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1、1 第三章第三章第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 指导数在某个区间内所具有的一些重指导数在某个区间内所具有的一些重要性质要性质,它们都与自变量区间内部的某个中它们都与自变量区间内部的某个中间值有关间值有关.2罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理小结小结 作业作业柯西中值定理柯西中值定理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用推广泰泰勒勒公公式式( (第第三三节节) )3 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光
2、滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦平行平行.几何事实几何事实:一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切线轴的切线 .有水平的切线有水平的切线4罗尔定理罗尔定理(1)(2)(3)罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719 使得使得一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理5费马引理费马引理 费马费马 Fermat,(法法) 1601-1665 有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么证证 对于对于有有 6 由极限的保号性由极限的保号性 函数的函数的驻点驻点(S
3、tationary point)费马引理费马引理有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么7证证罗尔定理罗尔定理(1)(2)(3)使得使得所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.使使有有由由费马引理费马引理,8(1) 定理条件不全具备定理条件不全具备, , 注注结论不一定成立结论不一定成立. . 罗尔定理罗尔定理(1)(2)(3)使得使得9例例证证10例例证证 零点定理零点定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.(1) 存在性存在性11(2) 唯一性唯一性对可导函数对可导函数 f(x), f (x)=0的两实根之间的两实根之间,在方程在方程 的一个实根的一个实根.
4、罗尔定理还指出罗尔定理还指出,至少存在方程至少存在方程满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件.矛盾矛盾, ,故假设不真故假设不真! !12注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange (法法) 1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(1)(2)使得使得二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理13几何解释几何解释:分析分析定理的结论就转化为函数定理的结论就转化为函数化为化为罗尔定理罗尔定理.在该点处的切线在该点处的切线平行于弦平行于弦利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件找出一个满足罗尔定理条件的函数的函数. .14证证 作作辅助函数辅助函数由此得由此得拉格朗
5、日中值公式拉格朗日中值公式且且易知易知微分中值定理微分中值定理15Lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式: 它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和某点的注注注注但是增量、但是增量、这是十分方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,导数之间的直接关系导数之间的直接关系.导数是个等式关系导数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.16推论推论证证有有由条件由条件,即在区间即在区间I中任意两中任意两点的函数值都相等点的函数值都相等,所以所以,17例例证证由由
6、推论推论说明说明欲证欲证只需证在只需证在 上上且且使使18Lagrang中值定理的应用中值定理的应用（1）证明不等式）证明不等式a. 什么样的不等式可以用什么样的不等式可以用lagrang定理证明？定理证明？函数增量函数增量自变量增量自变量增量自变量增量自变量增量b. 怎么证明？怎么证明？19例：例：，证明：明：证明：在区明：在区间上考上考虑函数函数，利用，利用拉格朗拉格朗中至少存在一点中至少存在一点使得使得日中值定理，在区间日中值定理，在区间即即又因又因为 20所以所以 又因又因为 21P124P124例例5 5证证由上式得由上式得设设由由 关键关键 ,满足满足Lagrange定理定理22注
7、注注注23Lagrang中值定理的应用中值定理的应用（2）各种介值等式与不等式的证明）各种介值等式与不等式的证明基本框架基本框架24例例证证利用微分中值定理利用微分中值定理, 得得同理同理25同理同理利用罗尔定理，得利用罗尔定理，得,26柯西柯西 Cauchy (法法)1789-1859柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理广义微分中值定理广义微分中值定理27这两个这两个错错 ! !柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?不一定相同不一定相同28应用罗尔定理即可得证应用罗尔定理即可得证
8、.辅助函数辅助函数 分析分析29柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得切线斜率切线斜率30例例证证分析分析结论可变形为结论可变形为即即满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, , 31罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值定理、柯西中值定理之间的关系定理、柯西中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说, 满足条件满足条件,不满足条件不满足条件, 定理
9、可能成立定理可能成立, 不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.定理定理也可能也可能32例例分析分析 将结论交叉相乘得将结论交叉相乘得辅助函数辅助函数F(x)33证证 设辅助函数设辅助函数因此因此F(x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件.34即即得得证毕证毕.35四、小结四、小结 常利用逆向思维常利用逆向思维,构造辅助函数构造辅助函数注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件三个微分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系各微分中值定理的关系; 证明存在某点证明存在某点,使得函数在该点的导数满足使得函数在该点的导数满足一个方程一个方程.运用罗尔定理运用罗尔定理. 拉格朗日中值定理的各种形式拉格朗日中值定理的各种形式,其关系其关系;36作业作业习题习题3-1 (1323-1 (132页页) )5. 7. 8. 9. 11.(2) 12. 13. 微分中值定理微分中值定理
