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1、1两个求导公式两个求导公式1 1 关于关于一元函数一元函数含参变量积分含参变量积分的求导公式的求导公式2 2 关于关于二元函数二元函数含参变量积分含参变量积分的求导公式的求导公式2第三章第三章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法，本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法，一是一是行波法行波法( (或或达朗贝尔解法达朗贝尔解法) )，二是，二是积分变换法积分变换法。行波法行波法只能用于求解只能用于求解无界区域内波动方程无界区域内波动方程的定的定解问题。解问题。 虽有很大的局限性，但对于波动问题有其虽有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是
2、数理方程的基本解法之一。特殊的优点，所以该法是数理方程的基本解法之一。积分变换法积分变换法不受方程类型的限制，不受方程类型的限制，主要用于无主要用于无界区域界区域，但对于有界区域也能应用。，但对于有界区域也能应用。33.1 3.1 达朗贝尔公式达朗贝尔公式. .波的传播波的传播3.1.1 3.1.1 弦振动方程的达朗贝尔解法弦振动方程的达朗贝尔解法如果我们所考察的如果我们所考察的弦线长度很长弦线长度很长， 而我们需要而我们需要知道的又只是在较短时间且知道的又只是在较短时间且离开边界较远的一段离开边界较远的一段范围范围内的振动情况，内的振动情况，那么那么边界条件的影响边界条件的影响就可以就可以忽
3、略忽略。不妨把所考察弦线的不妨把所考察弦线的长度视为无限长度视为无限，而需，而需要知道的只是要知道的只是有限范围内有限范围内的振动情况。的振动情况。此时，定解问题归结为如下形式：此时，定解问题归结为如下形式：(1)(1)(2)(2)4(1)(1)(2)(2)对于上述初值问题，由于微分方程及定解条件对于上述初值问题，由于微分方程及定解条件都是线性的，所以都是线性的，所以叠加原理叠加原理同样成立。同样成立。(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)即如果即如果和和分别是下述初值问题分别是下述初值问题和和的解，的解， 则则是原问题是原问题(1)(2)(1)(2)的解。的解。5(3)(3)(4)
4、(4)首先我们考察问题首先我们考察问题(3)(4)(3)(4). . 通过通过自变量变换自变量变换求解。求解。为此，令为此，令(7)(7)其逆变换为其逆变换为(8)(8)用用记新的未知函数，则记新的未知函数，则6(3)(3)(4)(4)(7)(7)利用复合函数微分法则，得到利用复合函数微分法则，得到同理可得同理可得(9)(9)(10)(10)将将(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化简即得化简即得7(3)(3)(4)(4)(7)(7)将将(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化简即得化简即得(11)(11)方程方程(11)(11)可以通过可以通过积分法积分
5、法直接求解。直接求解。 先关于先关于积分一次，积分一次，积分一次，便可得到方程积分一次，便可得到方程(11)(11)再关于再关于的的通解通解为为(12)(12)其中其中都是具有二阶连续导数的任意函数。都是具有二阶连续导数的任意函数。再将自变量变换再将自变量变换(7)(7)代入代入(12)(12)则可得则可得8(3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示为可表示为(13)(13)下面，我们利用下面，我们利用初始条件初始条件(4)(4)来确定通解来确定通解(13)(13)中中的任意函数的任意函数将将(4)(4)代入代入(13)(13)得得(14)(14)(15)(15)再将再将(
6、15)(15)式两边积分得式两边积分得(16)(16)其中其中是任意一点，而是任意一点，而是积分常数。是积分常数。9(3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示为可表示为(13)(13)(14)(14)(16)(16)由由(14)(14)和和(16)(16)变形得变形得(17)(17)把把(17)(17)代入通解式代入通解式(13)(13)得初值问题得初值问题(3)(4)(3)(4)的解的解10(3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示为可表示为(13)(13)(17)(17)这种求解方法称为这种求解方法称为达朗贝尔解法达朗贝尔解法。(18)(18)这个公
7、式称为这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称或称达朗贝尔解达朗贝尔解。113.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义和和的两个函数之和的两个函数之和(13)(13)(3)(3)(4)(4)从从通解通解(13)(13)式可见，自由弦振动方程的解，可式可见，自由弦振动方程的解，可以表示成形如以表示成形如通过它们可以清楚地看出波动传播的性质。通过它们可以清楚地看出波动传播的性质。先考察先考察(19)(19)显然它是方程显然它是方程(3)(3)的解。的解。给给 以不同的值，就可以以不同的值，就可以看出弦在各个时刻相应的振动状态。看出弦在各个
8、时刻相应的振动状态。123.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义(13)(13)(3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)在在时，时，它对应于初始时刻的它对应于初始时刻的振动状态振动状态( (相当于弦在初始时刻各点的位移状态相当于弦在初始时刻各点的位移状态) )，如图如图3.13.1实线所示实线所示图图3.13.1133.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义(13)(13)(3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)经过时间经过时间 后，后，在在它相当于原来的图形它相当于原来的图形平面上，平面上，向右平移了一段距离向右平移了一段
9、距离图图3.13.1143.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义(13)(13)(3)(3)(4)(4)随着时间的推移，这个图还将不断地向右移动，随着时间的推移，这个图还将不断地向右移动，这说明当方程这说明当方程(3)(3)的解表示成的解表示成的形式时，的形式时，振动的波形是以常速度振动的波形是以常速度向右传播向右传播，图图3.13.1153.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义(13)(13)(3)(3)(4)(4)因此，由函数因此，由函数右传播波右传播波。的解，称为的解，称为左传播波左传播波它描述的振动波形是以常速度它描述的振动波形是以常速度
10、向左传播向左传播。所描述的振动规律，称为所描述的振动规律，称为同样，形如同样，形如图图3.13.1163.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义(13)(13)(3)(3)(4)(4)由此可见，由此可见，通解通解(13)(13)表示弦上的任意扰动总是表示弦上的任意扰动总是以以行波形式行波形式分别分别向两个方向向两个方向传播出去，传播出去，正好是方程正好是方程(3)(3)中出现的常数中出现的常数其传播速度其传播速度达朗贝尔解法达朗贝尔解法又称为行波法又称为行波法图图3.13.117练习练习用用行波法行波法求解下列定解问题求解下列定解问题解解振动方程的振动方程的通解通解为为其
11、中其中都是具有二阶连续导数的任意函数。都是具有二阶连续导数的任意函数。下面，我们利用下面，我们利用边界条件边界条件来确定通解中的任意来确定通解中的任意函数函数首先由条件首先由条件令令18练习练习用用行波法行波法求解下列定解问题求解下列定解问题解解振动方程的振动方程的通解通解为为利用条件利用条件令令19练习练习用用行波法行波法求解下列定解问题求解下列定解问题解解振动方程的振动方程的通解通解为为将将代入通解公式即得定解问题的解为代入通解公式即得定解问题的解为20(3)(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域初值问题初值问题(3
12、)(4)(3)(4)的解在一点的解在一点的数值与的数值与初值初值条件条件在在轴上哪些点的值有关？轴上哪些点的值有关？从达朗贝尔公式从达朗贝尔公式(18)(18)可以看到，可以看到， 解在解在点的点的数值仅依赖于数值仅依赖于轴的区间轴的区间上的初值上的初值条件，而与其他点上的初值条件无关，条件，而与其他点上的初值条件无关，这个区间这个区间称为点称为点的的依赖区间依赖区间。21(3)(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域它是过它是过点分别作斜率为点分别作斜率为轴所交截得的区间，轴所交截得的区间，的直线与的直线与如图如图3.2
13、3.2所示。所示。依赖区间依赖区间图图3.23.222(3)(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域考虑初始轴考虑初始轴上的一个上的一个区间区间过点过点作斜率作斜率为为的直线的直线过点过点为为的直线的直线作斜率作斜率过点过点为为的直线的直线它们和区间它们和区间一起构成一个一起构成一个三角形三角形区域区域，如图，如图3.33.3所示。所示。图图3.33.323(3)(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域区域区域中的数值完全由区间中的数值完全由区间此此三
14、角形区域三角形区域中任一点中任一点图图3.33.3的的依赖区间依赖区间都落在区间都落在区间内部，内部，因此，解在因此，解在三角形三角形上的初值条件决定，上的初值条件决定，而与此区间外的初值条件无关。而与此区间外的初值条件无关。24决定区域决定区域(3)(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域即给定区间即给定区间此此三角形区域三角形区域称为区间称为区间图图3.33.3的的决定区域决定区域。上的初值上的初值条件，就可以在其条件，就可以在其决定区域决定区域中决定中决定初值问题初值问题(3)(4)(3)(4)的解。的解。25(3)
15、(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域问题：问题： 如果在初始时刻如果在初始时刻图图3.43.4扰动仅在一有限扰动仅在一有限区间区间上存在，上存在， 则则经过时间经过时间 后，它所影响后，它所影响到的范围是什么呢？到的范围是什么呢？我们知道，波动是以一定的速度我们知道，波动是以一定的速度 向两个方向传播向两个方向传播26(3)(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域因此，经过时间因此，经过时间图图3.43.4后，它所后，它所传到的范围传到的范围( (
16、受初始扰受初始扰所限定，所限定， 而在此范围之外仍处于静止状态。而在此范围之外仍处于静止状态。动影响到的范围动影响到的范围) )由由不等式不等式(20)(20)27(3)(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域影响区域影响区域图图3.43.4在在平面上，平面上，(20)(20)式式(20)(20)所表示的区域称为区间所表示的区域称为区间的的影响区域影响区域，如右图，如右图在此区域中在此区域中，初值问题的解，初值问题的解的数值是的数值是受到受到区间区间上初值条件的上初值条件的影响影响的；的；28(3)(3)(4)(4)(18
17、)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域影响区域影响区域图图3.43.4在在平面上，平面上，(20)(20)式式(20)(20)所表示的区域称为区间所表示的区域称为区间的的影响区域影响区域，如右图，如右图在此区域外在此区域外，初值问题的解，初值问题的解的数值则的数值则不受区不受区间间上初值条件的上初值条件的影响影响。29(3)(3)(4)(4)(18)(18)3.1.3 3.1.3 依赖区间依赖区间、决定区域决定区域和和影响区域影响区域图图3.53.5特别的，将区间特别的，将区间(20)(20)收缩为一点收缩为一点的的影响区域影响区域，如右图，如
18、右图为过此点的两条斜率各为为过此点的两条斜率各为则可得则可得的直线的直线一点一点影响区域影响区域所夹成的所夹成的角形区域角形区域。30(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)为了求解问题为了求解问题(5)(6)(5)(6)，我们利用，我们利用齐次化原理齐次化原理，把把非齐次方程非齐次方程的求解问题的求解问题化为化为相应的相应的齐次方程齐次方程的情况来处理，的情况来处理，从而可以直接利用前面有关齐从而可以直接利用前面有关齐次方程的结果。次方程的结果。31(5)(5)(6)(6)3.1.4 3.1.4 齐次化原理齐次化原理齐次化原理齐次化原理 若若是初值问题是初值问
19、题(21)(21)的解的解( (其中其中 为参数为参数),), 则则(22)(22)就是初值问题就是初值问题(5)(6)(5)(6)的解。的解。32(5)(5)(6)(6)(21)(21)(22)(22)(23)(23)令令并记并记则问题则问题(21)(21)可化为如下形式：可化为如下形式：33(18)(18)(22)(22)(23)(23)令令并记并记则问题则问题(21)(21)可化为如下形式：可化为如下形式：由由达朗贝尔公式达朗贝尔公式(18)(18)知问题知问题(23)(23)的解为的解为34(5)(5)(6)(6)(22)(22)由由将变量还原得将变量还原得(24)(24)再将再将(2
20、4)(24)代入公式代入公式(22)(22)即得初值问题即得初值问题(5)(6)(5)(6)的解的解(25)(25)(5)(5)(6)(6)(25)(25)事实上，由事实上，由(25)(25)确定的函数确是问题确定的函数确是问题(5)(6)(5)(6)的解的解二元函数含参变量积分的求导公式二元函数含参变量积分的求导公式: :3536(5)(5)(6)(6)(25)(25)事实上，由事实上，由(25)(25)确定的函数确是问题确定的函数确是问题(5)(6)(5)(6)的解的解当当具有一阶连续导数时，由具有一阶连续导数时，由(25)(25)式可得式可得37(5)(5)(6)(6)(25)(25)3
21、8(5)(5)(6)(6)(25)(25)于是于是再验证再验证初始条件初始条件(6)(6)。即即(25)(25)满足方程满足方程(5)(5)。由由(25)(25)式及式及可得可得 以上证明了由以上证明了由(25)(25)确定的函数确是初值问题确定的函数确是初值问题(5)(6)(5)(6)的解。的解。的表达式的表达式39(18)(18)(25)(25)(26)(26)(1)(1)(2)(2)由由叠加原理叠加原理，可得定解问题，可得定解问题(1)(2)(1)(2)解可表示为解可表示为40例例求解下列初值问题求解下列初值问题解解由公式由公式(26)(26)得得(26)(26)41内容小结内容小结(3)(3)(4)(4)(18)(18)1 1无限长弦自由振动无限长弦自由振动问题问题的的达朗贝尔解达朗贝尔解为公式为公式(13)(13)其中方程其中方程(3)(3)的的通解通解形式为形式为行波法或达朗贝尔解法行波法或达朗贝尔解法42内容小结内容小结2 2无限长弦强迫振动无限长弦强迫振动问题问题的的解解为公式为公式(1)(1)(2)(2)(26)(26)43内容小结内容小结3 3达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义依赖区间依赖区间决定区域决定区域影响区域影响区域影响区域影响区域
