《高等数学：级数的收敛、求和与展开 习题课》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：级数的收敛、求和与展开 习题课（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课习题课级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅氏级数四、函数的幂级数和傅氏级数 展开法展开法一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 求和展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数) 时,时为数项级数;时为幂级数;例例1. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证证: 则由题设收敛收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 判别下列级数的敛散性:提示提示: (1) 据
2、比较判别法, 原级数发散 .因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 或用比较法（1/n）利用比值判别法, 可知原级数发散.用比值法, 可判断级数原级数发散 . 用比值判别法可知:时收敛 ;时, 与 p 级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛 .时发散.发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设正项级数和也收敛 .提示提示: 因存在 N 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛, 证明级数当n N 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设级数收敛 , 且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .问级数提示提示: 对正项
3、级数,由比较判别法可知级数收敛 ,收敛,级数发散 .例如, 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ;0 p 1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得级数 原级数绝对收敛 .故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因单调递减, 且所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz判别法知级数收敛 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以级数不绝对收敛 .因所以原级数绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 大家注意用定义、性质、必要条件判敛的方法。大家注意用定义、性质、必要条件判敛
4、的方法。二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .例7. 求下列级数的敛散（开）区间:练习练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数 = 其收敛半径注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂
5、级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 和的分析性质 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2先求出收敛区间则设和函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:解解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x0例8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:解解: 原式=的和 .例9. 求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数展开法四、函数的幂级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1. 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数的幂级数展开法
