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1、三角函数三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质正、余弦函数图像特征：正、余弦函数图像特征：-11-1在函数在函数 的图象上，起关键作用的点有：的图象上，起关键作用的点有：最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：注意：函数图注意：函数图像的凹凸性！像的凹凸性！知识回顾知识回顾:-11-1在函数在函数 的图象上，起关键作用的点有：的图象上，起关键作用的点有：最高点：最高点：最低点：最低点：与与x轴的交点：轴的交点：注意：函数图注意：函数图像的凹凸性！像的凹凸性！余弦函数余弦函数图像特征：图像特征：x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R)
2、x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 一、正弦、余弦函数的周期性一、正弦、余弦函数的周期性 对于函数对于函数f (x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得，使得当当x取定义域内的每一个值时，都有取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)那么函数那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个叫做这个函数的周期。函数的周期。注：注：1、T要是非零常数要是非零常数 2、“每一个值每一个值”只要有一个反例，则只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如就不为周期函数（如f (x0+t) f (x0)） 3、 周期函数
3、的周期周期函数的周期T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx 2 ,4 ,-2 ,-4 ,都是周都是周 期）期） 4、周期、周期T中最小的正数叫做中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数是周期函数， ，最小正周期是余弦函数是周期函数， ，最小正周期是一一.周期性周期性函数函数 的周期是的周期是函数函数 的周期是的周期是二二.奇偶性奇偶性为为奇奇函数函数为为偶偶函数函数三三.定义域和值域定义域和值域正弦函数正弦函数定义域：定义域：R值域：值域：-1，1余弦函数余弦函数定义域：定义域：R值域：值域：-1，1练习练习
4、下列等式能否成立？下列等式能否成立？例例1.求下列函数的定义域和值域。求下列函数的定义域和值域。定义域定义域值域值域0,12,40,2探究：正弦函数的最大值和最小值探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：当当 时，时， 有最大值有最大值最小值：最小值：当当 时，时， 有最小值有最小值四四.最值最值探究：余弦函数的最大值和最小值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：当当 时，时， 有最大值有最大值最小值：最小值：当当 时，时， 有最小值有最小值x6o-12345-2-3-41y当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当四、正弦、余弦函数的最值四、正弦、余弦函数的最值x6yo-
5、12345-2-3-41例题例题求使函数求使函数 取得最大值、最小值的取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。自变量的集合，并写出最大值、最小值。化未知为已知化未知为已知分析：分析：令令则则例例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最大值的取得最大值的x的集
6、合的集合 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合 函数函数 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.练习练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：解：（2）令）令t=2x,因为使函数因为使函数 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是所以使函数所以使函数 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是同理，使函数同理，使函数 取最小值
7、的取最小值的x的集合是的集合是函数函数 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。五、探究：正弦函数的单调性五、探究：正弦函数的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。当当 在区间在区间上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而在每个闭区间而在每个闭区间上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性当
8、当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。曲线逐渐下降，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。当当 在区间在区间上时，上时，探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知：其值从其值从1减小到减小到1。而在每个闭区间而在每个闭区间上都是减函数，上都是减函数，其值从其值从1增大到增大到1 ；在每个闭区间在每个闭区间都是都是增函数增函数，练习练习P46 (4) 先画草图，然后根据草图判断先画草图，然后根据草图判断练习P46 练习1 五、正弦函数的单调性五、正弦函数的单调性 y=sinx (x R
9、)增区间为增区间为 ， 其值从其值从-1增至增至1xyo-1234-2-31 x sinx 0 -1 0 1 0 -1减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-1 +2k , +2k ,k Z +2k , +2k ,k Z五、余弦函数的单调性五、余弦函数的单调性 y=cosx (x R)x cosx - 0 -1 0 1 0 -1减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-31增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , +2k ,k Z 例例3 3 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: :学以致用学以致用正弦函
10、数的图象正弦函数的图象对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：六、正弦、余弦函数的对称性六、正弦、余弦函数的对称性余弦函数的图象余弦函数的图象对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：六、正弦、余弦函数的对称性六、正弦、余弦函数的对称性x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41yy=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：的图象对称中心为： 任意两相邻对称轴任意两相邻对称轴( (或对称中心或对称中心) )的间距为半个周期；的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称
11、中心的间距为四分之一个周期对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期. .为函数为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ）解：经验证，当解：经验证，当时时为对称轴为对称轴练习练习函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性1- -1时，时，时，时，时，时，时，时，增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数1- -1对称轴对称轴：对称中心对称中心：对称轴对称轴：对称中心对称中心：奇函数奇函数偶函数偶函数求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心解解（1）令）令则则的对称轴为的对称轴为解得：对称轴为解得：对称
12、轴为的对称中心为的对称中心为对称中心为对称中心为练习练习练习练习求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质习题课习题课6 3/2一、基础题型A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D以上都不对答案B3函数ysin(2x)为偶函数，00，当cosx1，即x2k(kZ)时，y取最大值为ab；当cosx1，即x2k(kZ)时，y取最小值为ab.若a0，当cosx1，即x2k(kZ)时，yminab；当cosx1，即x2k(kZ)时，ymaxab.分析根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)
13、或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数辨析解答忽视了以下内容：三角形中的最小角的范围不是090，而是060，又三角形是不等边三角形，故00与b0讨论归纳：归纳：解题中应注意三角函数的有界性解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响对函数值的影响变形变形1:1:分类讨论法分类讨论法变形变形2:2:已知关于已知关于x x的方程的方程2sin2sin2 2x-cosx+2m=0x-cosx+2m=0有解有解, ,求求m m的取值范围的取值范围. . 法法1:1:分离参数法分离参数法答案D答案C答案B4sin1、sin1、sin的大小顺序是()Asin1sin1sin B
14、sin1sinsin1Csinsin1sin1 Dsin1sin1sin答案B解析1弧度57.3，y sinx在 (0， 90)上 是 增 函 数 ， 且11，sin1sinsin1.5下列函数中，奇函数的个数为()yx2sinx; ysinx，x0,2；ysinx，x，; yxcosx.A1个B2个C3个D4个答案C解析ysinx，x0,2的定义域不关于原点对称，不是奇函数，、符合奇函数的概念6y2sinx2的值域是()A2,2 B0,2C2,0 DR答案A解析x20，sinx21,1，y2sinx22,28函数yasinxb的最大值为1，最小值为7，则a_，b_.答案433、求下列函数的值
15、域、求下列函数的值域正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多条对称轴，其相邻两条对称轴间距离为半个周期，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点解答三角函数的单调性问题一定要注意复合函数的单调性法则，更要注意函数的定义域 求函数yAsin(x)或yAcos(x)的单调区间时，0时，先利用诱导公式把x的系数化为正数，然后把x看作一个整体t，考虑函数yAsint(或yAsint)的单调区间利用复合函数单调性判定方法，构造不等式解之课堂小结课堂小结:5、对称性：、对称性：y=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为：对称中心为：对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴为：对称中心为：对称中心为： 任
16、意两相邻对称轴任意两相邻对称轴( (或对称中心或对称中心) )的间距为半个周期；的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期. .函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性1- -1时，时，时，时，时，时，时，时，增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数1- -1对称轴对称轴：对称中心对称中心：对称轴对称轴：对称中心对称中心：奇函数奇函数偶函数偶函数 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇函数奇函数偶函数偶函数 +2k , +2k ,k Z单调递增单调递增 +2k , +2k ,k Z单调递减单调递减 +2k , 2k ,k Z单调递增单调递增2k , 2k + , k Z单调递减单调递减函数函数余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数2、定义域、定义域3、值域、值域1、周期性、周期性R - 1, 1 T = 2 正弦、余弦函数的性质：正弦、余弦函数的性质：4、奇偶性与单调性：、奇偶性与单调性：课堂小结课堂小结:
