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1、高等数学 第二十九讲1一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 2一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;其中P(x), Q(x)是x 的已知函数 ，Q(x)为自由项。称P(x)为变系数；3常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .设设通解形式通解形式4
2、对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即设（1）的解为两端积分得5解解 直接应用一阶微分方程通解公式故原方程通解为例例1. 解方程 6例例2 求微分方程的通解。解：解： 原式整理为由公式得通解7例例3： 求微分方程满足的特解。上式不是一阶线性方程的形式，函数，方程可写为：此方程为一阶线性微分方程。通解：通解：解：解：若将 x 看成 y 的用通解公式有：特解：特解：8求微分方程的通解.例例4解解9例例5 求一连续可导函数使其满足下列方程:解解:令利用公式可求出方程两边求导，整理得10解法解法1 化为齐次方程, 原方程变形
3、为积分得将代入 ,得通解例例6：求下列微分方程的通解.11解法解法2 化为线性方程. 原方程变形为其通解为即12例例7. 7. 设且满足方程求解解：即 求导得： 即 从而求得通解 又故所以 13部分的面积, 求曲线两边求导得解解例例10轴的动直线被曲线如图所示，平行与与截下的线段PQ之长数值上等于阴影所求曲线为14二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)15例例1. 求方程的通解.解解: 原方程两边同时乘以则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 得:令两边同
4、时对x 求导得：16解解例例2原式原式17例例3：求的通解。原方程整理得：方程两边同乘以令代入原方程整理得：原方程的通解：解解18用适当的变量代换解下列微分方程:解解所求通解为所求通解为例例4 419解解分离变量法得所求通解为所求通解为用适当的变量代换解下列微分方程:例例4 420内容小结内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2. 伯努利方程21思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示: 可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程22例例5. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得故方程可变形为所求所求通解为通解为 这是以为因变量, y为 自变量的一阶线性方程24例例7. 设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解解: 1) 先解定解问题利用通解公式, 得利用得故有252) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3) 原问题的解为26解解代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为另解另解用适当的变量代换解下列微分方程:例例4 427
