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1、三元一次方程组三元一次方程组本课内容本节内容1.4动脑筋动脑筋 小丽家三口人的年龄之和为小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸岁，小丽的爸爸比妈妈大比妈妈大6岁岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的的. 试问这家人的年龄分别是多少岁试问这家人的年龄分别是多少岁？可建立二元一次可建立二元一次方程组来解决方程组来解决.设爸爸的年龄为设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄岁，小丽的年龄为为y岁，则妈妈的年龄为岁，则妈妈的年龄为( (x- -6) )岁岁. 根据题意得：根据题意得：解这个方程组得解这个方程组得x = 38 ， y = 10 . 因此爸爸的年龄为因此爸爸的年龄为38岁
2、，妈妈的年龄为岁，妈妈的年龄为32岁，岁，小丽的年龄为小丽的年龄为10岁岁.想一想，还有其他的方法列方程组求解吗想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？ 因为要求三个人的年龄因为要求三个人的年龄，所以可设所以可设爸爸的年龄为爸爸的年龄为x岁岁，妈妈的年龄为妈妈的年龄为y 岁岁，小丽的年龄为小丽的年龄为z 岁岁. 根据题意得：根据题意得： x + y + z = 80 ， x - - y = 6 ， x + y = 7z . 三人的年龄必须同时满足上述三个方程，三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这三个方程联立在一起写成：所以，我们把这三个方程联立在一起写成： 可以发现可以发现，这个方
3、程组中含有三个未知数这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一并且一共有三个方程共有三个方程，像这样的方程组叫做像这样的方程组叫做三元一次方三元一次方程组程组. 在三元一次方程组中在三元一次方程组中，适合每一个方程的适合每一个方程的一组未知数的值一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解叫做这个方程组的一个解.动脑筋动脑筋 解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数去一个未知数，使其转化为一元一次方程来求解使其转化为一元一次方程来求解. 那么我们在解三元一次方程组时那么我们在解三元一次方程
4、组时，能不能同样能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使使其转化为二元一次方程组或一元一次方程呢其转化为二元一次方程组或一元一次方程呢？现在我们来解下面的三元一次方程组现在我们来解下面的三元一次方程组： 我们把我们把、两式相加得到一个只含两式相加得到一个只含x和和z的二元一次的二元一次方程方程，即即2x + z = 86 . 再把再把、两式相加又得到一个只含两式相加又得到一个只含x和和z的二元一次的二元一次方程方程，即即2x = 6 + 7z .由此可得一个关于由此可得一个关于x，z的二元一次方程组的二元一次方程组把把x=38，z=10代入
5、代入式，得式，得38 + y + 10 = 80 ，解这个方程组解这个方程组，得得解得解得 y = 32 .因此因此，三元一次方程组的解为三元一次方程组的解为 从上面解方程组的过程可以看出从上面解方程组的过程可以看出: : 解三元一次方程组的基本想法是解三元一次方程组的基本想法是：先消去一个先消去一个未知数未知数，将解三元一次方程组转化为解二元一次方将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组程组，进而再转化为解一元一次方程进而再转化为解一元一次方程. 消元的基本方法仍然是代入法和加减法消元的基本方法仍然是代入法和加减法.举举例例例例 解三元一次方程组：解三元一次方程组：分析分析 通过观察发现，通
6、过观察发现，z或或y的系数较为简单，可以先的系数较为简单，可以先 消去消去z或或y来求解来求解. .解解 4- -， 得得 7x - -17z =4 .- -， 得得 2x - - 5z = 3 .由此得到由此得到把把 x = - -31，z = - -13 代入代入式式， 得得y = 42 .解这个二元一次方程组得解这个二元一次方程组得所以原方程组的解为所以原方程组的解为请你用其他的方法来解上例中的方程组请你用其他的方法来解上例中的方程组.做一做做一做练习练习1. 解下列三元一次方程组：解下列三元一次方程组：解解 - - ， 得得 y + +z =0 . 2 - -， 得得 z= - - 6
7、 .所以原方程组的解为所以原方程组的解为把把 z = - -6代入代入式式， 得得y = 6 .把把 y = 6代入代入式式， 得得x = 1.解解 - -， 得得 y - -z =- -3 .- -2， 得得 - -2y- -3z = 16 .由此得到由此得到把把 y = - -5，z = - -2 代入代入式式， 得得x = 8 .解这个二元一次方程组得解这个二元一次方程组得所以原方程组的解为所以原方程组的解为2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，岁， 乙、丙的年龄之和为乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为岁，丙、甲的年龄之和为
8、17岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？解解 设甲年龄为设甲年龄为x岁，乙年龄为岁，乙年龄为y岁，丙年龄为岁，丙年龄为z岁岁.解解得得根据题意，得根据题意，得答：甲年龄为答：甲年龄为8岁，乙年龄为岁，乙年龄为7岁，丙年龄为岁，丙年龄为9岁岁.小结与复习小结与复习1. 解二元一次方程组的基本想法是什么解二元一次方程组的基本想法是什么？解方程组解方程组 的方法有哪些的方法有哪些？2. 用二元一次方程组解决实际问题有哪些步骤用二元一次方程组解决实际问题有哪些步骤？*3. 解三元一次方程组与解二元一次方程组有何联解三元一次方程组与解二元一次方程组有何联 系与区
9、别系与区别？本章知识结构本章知识结构二元一次方二元一次方程组的概念程组的概念二元一次方二元一次方程组的解法程组的解法二元一次方二元一次方程组的应用程组的应用解一元一次方程解一元一次方程二元一次方程组二元一次方程组代入消元法代入消元法加减消元法加减消元法*三元一次方程组三元一次方程组注意注意1. 解二元一次方程组时解二元一次方程组时，要注意观察未知数的系数要注意观察未知数的系数 特征特征，灵活选择方法灵活选择方法.* *2. 解三元一次方程组的基本想法与解二元一次方程解三元一次方程组的基本想法与解二元一次方程 组的想法是一致的组的想法是一致的. 通过消元通过消元，将三元一次方程将三元一次方程 组
10、转化为二元一次方程组或一元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程，进而进而 求解求解.中考中考 试题试题例例1 某超市为某超市为“开业三周年开业三周年”举行了店庆活动，对举行了店庆活动，对A、B两种商品实行打折出售，打折前，购买两种商品实行打折出售，打折前，购买5件件A商品商品和和1件件B商品需用商品需用84元；购买元；购买6件件A商品和商品和3件件B商品需商品需用用108元元.而店庆期间，购买而店庆期间，购买50件件A产品和产品和50件件B商品商品仅需仅需960元，这比不打折少花多少钱？元，这比不打折少花多少钱？解：解：设打折前设打折前A商品的单价为商品的单价为x元，元， B商品的单价为商品的单价为y元，元，根据题意有根据题意有解得解得打折前购买打折前购买50件件A商品和商品和50件件B商品共需商品共需 1650+450=1000元，元，打折后少花打折后少花( (1000- -960) )=40元元.答：打折后少花答：打折后少花40元元.结结 束束
