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1、高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 选选选选选选修修修修修修- - - - - -1.41.41.41.4 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用新课引入新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用, ,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法, ,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题. .1. .几何方面的应用几何方面的应用. .2. .物理方面的应用物理方面的应用. .3. .经济学方面的应用经济学方面的应用. .（面积和体积等的最值）（面积和体积等的最值）（利润方面最值）
2、（利润方面最值）（功和功率等最值）（功和功率等最值）例例1在边长为在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？箱底的容积最大？最大容积是多少？解:设箱底边长为x cm， 箱子容积为Vx2 h则箱高V =60x3x/2令V 0，得x40，x0 (舍去)得V (40)16000答：当箱底边长为x40时，箱子容积最大，最大值为16000cm3当x(0，40)时V (x)0；当x
3、(40，60)时V (x)0；V (40)为极大值，且为最大值例例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？hR解解:设桶底面半径为设桶底面半径为R，因为因为S(R)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省333变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时时, ,它的高与底面半径应怎样选取，它的高与底面半径应怎样选取， 才能使所用材料最省？才能
4、使所用材料最省？提示：S2Rh2R2 hV(R) R2(S2R2)R SRR3V (R)0 S6R2 6R2 2Rh2R2 h2R例例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电，电动势为动势为，外电阻，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？大电功率是多少？R解：电功率PI2R，其中I为电流强度，则PE/ /(Rr)2R由由P0，解得：，解得：Rr列表分析列表分析，当当Rr时，时，P取得极大值，且是最大值最大值为取得极大值，且是最大值最大值为P答：当外电阻答：当外电阻R等于内等于内电阻阻r时，电功率最大，最大功
5、率最大，最大电功率是功率是 例例4 4 强度分别为强度分别为a，b的两个点光源的两个点光源A，B，它们间，它们间的距离为的距离为d，试问在连接这两个光源的线段，试问在连接这两个光源的线段AB上，上，何处照度最小？试就何处照度最小？试就a8，b1，d3时回答上述时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比成反比ABPX3X解：如图，设点P在线段AB上，且P距光源A为x， 则P距光源B为3x(0x3).P点受A光源的照度为（其中，k为比例常数）P点受B光源的照度为从而，P点的总照度为：解得x2，故当0x2时，I(x)0；当2x3时， I(
6、x)0因此，x2时，I取得极小值，且是最小值答：在连结两光源的线段答：在连结两光源的线段AB上，距光源上，距光源A为为2处的照度最小处的照度最小例例5 5 在经济学中，生产在经济学中，生产x单位产品的成本称为成单位产品的成本称为成本函数，记为本函数，记为C(x)；出售；出售x单位产品的收益称为收单位产品的收益称为收益函数，记为益函数，记为R(x)；R(x)C(x)称为利润函数，称为利润函数，记为记为P(x).（1 1）设）设C(x)106x30.003x25x1000，生产多，生产多少单位产品时，边际成本少单位产品时，边际成本C(x)最低最低? ?（2 2）设）设C(x)50x10000，产品
7、的单价，产品的单价p1000.01x，怎样定价可使利润最大？怎样定价可使利润最大？解：（1）c(x)3106x20.006x5g(x)， g(x) 6106x0.0060， 解得：x1000，而g(x)在x0上仅有一个极小值，故x1000时边际成本最低（2）P(x) R(x) C(x) x(1000.01x)(50x10000) 0.01x250x 10000 ， x2500，而P(x)最大，此时P1002575答：生产1000个单位产品时，边际成本最低；当生产的单价为75时，利润最大四、课堂练习四、课堂练习1将正数将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成分成两部分，使其立方和为最
8、小，这两部分应分成_和和_2在半径为在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时，它的面积最大时，它的面积最大3有一边长分别为有一边长分别为8与与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？的小正方形边长应为多少？4一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面希望在断面ABCD的面积为定值的面积为定值S时，使得湿周时
9、，使得湿周lAB+BC+CD最最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长和下底边长b.五、回顾反思五、回顾反思（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较与端点值比较（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
