《高考数学总复习精品课件苏教版：第六单元第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习精品课件苏教版：第六单元第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例平面向量的数量积及平面向量的应用举例基础梳理基础梳理1. 两个向量的夹角(1)定义已知两个 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角的范围是 0180 ,a与b同向时,夹角= ;a与b反向时,夹角= .(3)向量垂直如果向量a与b的夹角=90,则a与b垂直,记作 .ab2. 平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量 叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,并规定：零向量与任一向量的数量积为 .(2)一向量在另一向量方向上的投影定义
2、:设是非零向量a和b的夹角,则 叫做 a在b的方向上的投影,|b|cos叫做 投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当090时,它是 ,当900,即若f(x)在(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为 5,+).学后反思 新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角、函数、解析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识进行综合必将是高考的趋势.本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题,向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式f(x)=-x3+x2+tx+t,就可以用导数等知识解决.解题时应分清层次,明确向量在综合问题中的作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决.
3、举一反三举一反三4.已知向量OA=(3,-4），OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),(1)若点A,B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数的m值。解析： （1）已知向量若点A,B,C能构成三角形，则这三点共线， 故知3(1-m) 2-m ,满足条件。（2）若ABC为直角三角形，且A为直角，则3（2-m)+(1-m)=0,解得易错警示易错警示【例1】下列命题正确的序号是 。若ab,bc, 则ac若 是平面内一组非零向量，则由 ，得x=y=0;若 ，且co,则a=b;在ABC中， 若有 ，则ABC为钝角三角形； 与c垂直错解：错误分析：
4、认为正确，在于忽略了零向量和任意向量平行这一性质，只有非零向量的平行性才具有传递性；认为正确，原因是审题错误，只有强调 、 不共线才有此结论；认为正确，在于将向量数量积运算与实数运算律混淆了，向量数量积运算不满足结合律，这是因为 表示与c 共线的向量，而 表示与a共线的向量，而a和c的方向并不一定一致；同的错误一样，数量积的运算不满足消去率，由数量积的意义只需a和b在c方向上投影相同即可；认为正确，错误在于忽视向量夹角的概念， 0说明B的补角为钝角，故此时三角形形状不确定。正解 ；由于 = 故结论成立。【例2】设 是夹角为的两个单位向量，且 ，求 的值。错解：错解分析: 上面的解法错误的认为
5、是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量。正解考点演练考点演练10.（2009重庆）设ABC的三个角为A,B,C,向量 求C解析：11.求与向量 夹角相等，且模为 的向量c的坐标.解析： 如图，设c=(x,y),则由得 或 12.（2009江苏）设a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ).（1）若a与b-2c垂直，求tan(+)的值；（2）求|b+c|的最大值.(3) tantan=16,求证：ab解 因为a与b-2c垂直，a(b-2c)=4cossin -8cos cos +4sin cos +8sin sin =4sin(+)-8cos（+）=
6、0,tan(+)=2.2）由b+c=(sin +cos ，4cos -4sin ）,得又当 (kZ)时，“=”成立，所以|b+c|的最大值为（3）证明：由 ab第三节第三节 等比数列等比数列基础梳理基础梳理1. 等比数列的定义一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示.2. 等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比.3. 等比中项如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项.4.
7、 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mN*).(2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal= aman.(3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列. 5. 等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即6. 等比数列前n项和的性质等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.题型一题型一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前
8、n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论.解若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾. 得1+qn=82,qn=81.将代入，得q=1+2a1.又q0,qn=81,q1,an为递增数列.an=a1qn-1=27.由、得q=3,a1=1,n=4.a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.解析:
9、a9+a10=a,a9(1+q)=a,又a19+a20=b,a19(1+q)=b,由 得则a99(1+q)=x,由 得答案: 举一反三举一反三1.(2009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.题型二题型二 等比数列的判定等比数列的判定【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*).(1)求证：数列an+1是等比数列;(2)求通项公式an.分析利用等比数列的定义证明 为非零常数即可.解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.学后反思
10、等比数列的判定方法主要有：(1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)；(2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).举一反三举一反三2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是 证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列.必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解
11、得 题型三题型三 等比数列的性质等比数列的性质【例3】(1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值；(2)已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.分析(1)利用等比数列的性质求解.（2）注意4个数成等比数列的设法.解（1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则学后反思在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算
12、量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.举一反三举一反三3. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值.(2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解析：（1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2，a17+a18+a19+a20=S424=124=16.（）a3a5=a24,a3a4a5=a34=8,a4=2.又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32 题型四题型四 等比数列的最值问题等比数列的最值问题【例4】(14分)等比数列an
13、的首项为a1=2 008，公比.(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？分析（1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式.（2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.解当n=12时，f(n)有最大值为学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.举一反三举一反三4. （2009潍坊模拟）已知等比数列b
14、n与数列an满足bn= （nN*）.(1)判断an是何种数列，并给出证明；(2)若a8+a13=m,求b1b2b20;(3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值.解析:(1)证明:设bn的公比为q,bn=3an,3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q,an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.（2）a8+a13=m,由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m.(3)由b3b5=39,得a3+a5=9.易错警示易错警示【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项.（1）求 的通项公
15、式;(2)求 错解(1)由已知得 ,又 ,得 , 两式相减得 ,故 ,又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列，故 错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.正解(1)由已知，当n2时， .又 ,由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列，其中 ,即 , ,当n2时， 即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这
16、个等比数列的公比 错解依题意，设这四个数为 , ,aq, ,则 , ,由得 ,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或 错解分析从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里.正解依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则 解得 或 考点演练考点演练10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求 解析：由等比数列性质得， , , , 成等比数列，则 由 得 ,又 解得 11. (2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值；（2）若 ，求n的值.解析 (1) ,解得 (2)由 ,得 n=10.12. (2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式.解析： (1)由 及 ,得 ,即 , ,当n2时， .-得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.（2）由(1)可得 =3 , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即
