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1、50 1 1、如何过、如何过O O外一点外一点P P画出画出O O的切线？的切线？ 2 2、这样的切线能、这样的切线能画出画出几条？几条？如下左图，如下左图，借助三角板，我们可以画出借助三角板，我们可以画出PAPA是是O O的切线的切线。3 3、如果、如果P=50P=50, ,求求AOBAOB的度数的度数130画一画画一画 O。ABP思考思考：已画出切线：已画出切线PA、PB，A、B为切点，为切点，则则OAP= ,连接连接OP，可知，可知A、B 除了除了在在 O上，还在怎样的圆上上，还在怎样的圆上?90如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？尺规作图：尺规作图：过过
2、 O外一点作外一点作 O的切线的切线O PABO 从圆外一点引圆的切线，这一点和切点之间从圆外一点引圆的切线，这一点和切点之间的的线段线段的长叫做的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长OPAB切线切线与与切线长切线长是一回事吗？是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？它们有什么区别与联系呢？ 切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，、切线是一条与圆相切的直线，不能度量不能度量； 2、切线长是、切线长是线段线段的长，这条线段的两个端点分的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点别是圆外一点和切点，可以度量可以度量。OPAB比一比比一比 OAB
3、P思考思考：已知已知 O切线切线PA、PB，A、B为为切点，把圆沿着直线切点，把圆沿着直线OP对折对折,你能发你能发现什么现什么?12折一折折一折请证明你所发现的结论。请证明你所发现的结论。APOBPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论证一证证一证PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA =
4、 PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的它们的切线长切线长相等，圆心和这一点的连线平分相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角两条切线的夹角。 几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂线段相等，角相等，弧相等，垂直关系直关系提供了理论依据提供了理论依据,必须掌握并能灵活应用必须掌握并能灵活应用。OPAB 切线长定理切线长定理 APOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平
5、分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是等腰三角形，PMPM为为顶角顶角的平分线的平分线 OP垂直平分垂直平分ABM试一试试一试APO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又你又能得出什么新的结论能得出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB 又又 PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC切线长定理的基
6、本图形的研究PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为为切点，直线切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中所有的相似三角形AOC BOC AOPBOP ACP BCP（5）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（6）若PA=4、PD=2，求半径OA（2）写出图中与OAC相等的角OAC=OBC=APC=BPC。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆
7、心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想想一想（2）已知）已知OA=3cm,OP=6cm，则，则APB= PABCO60（4）OP交交 O于于M，则，则 ， M牛刀小试牛刀小试（3）若）若APB=70，则，则AOB= 110（1）若若PA=4、PM=2，求圆，求圆O的半径的半径OA OA=31.1.已知：如图已知：如图,PA,PA、PBPB是是O O的切线，切点分别的切线，切点分别是是A A、B B，Q Q为弧为弧ABAB上一点，过上一点，过Q Q点作点作O O的切线，的切线，交交PAPA、PBPB于于E E、F F点，已知点，已知PA=1
8、2CMPA=12CM，求，求PEFPEF的的周长。周长。EAQPFBO析：易证析：易证EQ=EA, EQ=EA, FQ=FB,PA=PBFQ=FB,PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm 牛刀再试牛刀再试 2.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，为切点， (1)求证：求证：OD OC (2)若若BC=9，AD=4，求，求OB的长的长. OABCDE例例1 1、已知：、已知：P P为为O O外一点，外一点，PAPA、PBPB为为O O的的切线，切线，A A、B
9、B为切点，为切点，BCBC是直径。是直径。 求证：求证：ACOPACOPPACBDO 例题讲解例题讲解例例2、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆O O分别相切分别相切于点于点L L、M M、N N、P P，求证：求证： AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPMC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB
10、+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等例例3.如图，如图，ABC中中,C =90 ,它的它的内切圆内切圆O分别与边分别与边AB、BC、CA相切相切于点于点D、E、F，且，且BD=12，AD=8，求求 O的半径的半径r.OEBDCAF 1.如图所示如图所示PA、PB分别切圆分别切圆O于于A、B，并与圆并与圆O的切线分别相交于的切线分别相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周长的周长(2) 如果如果P=46,求求COD的度数的度数C OPBDAE 2.如图，已知AB、AC是O的切线，B、C为切点，连结BC交AO于D. 若AD
11、=6，AO=8，求切线AB的长； 若BC=4，BAO=30，求O的直径。C OABD（第（第1题）题）OPBA（第（第2题）题） 3.如图，如图，AB、AC、BD是是 O的切线，的切线，P、C、D为切点为切点.如果如果AB=5，AC=3，你还能得出什么，你还能得出什么结论？为什么？结论？为什么？ 4.如图，如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点.如果如果 O的半径为的半径为5，APO=30，你还有什么新，你还有什么新的发现？说明理由的发现？说明理由.1.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分
12、两条切线的夹角。线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小小 结：结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。2.圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等3.猜想验证归纳的解决问题方法我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和
13、圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个 OABCDEF OABCDE选做题：如图，选做题：如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，若为切点，若BC=9，AD=4，求，求OE的长的长.
