩上的“4”4”。11=4+
23、711=4+7原来是这原来是这样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大样产生的。这种分析已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信心。地增强了我们对所发现的规律的信心。28 分割元素 个 数 被分成的部分数 点分直线 直线分平面 平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 （11） 15 5 6 （16） （26） 29 9 9再类比得一般情形的公式及再类比得一般情形的公式及 我们再类比分析我们再类比分析n=4n=4时平面分空间的情况。这时我时平面分空间的情况。这时我们不容易在平面的黑板上作立体图了，只能借助于刚们不容易在平
24、面的黑板上作立体图了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想像。但是我们可以才四面体延展的那个图来想像。但是我们可以从思维从思维上、语言上类比上、语言上类比刚才的情形。刚才的情形。30 我们在我们在3 3个平面分空间为个平面分空间为8 8个部分的基础上，再添加个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的一个平面，这个平面与原来的3 3个平面都相交，并且又不个平面都相交，并且又不过原来过原来3 3平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了就交出了3 3条新直线，这条新直线，这3 3条直线把新添加的平面分为条直线把新添加的平面分为7 7个个部分（
25、就是上面部分（就是上面“类比一般化类比一般化”的大表格中的的大表格中的“7”7”），），每一部分把它穿过的（由前每一部分把它穿过的（由前3 3个平面分成的）区域一分为个平面分成的）区域一分为二，因此二，因此“空间分割空间分割”增加了增加了7 7个部分，而原有个部分，而原有8 8个部分，个部分，这就是这就是15=7+815=7+8的来历。的来历。31 分割元素分割元素 个个 数数 被分成的部分数被分成的部分数 点分直线点分直线 直线分平面直线分平面 平面分空间平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 （11） 15 5 6 （16） （26） 32 这里
26、的这里的n=3n=3到到n=4n=4的过渡，并没有任何特殊的地方，我的过渡，并没有任何特殊的地方，我们可以完全类似地分析由们可以完全类似地分析由 n-1n-1向向 n n过渡时发生的情况，得过渡时发生的情况，得到一般的表达式。到一般的表达式。 与段落与段落 “ “8 8” ” 类似地可以得到公式：类似地可以得到公式： 与段落与段落 “ “9 9” ” 类似地可以得到公式：类似地可以得到公式： 这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波那契这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。33 我们只再叙述一遍较为复
27、杂的我们只再叙述一遍较为复杂的公式公式 得到的过程得到的过程。它实际上只要在上面的叙述中，。它实际上只要在上面的叙述中， 把把“3 3个平面个平面”换为换为“n-1n-1个平面个平面”，把，把“8 8个部分个部分”换换为为“F(n-1) F(n-1) 个部分个部分”，把，把“3 3条新直线条新直线”换为换为“n-1n-1条新直条新直线线”，把，把“7 7个部分个部分”换为换为“f(n-1)f(n-1)个个 部分部分”，把，把“15”15”换为换为“F(nF(n) ) ”就完成了。就完成了。 简单说，是在简单说，是在“往前数三屏往前数三屏”的叙述中，做下边的的叙述中，做下边的f(n-1)f(n-
28、1) 代换：代换：34 n n个平面把空间最多分为个平面把空间最多分为F(nF(n) ) 个部分，求个部分，求F(nF(n) ) ，不厌其繁地详细说一遍，就是：不厌其繁地详细说一遍，就是： 我们在我们在n-1n-1个平面分空间为个平面分空间为 F(n-1)F(n-1) 个部分的基础个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的上，再添加一个平面，这个平面与原来的 个平面都相个平面都相交，并且又不过原来任交，并且又不过原来任3 3个平面的交点，从而不过原来个平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了任两平面的交线，这就交出了 n-1n-1条新直线，这条新直线，这 n-1n-1条条直线把
29、新添的平面分为直线把新添的平面分为 f(n-1)f(n-1)个部分，每一部分把它个部分，每一部分把它穿过的（由前穿过的（由前 n-1n-1个平面分成的）区域一分为二，因此，个平面分成的）区域一分为二，因此，“空间分割空间分割”增加了增加了 f(n-1)f(n-1)个部分，而原有个部分，而原有 F(n-1)F(n-1)个个部分，部分，所以现在，空间共被分割成的所以现在，空间共被分割成的“部分数部分数”是是 35这就是推出这一公式的逻辑推理过程。这就是推出这一公式的逻辑推理过程。 另一公式另一公式 的逻辑推理过程，请同学自己完成。的逻辑推理过程，请同学自己完成。36 分割元素分割元素 个个 数数
30、被分成的部分数被分成的部分数 点分直线点分直线 直线分平面直线分平面 平面分空间平面分空间 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8 4 5 （11） 15 5 6 （16） （26） 37 10.10.推出显公式推出显公式 及及 上边得到的还只是递推公式、关系公式，我们希望上边得到的还只是递推公式、关系公式，我们希望进一步得到像进一步得到像 L(n)=n+1 那样的、关于那样的、关于 f(n) 及及F( (n) )的显的显公式，即直接用公式，即直接用n的解析式来表达的解析式来表达f(n)及及F( (n) ) 。 下边的技巧是常用的。下边的技巧是常用的。 利用利用f(0)
31、=1 f(0)=1 及递推公式及递推公式得到下面一系列等式，然后等号两边分别相加得到下面一系列等式，然后等号两边分别相加38 1 1） 直线分平面的情形直线分平面的情形 2 2） 平面分空间的情形平面分空间的情形3940 1111另法：用数学归纳法证明显公式另法：用数学归纳法证明显公式 另一种方法是：用不完全归纳法总结出（或者说另一种方法是：用不完全归纳法总结出（或者说 “猜出猜出”）显公式，再用数学归纳法去证明该显公式。）显公式，再用数学归纳法去证明该显公式。 1 1） 直线分平面的情形直线分平面的情形 （略）（略） 2 2） 平面分空间的情形平面分空间的情形 （略）（略）41 趣题填骨牌：
32、填骨牌： 用个用个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形盒，矩形盒，有多少种方法？如下图。有多少种方法？如下图。 （ 矩形骨牌矩形骨牌 ） （ 矩形盒矩形盒 ） 42 用个用个 矩形骨牌挤满矩形骨牌挤满 矩形矩形盒，有多少种方法？如下图。盒，有多少种方法？如下图。 43提示提示o问题一般化问题一般化o问题特殊化问题特殊化o猜测规律猜测规律o证明规律证明规律44 o问题一般化问题一般化 n 245o问题特殊化问题特殊化分别考虑分别考虑 n = 1 、 n = 2、 n = 3 的情况的情况46 答:(1) ； (2) ， ； (3) ， ， ； 47o猜测规律猜测规律o证明规律证明规律48答答 案案u其规律是：所求的方法种数，逐次为缺了第一项的斐波那其规律是：所求的方法种数，逐次为缺了第一项的斐波那契数列，即契数列，即 1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434，5555，8989，144 144 u本题本题 n = 10 , n = 10 , 所以答案是：所以答案是： 用个用个 的矩形骨牌，挤满的矩形骨牌，挤满 的矩形盒，的矩形盒，共有共有8989种方法。种方法。49本节结束本节结束谢谢！50
