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1、3.1.2复数的几何意义第三章3.1 数系的扩充和复数的概念 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理 自主学习知识点一复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a，
2、b)表示.答案这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 .显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.复平面实轴虚轴2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi 复平面内的点 ，这是复数的一种几何意义.Z(a，b)3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.因此，复
3、数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数zabi 平面向量 ，这是复数的另一种几何意义.思考(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？答案答案不是.(2)象限内的点与复数有何对应关系？答案第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.知识点二复数的模答案2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则思考复数的模的几何意义是什么？答案复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：满足条件|z|
4、r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的内部，|z|r表示圆的外部；满足条件|zz0|r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|zz0|r表示圆的内部，|zz0|r表示圆的外部.返回答案题型探究重点突破题型一复数与复平面内的点解析答案反思与感悟例1在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.跟踪训练1实数m取什么值时，复数z(m25m6)(m22m15)i.(1)对应的点在x轴上方；解析答案解由m22m150，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上
5、方.(2)对应的点在直线xy40上.题型二复数的模的几何意义解析答案例2设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|2；解方法一|z|2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.方法二设zabi，由|z|2，得a2b24.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.(2)1|z|2.不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半
6、径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.解析答案反思与感悟解析答案解析设zxyi(x，yR)，则zixyiix(y1)i，2题型三复数的模及其应用解析答案反思与感悟例3已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围.解方法一z3ai(aR)，解析答案跟踪训练3已知复数|z|1，求复数34iz的模的最大值及最小值.解析答案复数与函数的综合应用对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如zabi(a，bR)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出来.例4已知f(z)|2z|z，且f(z)35i，求复数z.返回方法技
7、巧当堂检测123451.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.B解析答案123452.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82iC.24i D.4iC解析答案解析由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为24i.123453.复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是 .解析答案(1,1)解得1a1.12345解析答案912345解析答案5.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.课堂小结返回1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.
