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1、最新考纲最新考纲1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式；等式；2.掌握掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不型不等式的解法等式的解法第第1讲讲不等式、含有绝对值的不等式不等式、含有绝对值的不等式1绝对值三角不等式三角不等式(1)定理定理1：如果：如果a，b是是实数，数，则|ab| _，当且，当且仅当当_时，等号成立；，等号成立；(2)性性质：|a|b|ab|a|b|；(3)定理定理2：如果：如果a，b，c是是实数，数，则|ac|_，当且当且
2、仅当当_时，等号成立，等号成立知知 识识 梳梳 理理|a|b|ab0|ab|bc|(ab)(bc)02绝对值不等式的解法不等式的解法(1)含含绝对值的不等式的不等式|x|a的解法的解法不等不等式式a0a0a0|x|a_R x|axa，或或x0)和和|axb|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法|axb|c _ ；|axb|c_(3)|xa|xb|c(c0)和和|xa|xb|c(c0)型不等式的型不等式的解法解法法一：利用法一：利用绝对值不等式的几何意不等式的几何意义求解，体求解，体现了数形了数形结合合的思想；的思想；法二：利用法二：利用“零点分段法零点分段法”求解，体求解，体现了分了分类讨论
3、的思想；的思想；法三：通法三：通过构造函数，利用函数的构造函数，利用函数的图象求解，体象求解，体现了函数与了函数与方程的思想方程的思想caxbcaxbc或或axbc1(2014安徽卷安徽卷)若函数若函数f(x)|x1|2xa|的最小的最小值为3，则实数数a的的值为 ()A5或或8 B1或或5C1或或4 D4或或8解析解析法一特殊法：法一特殊法：(验证法验证法)把把A，B，C，D代入逐个代入逐个验证，可排除验证，可排除A，B，C.诊诊 断断 自自 测测答案答案D2设ab0，下面四个不等式中，正确命，下面四个不等式中，正确命题的序号是的序号是_|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a
4、|b|.解析解析ab0，a，b同号，同号，|ab|a|b|，和和正确正确答案答案3不等式不等式|x3|x2|3的解集为的解集为_解析解析当当x2时，原不等式化为时，原不等式化为x3(x2)3.解得解得x2；当当3x2时，原不等式化为时，原不等式化为x3(2x)3，解得，解得1x2；当当x3时，原不等式化为时，原不等式化为x3(2x)3，无解，无解综上，综上，x的取值范围为的取值范围为x1.答案答案x|x14若不等式若不等式|kx4|2的解集为的解集为x|1x3，则实数数k_解析解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为不等式的解集为x|1x3，k2.答案答案25已知关于已知关于x的
5、不等式的不等式|x1|x|k无解，无解，则实数数k的取的取值范范围是是_解析解析|x1|x|x1x|1，当当k1时，不等式时，不等式|x1|x|k无解，故无解，故k1.答案答案(，1)考点一含绝对值不等式的解法考点一含绝对值不等式的解法【例例1】 解不等式解不等式|x1|x2|5.解解法一法一如如图，设数数轴上与上与2，1对应的点分的点分别是是A，B，则不等式的解就是数不等式的解就是数轴上到上到A，B两点的距离之和不两点的距离之和不小于小于5的点所的点所对应的的实数数显然，区然，区间2，1不是不等不是不等式的解集把式的解集把A向左移向左移动一个一个单位到点位到点A1，此，此时A1AA1B145
6、.把点把点B向右移向右移动一个一个单位到点位到点B1，此，此时B1AB1B5，故原不等式的解集，故原不等式的解集为(，32，)规律方法规律方法形如形如|xa|xb|c(或或c)型的不等式主要型的不等式主要有三种解法：有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此此处设处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用几何法，利用|xa
7、|xb|c(c0)的几何意义：数的几何意义：数轴上到点轴上到点x1a和和x2b的距离之和大于的距离之和大于c的全体；的全体；(3)图象图象法：作出函数法：作出函数y1|xa|xb|和和y2c的图象，结合图的图象，结合图象求解象求解考点二含参数的绝对值不等式问题考点二含参数的绝对值不等式问题【例例2】 已知不等式已知不等式|x1|x3|a.分分别求出下列情形中求出下列情形中a的取的取值范范围(1)不等式有解；不等式有解；(2)不等式的解集不等式的解集为R；(3)不等式的解集不等式的解集为 .解解法一法一因因为|x1|x3|表示数表示数轴上的点上的点P(x)与两定与两定点点A(1)，B(3)距离的
8、差，距离的差，即即|x1|x3|PAPB.由由绝对值的几何意的几何意义知，知，PAPB的最大的最大值为AB4，最小最小值为AB4，即即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，若不等式有解，a只要比只要比|x1|x3|的最大的最大值小即可，小即可，故故a4.(2)若不等式的解集若不等式的解集为R，即不等式恒成立，即不等式恒成立，只要只要a比比|x1|x3|的最小的最小值还小，即小，即a4.(3)若不等式的解集若不等式的解集为 ，a只要不小于只要不小于|x1|x3|的最大的最大值即可，即即可，即a4.法二法二由由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得可得4|x1|
9、x3|4.(1)若不等式有解，若不等式有解，则a4；(2)若不等式的解集若不等式的解集为R，则a4；(3)若不等式解集若不等式解集为 ，则a4.规律方法规律方法本题中本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为即可；不等式的解集为R是指不等是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集式的恒成立问题，而不等式的解集 的对立面的对立面(如如f(x)m的解集是空集，则的解集是空集，则f(x)m恒成立恒成立)也是不等式的恒成立问也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(
10、x)a恒成立恒成立af(x)max，f(x)a恒成立恒成立af(x)min.【训练训练2】 设函数函数f(x)|xa|3x，其中，其中a0.(1)当当a1时，求不等式，求不等式f(x)3x2的解集；的解集；(2)若不等式若不等式f(x)0的解集的解集为x|x1，求，求a的的值解解(1)当当a1时，f(x)3x2可化可化为|x1|2.由此可得由此可得x3或或x1.故不等式故不等式f(x)3x2的解集的解集为x|x3，或，或x1考点三含绝对值的不等式的应用考点三含绝对值的不等式的应用【例例3】 (2013新课标全国新课标全国卷卷)已知函数已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当当
11、a2时，求不等式，求不等式f(x)g(x)的解集；的解集；解解(1)当当a2时，不等式，不等式f(x)g(x)化化为|2x1|2x2|x30.设函数函数y|2x1|2x2|x3，规律方法规律方法含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根把这些根从小到对值里的式子为零，并求出相应的根把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集个小区间上相应解的并集【训练训练3】 已知函数已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当当a3时，求不等式，求不等式f(x)3的解集；的解集；(2)若若f(x)|x4|的解集包含的解集包含1，2，求，求a的取的取值范范围(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当当x1，2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得由条件得2a1且且2a2，即即3a0.故故满足条件的足条件的a的取的取值范范围是是3，0.
