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1、第十三章轴对称第十三章轴对称课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题湖北省通山县教育局教研室袁观六八年级八年级 上册上册创设问题情境问题问题1如图，从如图，从A地到地到B地有三条路可供选择，你地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由会选择哪条路距离最短？说说你的理由. .两点之间，线段最短两点之间，线段最短 问题问题2如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分上修建一个泵站，分别向别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？用的输气管线最短？连接连接AB，线段，线段AB与与l的交点即为泵站修建的位置的
2、交点即为泵站修建的位置 P创设问题情境问题问题2相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的从图中的A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后饮马，然后到到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？将实际问题抽象成数学问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这
3、个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 将实际问题抽象成数学问题(1)(1)将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直线线 (2)(2)在直线在直线l上找到一点上找到一点C，使，使AC与与BC的和最小？的和最小？将实际问题抽象成数学问题B问题问题4 4如图，点如图，点A，B在直线在直线l的同侧，在直线的同侧，在直线l上找上找到一点到一点C，使，使AC与与BC的和最小？的和最小？解决数学问题作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称
4、的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 C证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC在在ABC中中，ABAC+BC，AC +BCAC+BC即即AC +BC 最短最短BC证明AC +BC “最短”问题问题5 5你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+ +BC最短吗？最短吗？ C追
5、问追问1 1证明证明AC + +BC最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C不重合），证明不重合），证明AC+ +BCAC+BC？若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 BCC证明AC +BC “最短”追问追问2 2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BCC利用轴对称，把直线利用轴对称，把直线l 同侧的同侧的两点，转化为直线两点，转化为直线l异侧的两点，异侧的两点，再利用再利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”画图画图 证明AC +BC “最短”巩固练习练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径归纳小结（1 1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？（2 2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？教科书复习题教科书复习题13第第15题题 布置作业
