《高等数学：6-2 定积分的基本积分法(1-30)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：6-2 定积分的基本积分法(1-30)（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2 定积分的基本积分法定积分的基本积分法1定积分的凑微分法定积分的凑微分法( (第一换元法第一换元法) )将上式两边从将上式两边从 a 到到 b 作定积分作定积分 , 有有如果如果则对复合函数则对复合函数 F( g(x) 有有定理定理 (定积分的凑微分法定积分的凑微分法(或第一换元法或第一换元法)设设 如果如果 在在 a , b 上连续上连续 , f (u) 在在 g(x) 的值域的值域 区间上连续区间上连续 , 则则(1)说明说明: (1) 定积分的凑微分法与不定积分的凑微分定积分的凑微分法与不定积分的凑微分法形式类似法形式类似 , 故使用的方法也类似故使用的方法也类似 (2) 定积分的
2、凑微分法定积分的凑微分法 (1) , 由于及时更换了积由于及时更换了积分分区间区间 , 从而省略了回代过程从而省略了回代过程 , 简化了计算简化了计算 例例计算计算解解例例计算计算解解原积分原积分2 定积分的换元法定积分的换元法(第二换元法第二换元法)若若 则凑微分法则凑微分法从右往左看从右往左看(2)式式 (2) 称为称为定积分换元法定积分换元法 ( 第二换元法第二换元法 )定理定理 (定积分的换元法定积分的换元法)设设 f (x) 在在 a , b 上连续上连续 , 若代换若代换 满足满足:(1) 在在 , 上有连续的导数上有连续的导数 (2)(3)则则(2)说明说明:(1) 式式 (2)
3、 把积分把积分 的计算问题转化的计算问题转化为积分为积分 的计算问题的计算问题 (2) 式式 (2) 中的中的 x = (t) 具有更大地灵活性具有更大地灵活性 推论推论 (1) 如果如果 f (x) 在在 -a , a 上满足上满足 f (-x)=f (x) 则则(2) 如果如果 f (x) 在在 -a , a 上满足上满足 f (-x) = -f (x) 则则(3) 如果对任意如果对任意 x R , f (x + T) = f (x) , 则则证明证明: (1)令令 x = -t , 则则 dx = -dt ,(3)所以所以例例计算计算解解 令令则则利用定积分的换元法利用定积分的换元法 (
4、2) , 有有例例计算计算解解 令令则则例例计算计算解解令令则则原积分原积分原积分原积分例例计算计算解解令令则则例例计算计算解解令令则则说明说明:当问题难处理时当问题难处理时 , 试试利用奇偶性试试利用奇偶性 例例计算计算解解所以有所以有例例证明等式证明等式:解解令令则则例例若若 f (x) 为连续函数为连续函数 , 证明证明:解解 因为因为其中其中由于由于 是是 t 的以的以 2 为周期的函数为周期的函数 ,所以所以3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法由导数公式由导数公式两边取定积分有两边取定积分有说明说明:公式公式 (2) 将将 的计算问题转化为的计算问题转化为积分积分 的计算问题的计算问题 即即(2)式式 (2) 称为定积分的称为定积分的分部积分公式分部积分公式 例例 (转化为容易计算的定积分转化为容易计算的定积分)计算计算解解原积分原积分例例计算计算解解例例计算计算解解例例 (转化为关于定积分的方程转化为关于定积分的方程)计算计算解解解解例例 (转化为递推关系转化为递推关系)证明证明:, n 为偶数为偶数 , n 为奇数为奇数 记记则则当当 n 为偶数时为偶数时 , 当当 n 为奇数时为奇数时 , , n 为偶数为偶数 , n 为奇数为奇数 例例计算计算解解令令则则原积分原积分例例计算计算解解令令则则
