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1、规范答题必考大题突破课(四)立体几何【热点点标签】1.1.题型型: :解答解答题2.2.分分值:12:12分分3.3.难度度: :中档中档 【热点点题型】型】题型一型一: :线面位置关系与二面角的大小面位置关系与二面角的大小问题: :此此类问题每年必考每年必考, ,考考查学生的空学生的空间想象能力及运算求解能力想象能力及运算求解能力题型二型二: :线面位置关系与存在性面位置关系与存在性问题: :重点考重点考查向量法向量法在立体几何中的在立体几何中的应用用 题型一型一线面位置关系与二面角的大小面位置关系与二面角的大小问题【真【真题示例】示例】(12(12分分)(2015)(2015陕西高考西高考
2、) )如如图1,1,在直角在直角梯形梯形ABCABC中中,ADBC,ADBC,BADBAD= , AB=BC=1,= , AB=BC=1,AD=2,AD=2,点点是是ADAD的中点的中点, ,点点是是ACAC与与BEBE的交点的交点. .将将ABEABE沿沿BEBE折起到折起到AA1 1BEBE的位置的位置, ,如如图2.2.(1)(1)证明明:CD:CD平面平面A A1 1OC.OC.(2)(2)若平面若平面A A1 1BEBE平面平面BCDE,BCDE,求平面求平面A A1 1BCBC与平面与平面A A1 1CDCD夹角角的余弦的余弦值. .【信息解读】【信息解读】(1)(1)看到点看到点
3、E E是是ADAD的中点的中点, ,想到四边形想到四边形ABCEABCE是正方形是正方形, ,四边形四边形BCDEBCDE是平行四边形是平行四边形. .(2)(2)看到平面看到平面A A1 1BEBE平面平面BCDE,BCDE,想到线面垂直想到线面垂直. .【标准答案】【标准答案】(1)(1)在图在图1 1中中, ,因为因为ADBC,AB=BC=1,AD=2,ADBC,AB=BC=1,AD=2,点点E E是是ADAD的中点的中点,BAD= ,BAD= ,所以四边形所以四边形ABCEABCE为正方形为正方形, ,四边形四边形BCDEBCDE为平行四边形为平行四边形, ,所以所以BEAC,BEAC
4、,即在图即在图2 2中中,BEOA,BEOA1 1,BEOC, ,BEOC, 22分得分点分得分点又又OAOA1 1OC=O,OC=O,从而从而BEBE平面平面A A1 1OC,OC,又又CDBE,CDBE,所以所以CDCD平面平面A A1 1OC. OC. 22分得分点分得分点(2)(2)由已知由已知, ,平面平面A A1 1BEBE平面平面BCDE,BCDE,又由又由(1)(1)知知,BEOA,BEOA1 1,BEOC,BEOC,所以所以AA1 1OCOC为二面角为二面角A A1 1-BE-C-BE-C的平面角的平面角, ,所以所以AA1 1OC= . OC= . 22分得分点分得分点如图
5、如图, ,以点以点O O为原点为原点, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,因为因为A A1 1B=AB=A1 1E=BC=ED=1,BCED,E=BC=ED=1,BCED,所以所以 2 2分得分点分得分点设平面设平面A A1 1BCBC的法向量的法向量n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),平面平面A A1 1CDCD的法向量的法向量n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),平面平面A A1 1BCBC与平面与平面A A1 1CDCD的夹角为的夹角为, 1 1分得分点分得分点1 1分得分点分得分点即平面即平面A A1 1BCBC与平面与平面A
6、 A1 1CDCD夹角的余弦值为夹角的余弦值为 . .2 2分得分点分得分点 【得分【得分细则答答题规则】第第(1)(1)问踩点点说明明( (针对得分点得分点):):得得分分点点有有两两处: :一一是是说明明BEACBEAC得得1 1分分. .二二是是说明明BEOABEOA1 1,BEOC,BEOC得得1 1分分. .得得分分点点有有两两处: :一一是是证明明BEBE平平面面A A1 1OCOC得得1 1分分, ,二二是是根根据据CDBE,CDBE,得得CDCD平面平面A A1 1OCOC得得1 1分分. .第第(2)(2)问踩点点说明明( (针对得分点得分点):):证明明AA1 1OC= O
7、C= 得得2 2分分. .建系建系, ,求点的坐求点的坐标及有关向量的坐及有关向量的坐标得得2 2分分. .求平面求平面A A1 1BCBC的法向量得的法向量得1 1分分. .求平面求平面A A1 1CDCD的法向量得的法向量得1 1分分. .求两平面求两平面夹角的余弦角的余弦值得得2 2分分. .答答题规则1:1:写全解写全解题步步骤, ,步步步步为“赢”在在书写解写解题过程程时, ,对于是得分点的解于是得分点的解题步步骤一定要写一定要写全全, ,阅卷卷时根据得分点根据得分点评分分, ,有有则得分得分, ,无无则不得分不得分. .如如本本题中中, ,在建系前先在建系前先证明明AA1 1OC=
8、 ,OC= ,如无此步如无此步骤, ,则会扣会扣掉掉2 2分分. .答答题规则2:2:恰当建系恰当建系, ,准确确定相关点的坐准确确定相关点的坐标解解题过程中程中, ,要充分利用要充分利用题设中的垂直关系中的垂直关系( (必要必要时给予予证明明),),尽量使相关点在尽量使相关点在轴上上, ,建立空建立空间直角坐直角坐标系系, ,看清看清题目中目中给出的各出的各线段的段的长度度, ,根据根据图形的性形的性质, ,准准确求出相关点的坐确求出相关点的坐标, ,这是后是后续步步骤的基的基础, ,应确保万确保万无一失无一失. .【跟踪【跟踪训练】(2016(2016金昌模金昌模拟) )已知在四棱已知在四
9、棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD是是矩形矩形, ,且且AD=2,AB=1,PAAD=2,AB=1,PA平面平面ABCD,ABCD,点点E,FE,F分分别是是线段段AB,BCAB,BC的中点的中点. .(1)(1)证明明:PFFD.:PFFD.(2)(2)判断并判断并说明明PAPA上是否存在点上是否存在点G,G,使得使得EGEG平面平面PFD.PFD.(3)(3)若若PBPB与平面与平面ABCDABCD所成的角所成的角为45,45,求二面角求二面角A-PD-FA-PD-F的余弦的余弦值. .【解析】【解析】因为因为PAPA平面平面ABCD,BAD=90,AB=1,A
10、D=2,ABCD,BAD=90,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,A-xyz,则则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).(1)(1)不妨令不妨令P(0,0,t),P(0,0,t),因为因为 =(1,1,-t), =(1,-1,0), =(1,1,-t), =(1,-1,0),所以所以 =11+1(-1)+(-t)0=0, =11+1(-1)+(-t)0=0,即即PFFD.PFFD.(2)(2)设平面设平面PFDPFD的法向量为的法向量为
11、n=(x,y,z),=(x,y,z),(3)(3)因为因为ABAB平面平面PAD,PAD,所以所以 是平面是平面PADPAD的一个法向量的一个法向量, ,易得易得 =(1,0,0), =(1,0,0),又因为又因为PAPA平面平面ABCD,ABCD,所以所以PBAPBA是是PBPB与平面与平面ABCDABCD所成的角所成的角, ,得得PBA=45,PBA=45,所以所以PA=1,PA=1,所以平面所以平面PFDPFD的一个法向量为的一个法向量为n= =所以所以 故所求二面角故所求二面角A-PD-FA-PD-F的余弦值为的余弦值为 题型二型二线面位置关系与存在性面位置关系与存在性问题【真【真题示
12、例】示例】(12(12分分)(2014)(2014湖北高考湖北高考) )如如图, ,在棱在棱长为2 2的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,点点E,F,M,NE,F,M,N分分别是棱是棱AB,AD,AAB,AD,A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1的中点的中点, ,点点P,QP,Q分分别在棱在棱DDDD1 1,BB,BB1 1上移上移动, ,且且DP=BQ=DP=BQ= (1)(1)当当=1=1时, ,证明明: :直直线BCBC1 1平面平面EFPQ.EFPQ.(2)(2)是否存在是否存在,使平面使平面EFPQEFPQ与平面与平面
13、PQMNPQMN所成的二面角所成的二面角为直二面角直二面角? ?若存在若存在, ,求出求出的的值; ;若不存在若不存在, ,说明理由明理由. .【信息解读】【信息解读】(1)(1)看到看到DP=BQ=1,FDP=BQ=1,F为为ADAD中点中点, ,想到三角形想到三角形的中位线的中位线. .(2)(2)看到二面角为直二面角看到二面角为直二面角, ,想到面面垂直想到面面垂直. .【标准答案】【标准答案】以点以点D D为原点为原点, ,射线射线DA,DC,DDDA,DC,DD1 1分别为分别为x,y,zx,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系轴的正半轴建立空间直角坐标系, ,由已知得由已知得B(2,
14、2,0),CB(2,2,0),C1 1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).则则 =(-2,0,2), =(-1,0,), =(1,1,0). =(-2,0,2), =(-1,0,), =(1,1,0).22分得分点分得分点(1)(1)当当=1=1时时, =(-1,0,1), =(-1,0,1),因为因为 =(-2,0,2), =(-2,0,2),所以所以 =2 , =2 ,即即BCBC1 1FP.FP.2 2分得分点分得分点而而FPFP 平面平面EFPQ,EFPQ,且且BCBC1 1 平面平面E
15、FPQ,EFPQ,故直线故直线BCBC1 1平面平面EFPQ. EFPQ. 22分得分点分得分点(2)(2)设平面设平面EFPQEFPQ的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z),=(x,y,z),则则于是可取于是可取n=(,-,1), =(,-,1), 1 1分得分得分点分点同理可得平面同理可得平面MNPQMNPQ的一个法向量为的一个法向量为m=(-2,2-,1).=(-2,2-,1).1 1分得分点分得分点若存在若存在,使得平面使得平面EFPQEFPQ与平面与平面PQMNPQMN所成的二面角为直所成的二面角为直二面角二面角, ,则则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,=(-2,2
16、-,1)(,-,1)=0,即即(-2)-(2-)+1=0,(-2)-(2-)+1=0,解得解得=1 ,=1 ,2 2分得分点分得分点故存在故存在=1 ,=1 ,使平面使平面EFPQEFPQ与平面与平面PQMNPQMN所成的二面所成的二面角为直二面角角为直二面角.2 2分得分点分得分点【得分【得分细则答答题规则】第第(1)(1)问踩点点说明明( (针对得分点得分点):):建系建系: :求相关点、相关向量的坐求相关点、相关向量的坐标得得2 2分分. .证明明BCBC1 1FPFP得得2 2分分. .证明明BCBC1 1平面平面EFPQEFPQ得得2 2分分. .第第(2)(2)问踩点点说明明( (
17、针对得分点得分点):):求平面求平面EFPQEFPQ的法向量得的法向量得1 1分分. .求平面求平面MNPQMNPQ的法向量得的法向量得1 1分分. .求求的的值得得2 2分分. .回答回答问题得得2 2分分. .答答题规则1:1:写全解写全解题步步骤, ,步步步步为“赢”在在书写解写解题过程程时, ,对于是得分点的解于是得分点的解题步步骤一定要写一定要写全全, ,阅卷卷时根据得分点根据得分点评分分, ,有有则得分得分, ,无无则不得分不得分, ,如如本本题中求出中求出值后后, ,应说明明“存在存在=1 ,=1 ,使平面使平面EFPQEFPQ与平面与平面PQMNPQMN所成的二面角所成的二面角
18、为直二面角直二面角”,”,如无此得如无此得分点分点则会扣掉会扣掉2 2分分. .答答题规则2:2:注意运算的准确性注意运算的准确性因因为利用空利用空间向量解决向量解决线、面、面间的垂直、平行关系的垂直、平行关系, ,基基本思路就是将其本思路就是将其转化化为向量向量问题, ,进行空行空间向量的运算向量的运算, ,因此解因此解题过程中程中, ,要求求方向向量、法向量及向量的运要求求方向向量、法向量及向量的运算算时, ,一定要准确无一定要准确无误, ,如本例求解平面如本例求解平面EFPQEFPQ与平面与平面MNPQMNPQ的法向量的法向量时均要均要计算准确算准确, ,否否则可能会可能会导致致结论错误
19、. .【跟踪【跟踪训练】(2016(2016焦作模焦作模拟) )在如在如图所示的几何体所示的几何体中中, ,四四边形形ABCDABCD是菱形是菱形, ,ADNMADNM是矩形是矩形, ,平面平面ADNMADNM平面平面ABCD,DAB=60,ABCD,DAB=60,AD=2,AM=1,AD=2,AM=1,点点E E是是ABAB的中点的中点. .(1)(1)求求证:AN:AN平面平面MEC.MEC.(2)(2)在在线段段AMAM上是否存在点上是否存在点P,P,使二面角使二面角P-EC-DP-EC-D的大小的大小为 ？若存在？若存在, ,求出求出APAP的的长h;h;若不存在若不存在, ,请说明理
20、由明理由. .【解析】解析】(1)(1)连接连接BN,BN,设设MCMC交交BNBN于点于点F,F,连接连接EF,EF,因为因为NMADCB,NM=AD=CB,NMADCB,NM=AD=CB,所所以四边形以四边形MNCBMNCB是平行四边形是平行四边形, ,点点F F是是BNBN的中点的中点, ,又因为点又因为点E E是是ABAB的中点的中点, ,所以所以NAEF,NAEF,又又ANAN 平面平面MEC,EFMEC,EF 平面平面MEC,MEC,所以所以ANAN平面平面MEC.MEC.(2)(2)假设在线段假设在线段AMAM上存在点上存在点P,P,使二面角使二面角P-EC-DP-EC-D的大小
21、为的大小为 方法一方法一: :延长延长DA,CEDA,CE交于点交于点Q,Q,过点过点A A作作AHEQAHEQ于点于点H,H,连接连接PH,PH,因为四边形因为四边形ADNMADNM是矩形是矩形, ,平面平面ADNMADNM平面平面ABCD,ABCD,所以所以MAMA平面平面ABCD,ABCD,又又EQEQ 平面平面ABCD,ABCD,所以所以MAEQ,MAEQ,则则EQEQ平面平面APH,EQPH,APH,EQPH,则则PHAPHA就是二面角就是二面角P-EC-DP-EC-D的平面角的平面角, ,则则PHA= PHA= , ,在在QAEQAE中中,AE=1,AQ=2,QAE=120, ,A
22、E=1,AQ=2,QAE=120, 则则QE=QE= 所以所以 又在又在RtPAHRtPAH中中, AP=AH , AP=AH tan30=tan30= 1,1,故在线段故在线段AMAM上存在点上存在点P,P,使二面角使二面角P-EC-DP-EC-D的大小为的大小为 , ,此时此时APAP的长为的长为 . .方法二方法二: :由于四边形由于四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,点点E E是是ABAB的中点的中点,DAB=60,DAB=60,所以所以ABDABD是等边三角形是等边三角形, ,则则DEAB,DEAB,又因为四边形又因为四边形ADNMADNM是矩形是矩形, ,平面平面ADNMADN
23、M平面平面ABCD,ABCD,所以所以DNDN平面平面ABCD,ABCD,如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系D-xyz,D-xyz, D(0,0,0),E( ,0,0),C(0,2,0),P( ,-1,h),D(0,0,0),E( ,0,0),C(0,2,0),P( ,-1,h),设平面设平面PECPEC的法向量为的法向量为n1 1=(x,y,z),=(x,y,z),则则 n1 1=0,=0,且且 n1 1=0,=0, 令令y= h,y= h,所以所以n1 1=(2h, h, ),=(2h, h, ),又平又平面面ADEADE的一个法向量的一个法向量n2 2=(0,0,1), =(0,0,1), ,cos,cos= = = = 故在线段故在线段AMAM上存在点上存在点P,P,使二面角使二面角P-EC-DP-EC-D的大小为的大小为 , ,此时此时APAP的长为的长为 . .
