《几何与代数：5-4 实对称矩阵的相似对角化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何与代数：5-4 实对称矩阵的相似对角化（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 5.4 5.4 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化一、共轭矩阵一、共轭矩阵二、实对称矩阵的特征值二、实对称矩阵的特征值 与特征向量与特征向量三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化四、综合例题四、综合例题1实对称实对称矩阵是一类特殊的矩阵矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定它们一定即存在即存在可逆矩阵可逆矩阵P , 使得使得更可找到更可找到正交矩阵正交矩阵C可以对角化可以对角化.使得使得2一、共轭矩阵一、共轭矩阵 共轭矩阵具有以下性质：共轭矩阵具有以下性质：3二、实对称矩阵的特征值与特征向量二、实对称矩阵的特征值与特征向量定理定理1
2、 实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数 .证证4推论推论2 实对称矩阵实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量的特征向量都是实向量 .（重根按重数计算重根按重数计算）推论推论15定理定理2 实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交 .证证6三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化证明略证明略定理定理37结论结论89例例 解解10111213解解 对下列各实对称矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵分别求出正交矩阵P，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值14解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之
3、得基础解系15解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化16171819于是得于是得正交阵正交阵20 例例 求求 a , b 的值与正交矩阵的值与正交矩阵 C , 使使 解解212223例例 实对称矩阵实对称矩阵 A 与与 B 相似相似证证24四、本章综合例题四、本章综合例题例例 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的任何一行元素的和都是的任何一行元素的和都是 a , 求求 A 的的一个特征值与特征向量一个特征值与特征向量 . 解解2526例例 解解2728例例 设设 A 是是 3 阶矩阵阶矩阵,且且 I + A , 3IA
4、 ,I3A 均不可均不可逆逆 .证明证明 ： 解解2930例例 设设 A 是是 3 阶矩阵阶矩阵, A的特征值是的特征值是 1, 2, 3 ,解解31例例 设矩阵设矩阵解解3233例例 设设 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A 的特征值是的特征值是 1, 2, 3, A 对应于特征值对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是的特征向量分别是 ：解解34351. 共轭矩阵共轭矩阵,实对称矩阵实对称矩阵.小小 结结2. 实对称实对称矩阵的性质矩阵的性质(一定能对角化一定能对角化) (1)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (2)特征值的特征值的重数重数和与之对应的线性无关的和与之对应的线性无关的特征向量的特征向量的个数相等个数相等； (3)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值3. 利用正交矩阵将实对称阵利用正交矩阵将实对称阵化为对角阵化为对角阵的的步骤步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量正交化；量正交化；(4)最后单位化最后单位化36
