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1、学科素养培优三构造法解抽象函数问题学科素养培优三构造法解抽象函数问题在导数及其应用的客观题中在导数及其应用的客观题中, ,有一个热点考查点有一个热点考查点, ,即不给出具体的函数解析式即不给出具体的函数解析式, ,而是给出函数而是给出函数f(x)f(x)及其导数满足的条件及其导数满足的条件, ,需要据此条件构造抽象函数需要据此条件构造抽象函数, ,再根据再根据条件得出构造的函数的单调性条件得出构造的函数的单调性, ,应用单调性解决问题的题目应用单调性解决问题的题目, ,该类题目具有一该类题目具有一定的难度定的难度. .下面总结其基本类型及其处理方法下面总结其基本类型及其处理方法. .类型一只含
2、类型一只含f(x)f(x)类类反思归纳反思归纳 利用利用(f(x)+kx+b)=f(x)+k,(f(x)+kx+b)=f(x)+k,根据导数符号根据导数符号, ,可得出函数可得出函数g(x)= g(x)= f(x)+kx+bf(x)+kx+b的单调性的单调性, ,利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式等利用其单调性比较函数值大小、解抽象函数的不等式等. .类型二含类型二含f(x)f(x)f(x)f(x)类类【例例2 2】 (2017(2017安徽合肥一中安徽合肥一中) )已知函数已知函数f(x)f(x)在在R R上的导函数为上的导函数为f(x),f(x),若若f(x)f(x)f(x)2
3、ef(x)2ex x的解集是的解集是( () )(A)(2,+)(A)(2,+) (B)(0,+)(B)(0,+)(C)(-,0)(C)(-,0) (D)(-,2)(D)(-,2)反思归纳反思归纳 由于由于e ex x0,0,故故eex xf(x)=f(x)+f(x)ef(x)=f(x)+f(x)ex x, ,其符号由其符号由f(x)+ f f(x)+ f (x)(x)的符号确定的符号确定, = , = ,其符号由其符号由f(x)-f(x)f(x)-f(x)的符号确定的符号确定. .含有含有f(x)f(x)f(x)f(x)类的问题可以考虑构造上述两个函数类的问题可以考虑构造上述两个函数. .类
4、型三类型三f(x)f(x)tan xf(x)f(x)tan x类类【例例3 3】 (2017 (2017湖南省衡阳八中月考湖南省衡阳八中月考) )已知已知f(x)f(x)的定的定义域域为(0,),(0,),且且对定定义域内的任意域内的任意x x恒有恒有f(x)sin xf(x)cos xf(x)sin xf(x)cos x成立成立, ,则下列关系成立的是下列关系成立的是( () )思路点拨思路点拨: :构造函数构造函数g(x)= .g(x)= .类型四含类型四含xf(x)f(x)xf(x)f(x)类类【例例4 4】 (1) (1)(2017(2017福建厦门质检福建厦门质检) )定义在定义在R
5、 R上的函数上的函数f(x),f(x),其导函数是其导函数是f(x),f(x),若若x xf(x)+f(x)0,f(x)+f(x)0,则下列结论一定正确的是则下列结论一定正确的是( () )(A)3f(2)2f(3)(A)3f(2)2f(3)(B)3f(2)2f(3)(C)2f(2)3f(3)(C)2f(2)3f(3)(D)2f(2)3f(3)(2)(2)(2017(2017江西宜春质检江西宜春质检) )已知已知f(x)f(x)是定义在区间是定义在区间(0,+)(0,+)上的函数上的函数, ,其导函其导函数为数为f(x),f(x),且不等式且不等式xf(x)2f(x)xf(x)2f(x)恒成立恒成立, ,则则( () )(A)4f(1)f(2)(A)4f(1)f(2)(B)4f(1)f(2)(C)f(1)4f(2)(C)f(1)4f(2)(D)f(1)2f(2)(D)f(1)2f(2)解析解析: :(1)(1)设设g(x)=xf(x),g(x)=xf(x),则则g(x)=xf(x)+f(x)0,g(x)=xf(x)+f(x)g(3),g(2)g(3),则则2f(2)3f(3).2f(2)3f(3).故选故选D.D.
